概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第三章 多維隨機變量及其分布3

3多維隨機變量及其分布學(xué)習(xí)要點：二維隨機變量及其分布邊緣分布條件分布與隨機變量的獨立性兩個隨機變量的函數(shù)的分布3.3條件分布3.3.0條件概率的回顧設(shè)A，B是兩個事件，且P(A)>0，稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。離散型隨機變量的條件分布律連續(xù)型隨機變量的條件概率密度函數(shù)

利用條件概率和邊緣分布律、邊緣概率密度函數(shù)，可以定義和計算條件分布律、條件概率密度函數(shù)。

推廣到隨機變量對隨機變量X和Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布。

例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機抽取一個學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高。則X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布。體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布

若限制1.7<Y<1.8(米),

在這個條件下求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布。

容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣。例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加。3.3.1離散型隨機變量的條件分布律定義（條件分布律）設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律。同理可以定義在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律：

作為條件的那個隨機變量，認(rèn)為取值是給定的（即不變的），在此條件下求另一隨機變量的概率分布。注意：條件分布具有概率的一切性質(zhì)，如非負(fù)性、規(guī)范性等。，i=1，2，…【例1】一射手進行射擊，擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1)。射擊進行到擊中目標(biāo)兩次為止。以X表示首次擊中目標(biāo)所進行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進行的射擊次數(shù)。試求X和Y的聯(lián)合分布律及條件分布。

【解】依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時擊中目標(biāo)，且在前n?1次射擊中有一次擊中目標(biāo)，如圖

擊中n次射擊n-11m擊中2…………n……顯然，不論m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都應(yīng)等于此即X與Y的聯(lián)合分布律。

由于所以X和Y的條件分布分別為和等比數(shù)列的和3.3.2連續(xù)型隨機變量的條件概率密度函數(shù)1、定義（條件概率密度函數(shù)）設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合機變量概率密度函數(shù)為f(x,y)，關(guān)于X和Y的邊緣概率密度函數(shù)分別為fX(x)和fY(y)。若對固定的x,有fX(x)>0或?qū)潭ǖ膟,有fY(y)>0，則分別稱為在Y=y條件下隨機變量X的條件概率密度函數(shù)和在X=x條件下隨機變量X的條件概率密度函數(shù)。和相應(yīng)地，分別稱和為在Y=y條件下隨機變量X的條件分布函數(shù)和在X=x條件下隨機變量X的條件分布函數(shù)。2、定義的含義以為例：【例2】設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為

【解】求P{X>1|Y=y}。，為此，需求出由于于是對y>0，

故對y>0,

【例3】設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為【解】X的邊緣密度函數(shù)為求

當(dāng)|x|<1時，有即當(dāng)|x|<1時，有X作為已知變量這里是y的取值范圍X已知的條件下Y的條件密度【例4】設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)均勻分布，當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時，數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機地取值，求Y的概率密度?！窘狻恳李}意，X具有概率密度

對于任意給定的值x(0<x<1)，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為X和Y的聯(lián)合密度為

已知邊緣密度和條件密度，求聯(lián)合密度3.4隨機變量的獨立性對于連續(xù)型隨機變量，上式等價于性質(zhì)：若連續(xù)型隨機變量X和Y相互獨立，則【例5】可以證明，二維正態(tài)隨機變量X與Y相互獨立的充要條件為(p.73-74)。

由隨機事件的獨立性定義得知，隨機變量X和Y相互獨立指聯(lián)合分布滿足條件對離散型隨機變量有類似的結(jié)論，請同學(xué)們自行給出?！纠?】設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？【解】即可見對一切x,y,均有：故X,Y獨立。若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？【解】0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨立?！纠?】甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面。如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布，乙獨立地到達，而且到達時間在12:00到13:00之間是均勻分布。試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率。又甲先到的概率是多少？【解】設(shè)X為甲到達時刻,Y為乙到達時刻。以12時為起點,以分為單位，依題意X~U(15,45),Y~U(0,60)所求為P(|X-Y|5),甲先到的概率由獨立性,先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率。P(X<Y)P(|X-Y|5)

=P(-5<X-Y<5)P(X<Y)解一解二P(X<Y)=1/2被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積=P(X>Y)P(|X-Y|5)

類似的問題：1、甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的.若甲船需停泊1小時，乙船需停泊2小時，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率。2、在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等可能的。若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間隔小于0.5秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾。求發(fā)生兩信號互相干擾的概率?！纠?】盒內(nèi)有n

個白球，m個黑球，有放回地摸球兩次。設(shè)第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球試求：(1)(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律；(2)判斷(X,Y)的相互獨立性；(3)若改為無放回摸球，解上述兩個問題。(1)(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示：

【解】(2)由上表可知故(X,Y)的相互獨立。(3)(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表故X，Y不是相互獨立。由上表知:可見課堂練習(xí)1、對于二維正態(tài)分布，在已知

X=x條件下，求Y

的條件分布。2、設(shè)(X,Y)的概率密度是求。3、設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度是問X和Y是否相互獨立?【解】1、對于二維正態(tài)分布，在已知

X=x條件下，求Y的條件分布設(shè)則其概率密度為X的邊緣密度為在

X=x條件下，Y的條件概率密度為2、(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為當(dāng)時,綜上,當(dāng)時,暫時固定若y

≤

0或y≥x，則0（1）條件概率、邊緣分布的直接導(dǎo)出條件分布；（2）事件的相互獨立與條件分布直接導(dǎo)