6定積分計算廣義

星期日1上連續(xù)，則f(t)在[a,x]可積，即存在唯一的一個數(shù)§5.5

定積分的計算一、微積分基本定理定積分的計算是通過計算不定積分來進行的，為敘述簡便，首先介紹原函數(shù)存在性定理。1、原函數(shù)存在性定理定義設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)。對任意x∈[a,b]，由f(t)在[a,x]xaf

(t)dt與之對應(yīng)，這樣形成的的函數(shù)稱為f(x)的積分上限函數(shù)或變上限函數(shù)，一般記為xafxt

dt

(([)a),x]b

星期日2定理(原函數(shù)存在性定理)f

(x)a,bxa在[a,b]f

(t)dt為上連續(xù)，則f

(x)在(x)

d

dxxaf

(t)dt

f

(x)上的一個原函數(shù)。即(x)

利用這個定理可以求含變上限函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例1

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dtet1 1t

2(1)F

(x)

2x

x2(2)F

(x)

1

sin

t

dt2x2x(3)F

(x)

sin

t

dtex0(4()1)tx22xdFt星期日3x1tdt

2et解(1)f(x)

12ex1x

x2

12sin

t

dt

(2)f

(x)／2u1u

2sin

t

dt

x

4／x

2xsin

xa一般地，(φ

(x)f(t)dt)

f[φ(x)]φ(x)x

02

x

2sin

t

dt

0

sin

t

dt

(3)f

(x)

2

2xsin

x4

sin

x222

ex(4)f

(x)

x

022xx2exx1ee21xt

dt

1

t

dt

0備忘d

dx

()x

()x(()()()x()x

ft dt

星期日4lim0x(et

e

t

)dtx0

1

cosx例2

1).（1

cosx）0[

x(et

et

)dt]解原式

limx0sin

xex

ex

limx0cosxex

ex

limx0

20x

tx32x

e

dt2).

求極限limx0解2lim

0

x3xtx

e

dtx023x21

ex

limx02

x2

limx0

3xdx1

~

x2

x

0d

ex213

星期日5axf

(t)dtxa

x

ax23.

若f(x)連續(xù)，求極限lima

f

(a)2a1.

已知f(x)

xxsint2dt，求f

(a)練習(xí)32xtsinx02

f(x)

x2

e dt

。arcsin

tdt

2.

求導(dǎo)：1

f(x)星期日sinx0arcsin

tdt可以看作是由u0g(u)

arcsin

tdt和u=sinx復(fù)合而成。由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得f

(x)

g(u)

usin

x

(sin

x)

arcsin

u

usinx

cos

x

x6

4

f

(x)

3x2ex

2xex

x3xt22

e

dt2

f

(x)

200xt

2e dt

e dt

00x2t

2x3

x3t

2

t

2e

dte dt

用同樣的方法可得0x3dx2

2

x6et

dt

3x

ed

420x2etdxddt

2xex解a1.

由f

(x)

xsin

t2dt

xsin

x2得aasin

t

2dt

a

sin

a2f

(a)

2.

(1)

f

(x)

2

a

sin

aa2f

(a)6星期日7對積分上下限函數(shù)的求導(dǎo)運算熟練以后，就可以利用導(dǎo)數(shù)研究含有積分形式的函數(shù)的性質(zhì)，例如單調(diào)性、極值、凹凸性或用L’Hospital法則求極限等等。例3x0(1

t)arctan

tdt的極小值求f

(x)解由f

′(x)=(1+x)arctanx=0得f(x)的駐點x=-1、x=0

。又1

x2f

(x)

arctan

x

1

x4f

(1)

0f

(0)

1

0因此0x(1

t)arctan

tdt的極小值為f

(x)

00f

(0)

(1

t)

arctan

tdt

0星期日8練習(xí)

函數(shù)f(x)是以T為周期的連續(xù)周期函數(shù)，試證：aT

Ta0f

(x)dxf

(x)dx

TuT證

設(shè)F(u)=

u0f

(x)dxf

(x)dx

[0TuTuf

(x)dx

dudF

(u)

則f

(x)dx]

f

(u

T

)

f

(u)

又F

(0)

0則F

(a)

F

(0)

0TaTa0f

(x)dxf

(x)dx

即星期日92、微積分基本定理原函數(shù)存在性定理定積分與不定積分(原函數(shù))之間的關(guān)系，這就為利用不定積分計算定積分提供了思路。17世紀后半葉，Newton和Leibniz分別獨立地發(fā)現(xiàn)了下面的定理，這個定理在微積分中占有重要地位，被稱為微積分基本定理。定理(微積分基本定理)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)為f(x)的一個原函數(shù)，則有baf

(x)dx

F(b)

F(a)通常記作aabf

(x)dx

F(x)

b

F(b)

F(a)稱為Newton-Leibniz公式。星期日10由微積分基本定理可知，要計算定積分，只需求出原函數(shù)(即計算不定積分)，代入上、下限做差即可。因此，定積分的計算實質(zhì)上仍是不定積分的計算。6例1

3

tan

xdx6336解：

tan

xdx

ln

|

cosx

|63|

(

ln

|

cosπ

ln

|

cosπ2|)

ln

330

x2

9dx例2303

(1x)d

x13解

原式π12x

33

0arctan133

2星期日20|

sinx

|

dx例3解原式

π|

sin

x

|

dx

2π

|

sin

x

|

dx0

π

πsin

xdx

2π

sin

xdx0

π

cos

x

π

cos

x

2π0

π

4當被積函數(shù)是分段函數(shù)時，若分段區(qū)間的端點在積分區(qū)間內(nèi)，則應(yīng)利用區(qū)間可加性把積分區(qū)間分為多部分計算。11星期日120例4

3f

(x)dx,

其中,0

x

1,1

x

3x2

1f

(x)

x

1解原式

1f(x)dx

3f(x)dx0

1

1(x

1)dx

3(x2

1)dx0

1

3

32

732

3

6注

計算定積分時所找出的原函數(shù)必須在積分區(qū)間內(nèi)連續(xù)(可導(dǎo))，且在積分區(qū)間內(nèi)為被積函數(shù)的原函數(shù)。如等式111dx

ln

x

11

x

0

是不對的。星期日13練習(xí)求定積分(1)0

cosxdx

。解0

cos

x

20220

(

sin

x)

2

cos

xdx

(cos

x)dx

sin

x

11

2(2)4

5x

2dx

。314a

(t)dtb

f

(x)dx

f

(t)星期日二、定積分的計算由微積分基本定理，要計算定積分，只要通過不定積分得出原函數(shù)，再代入上下限作差即可。但在實際計算時，常把不定積分的計算過程與代入上下限作差的過程結(jié)合起來以簡化計算過程。下面分別對換元法和分布積分法進行。1、換元積分法定理函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，函數(shù)x=φ(t)滿足：①φ(α)=a,φ(β

)=b；②φ(t)在[α,β]上單調(diào)、連續(xù)；③φ′(t)在[α,β]上連續(xù)。

則有星期日注①必須注意定理的條件。如所做的變換x=φ(t)必須在(α,β)連續(xù)，且φ(t)的取值在a、b之間。1121111

2

11

11

tdtdt

t

2t

21

xdx顯然不正確。②換元的同時必須換限，且不論大小，原函數(shù)的上限對應(yīng)新積分的上限，原函數(shù)的下限對應(yīng)新函數(shù)的下限。③若換元時已換限，則最后得到原函數(shù)后不必代回原變量。15如令x

1，則t星期日16dxx38x

1例1解設(shè)x

1

t,x

t

2

1,dx

2tdtx=3時，t=2；x=8時，t=3t3

t(t2

1)原式

223

2dt

22

(t

1)dt23

2(t

3

t)

33

32此題可用第一換元法。星期日1701x21

x2dx例2解設(shè)x

sint,dx

costdt.2

2π原式

02

sin t

cosπ162πx=0時，t=0；x=1時，t=2tdt

02

sin

2tdt41π

02

(1

cos

4t)dt

02

(1

cos

4t)d4t8

321

1π

π0132π(4t

sin

4t)

2

星期日18練習(xí)

計算下列定積分：dx1012x4x221

x1

x1(2

sin

x)cos

xdx

③

xdx

②①22解題過程注作三角變換時，尤其在去根號時，要注意三角函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)的符號。作業(yè)1115dx

21

x2

dx5

4xx

1求定積分1答案1

2

23

2星期日19a0aa)dxfx2)dxfx(

若f(x)為)2(偶函數(shù)，則a(1)若f(x)為奇函數(shù)，則a

f(x)dx

0;例3

設(shè)f(x)在[-a,a]上連續(xù)，證明：aaf

(x)dx

0

f

(x)dx

af

(x)dxa

0證設(shè)x

t,dx

dt,x

a,

t

a;x

0,t

00aa則0

f(x)dx0t(

af

(t)dt星期日20xyoa

ay

f

(x)

(1)f(x)為奇函數(shù)

af

(t)dt

af

(x)dx0

0

af(t)dt

af

(x)dx0

0=

0(2)f(x)為偶函數(shù)

af

(t)dt

af

(x)dx0

00

2af(x)dx

af

(t)dt

af

(x)dx0

0aaf

(x)dx

0

f

(x)dx

af

(x)dxa

0aaf

(x)dx

0

f

(x)dx

af

(x)dxa

0xyoa

ay

f

(x)21星期日這個結(jié)果是很有用的。當遇到積分區(qū)間為對稱區(qū)間時，可以檢查被積函數(shù)是否奇偶函數(shù)或盡量化為奇偶函數(shù)的和、差，然后利用這個結(jié)果計算。12dx1

xecos

x

sin

x例4

(1)1(2)ln

2ln

2(1

sin

x)(ex

ex

)dxln

2xxd)exln

2x

x

x

)de(xe

ln

2解(1)原式

0(2)原式

ln

2ln

20

2(ex

ex

)dx

00

2(ex

ex

)

ln

2=3星期日22223(x

4

x2

)2

dx22(x6

2x3

4

x2

4

x2

)dx22222232264

x

dx

(4

x

)dx

x

dx

2

x202206(4

x

)dxx

dx

2

23

2007

23171

2

(4x

x

)

2

x21

992223(x

4

x2

)2

dx練習(xí)計算定積分解星期日230

0ncosnx

dx (n

0)sin

x

dx

2例5

證明：222π2n

π

t)dt左邊

0

sin

(n

02

cos

tdtπ=右邊2

2證設(shè)x

π

t,dx

dt.x

0,t

π

;x

π

,t

0星期日24注計算定積分時,也可以用不定積分(或其他方法)先求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，然后利用Newton-Leibniz公式計算定積分。一般說來，采用這種方法比用定積分的換元法(或其他定積分計算方法)計算量要大。而且，有時不定積分的換元法

為力時定積分的換元公式能奏效。例如20

1

cosxx

sin

x

t，則令x

2dx

22dt1

sin

2

t

(

t)

cos

t2220

1

sin

tcos

t

2dt

0

dxx1

e4cos

x44t44cos

t

1

etdt

441

ee

t

cos

t442令x

t，則41

ecos

x

dx

x24

cos

xdx

2244cos

xx

dx

1

edt

因此星期日25應(yīng)用時，u(x)、v(x)的選擇原則同不定積分一樣，注意上、下限的前后對應(yīng)。2、分部積分法對分部積分法，同樣可把代入上下限的過程放在分部積分的過程中，即有下面的定理：定理函數(shù)u'(x)、v'(x)在[a,b]上連續(xù)，則有aa

ab

u(x)v(x)dxbu(x)v(x)dx

u(x)v(x)

b星期日260例6

1(2x

1)exdx10x解

原式

-

(2x

1)d(e

)0x1

x

e d(2x

1)10

-(2x

1)e0-1101

x

-1x

1

-

3e

2

e d(x)

1

3e

2e

3

-

5e-1404xx

arctan

dx例702xarctan d(x

)1

42解原式4021

16x204x

4x

arctan

12

4

8

1xd4x

21

(

)4x

2(

)

1

14

4x2

dx

2π

804

0

2π

8

8

arctanx

4

4π

8星期日27e121

x(ln

x)

dx112

e2e

x

ln

xdx

x

(ln

x)21練習(xí)

計算下面的定積分：2

22e

1e1

1

e2

[1

x

ln

x1

1

112

22

e

1

2

xdx]

2

e

[2

e

4

x412]

(e

1)解e1012②

e

x

dx①

x(ln

x)

dx2

令t

x，則t1e

x

dx

01000t

11

et

dt)2te

dt

2(te0

2(e

et

1

)

2星期日2811210213

x

e

2

dx2

ln(1

x

)dx1

sin(ln

x)dx

xe答案2

21

1

(e

sin

1

e

cos1

1)

2ln

2

2

作業(yè)計算下列定積分：1

12310e

2

26e星期日§5.6

廣義積分定積分是在積分區(qū)間有限且被積函數(shù)有界的條件下引入的，但在實際問題中常會遇到積分區(qū)間無限或被積函數(shù)的情形。這時需要推廣定積分的概念，考慮無限區(qū)間上的積分和函數(shù)的積分。前者稱為無窮限積分，后者稱為瑕積分，統(tǒng)稱為廣義積分或積分。一、無窮限廣義積分形如

fx

dx，

fxa

bdx，((f)x())dx的積分稱為無窮限積分。無窮限積分的計算是通過變上限函數(shù)的極限進行的。29星期日301、概念定義函數(shù)f(x)在[a,+∞)連續(xù)，若極限babf

(x)dxlimaf(x)dx存在，則稱收斂，ababf

(x)dx的f

(x)dx為稱lim積分值。記為：babaf

(x)dxf

(x)dx

limababfx()

dx包括無窮大)，則稱fx

dx不存在(()若lim發(fā)散。類似可定義babaf

(x)dx

limf

(x)dx星期日31定義f

(x)在(,)連續(xù)，若對a

R，廣義積分aa

f

(x)dxf

(x)dx與f

(x)dx都收斂，則稱收斂，并稱aaf

(x)dxf

(x)dx

上述三種積分統(tǒng)稱為無窮限積分。為

f

(x)dx的積分值。即

a

(xf)dx(xf)dx

a(xf)dx

星期日32x02、幾何意義f

(x)

0時a

f

(x)dx為由曲線y

f

(x)、直線x

a與x軸(y=0)構(gòu)成的(向右無限延伸的)圖形的面積(如下圖)。yay

f

(x)星期日33aa

xf

(x)dx

F

(x)

lim

F

(x)

F

(a)bxb

)()()li(m

xF)xfdx

afx dx

fx dx

((f)x())

dx

a3、計算由定義可知，無窮限廣義積分的計算是變上限函數(shù)的求極限運算。只要用定積分的方法求出積分上限函數(shù)，再求極限就可以了。一般可以用Newton-Leibniz公式的形式表述過程：若

F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，則星期日例1

計算下列廣義積分：(1)x

e

dx2

3

x2

xdxx

1(2)解(1)原式x

d(e

)22

x

1

2

e

d(x

)12

2x

22

1

x2ex2

2

0

1

ex2

0dt2t1t(t2

1)原式

1

2

arctant

π234(2)令x

1

t,dx

2tdtx

2時，t

1;x

時，t

星期日35xp

dx1的斂散性例2

廣義積分b

1

xp1

1

1p

blim

xb

1

p

lim

b

dx

1lim(b

1)1pb

1

p解(1)p

1時x1lim

ln

xbb

1

b

lim

b

dx

lim

ln

b

bp

1時，廣義積分發(fā)散(2)p

1時1p

1p

1

p1星期日36練習(xí)研究下面廣義積分的斂散性，若收斂，求其積分值。dxxdx

dxe11

x23x(ln

x)

p2(1

x)

x1解題過程由(3)可知，“對稱區(qū)間上奇函數(shù)的積分為零”在廣義積中要慎用。分作業(yè)：研究下面廣義積分的斂散性，若收斂，求其積分值。211

2x

2x

2

(1

x)

2x

1dx

dx答案11

ln

2

2星期日37

baxbf

(x)dxlim

0存在，則稱之為f(x)在[a,b)上的瑕積分，記作

ab

baf

(x)dxf

(x)dx

lim

0ba這時稱瑕積分f

(x)dx收斂。x=b稱為f(x)的瑕點。baafx()

dx不存在，則稱

fx()

dx若limb

0發(fā)散。二、

函數(shù)的廣義積分當被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)有無窮間斷點時，同樣用極限形式定義其值。定義

f

(x)在[a,b)連續(xù)，且lim

f

(x)

，若極限星期日38若對c

[a,b]，有l(wèi)im

f

(x)

，則定義xcbba

af

(x)dxf

(x)dx

lim

0當lim

f

(x)

時，可定義xa

ba

cb

caf

(x)dx

f

(x)dxf

(x)dx

當且僅當b

bc

acaf

(x)dx、

f

(x)dx都收斂時，

f

(x)dx收斂當確定了瑕積分的瑕點后，瑕積分的計算就相當于變上限函數(shù)的求極限運算。例研究下面廣義積分的斂散性，若收斂，求其積分值。2101010

(1

x)22

ln

xdx

3

dx

dx1

x

2解題過程星期日39練習(xí)研究下面廣義積分的斂散性，若收斂，求其積分值。02

31021x

1

dx

xdx

x

x

2答案52

61星期日三、Γ函數(shù)1730年Euler在給Goldbach的 中發(fā)現(xiàn)了兩個用廣義積分形式刻畫的函數(shù)，后來他在《無限小分析引論》中進行了論述。1811年Legendre將其中一個函數(shù)命名為Gamma函數(shù)或Γ函數(shù)，記為Γ(s)。

Γ函數(shù)是 函數(shù)(不是初等函數(shù))，影響很大。定義的函數(shù)稱為Γ函數(shù)。關(guān)于Γ函數(shù)的收斂性，Euler已經(jīng)證明：定理當s>0時Γ函數(shù)收斂。400xs1exdx它的發(fā)現(xiàn)對函數(shù)概念的定義由廣義積分(s)

星期日41性質(zhì)(Γ函數(shù)的計算)2(s

1)

s(s)

(1)

1

(1)

(n

1)

n!5

(11)例如( )

4

,2

2(9)3

45星期日222(2

sin

x)

cos

x

①dx

222(2