高中數(shù)學挑戰(zhàn)問題十七_第1頁
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挑戰(zhàn)答題17:如圖,在四邊形ADEB中,∠D=∠E=90°,點C在DE上且△ABC是等邊三角形.如果AD=7,BE=11,求△ABC的面積.解題思路:要解決等邊三角形的面積問題,只要求出△ABC的邊長a,易求思路1:構造“一線三等角”模型;方法1:如圖1,作∠FAD=30°,∠EBG=30°,與直線DE分別交于點F、G.則∠F=∠G=∠ACB=60°,則△AFC≌△CGB分別解Rt△ADF和Rt△BEG,得FD=,BG=,而BG=FC,∴DC=,從而可求AC2=AD2+DC2=124,圖1124=圖1方法2:如圖2,過B作BF⊥AD,交DA延長線于點F,構造“一線三等角”,則可證△CAG≌△ABH,AH=CG,AG=BH.設DG=x,F(xiàn)H=y,可得22x=4+y2y=7+x解得:x=5,y=6∴DC=,從而可求AC2=AD2+DC2=124,圖2124=圖2思路2:利用“旋轉”解決方法3:如圖3,將△ADC繞點A逆時針方向旋轉60°至△AD1B的位置.過點D1作DE的平行線,與AD、BE分別交于點F、G.則AD1=AD=7,AF=3.5,DF=3.5,BG=7.5,BD1=,從而可求AB的長,再求面積.圖圖3思路3:構造“矩形”,利用相似解決方法4:如圖4,過點B作BF⊥AC,垂足為F.再過F作作DE的平行線,與AD、BE分別交于點G、H.則△AGF∽△FHB,F(xiàn)是AC的中點,G是AD的中點.AG=DG=3.5,BH=7.5,∴,F(xiàn)G=圖4從而可求出AF、AC,再求再求面積圖4方法5:如圖5構造矩形,利用梯形中位線可求FG=9.再用三角形相似,仿照方法4可求解.圖圖5思路4:構造“圓”解決方法6:如圖6,構造△ABC的外接圓,則∠AFB=∠ACB=60°,∠BFC=∠BAC=60°,則∠AFD=60°.在Rt△ADF和Rt△BFE中,可求DF=,EF=∴DE=,則AG=,而BG=4,可求AB.圖圖6方法7:如圖7,以C為圓心,CA長為半徑構造圓,與AD的延長線交于點

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