信號與系統(tǒng)：第八章系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析

2022/11/22信號與系統(tǒng)1第八章

系統(tǒng)的

狀態(tài)變量分析2022/11/22信號與系統(tǒng)2本章的主要內容1、信號流圖2、連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立3、連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解4、離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立5、離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解6、狀態(tài)矢量的線性變換2022/11/22信號與系統(tǒng)3第一節(jié)

信號流圖

下冊P2862022/11/22信號與系統(tǒng)4一、概述利用方框圖（子系統(tǒng)）組合分析線性系統(tǒng)的方法可使求解過程簡化。線性系統(tǒng)的仿真（simulation,也稱模擬）。對于連續(xù)時間系統(tǒng)采用基本運算單元：包括相加、倍乘和積分構成的系統(tǒng)模型。對于離散時間系統(tǒng)采用基本運算單元：包括相加、倍乘和延時構成的系統(tǒng)模型。2022/11/22信號與系統(tǒng)5

二、信號流圖

1、產生為了進一步簡化各種方框圖（子系統(tǒng)）組合方法，出現了線性系統(tǒng)的“信號流圖”（Signalflowgraphs)表示與分析方法。這個方法是由美國麻省理工學院的梅森（Mason)于20世紀50年代初首先提出。此后，在反饋系統(tǒng)分析、線性方程組求解、線性系統(tǒng)模擬以及數字濾波器設計等方面得到廣泛應用。2022/11/22信號與系統(tǒng)62、信號流圖的優(yōu)點（1）系統(tǒng)模型的表示簡明清楚；（2）系統(tǒng)函數的計算過程明顯簡化。（3）對于由多個反饋環(huán)路組成的復雜系統(tǒng)進行分析時，信號流圖方法的優(yōu)點更為突出。（4）借助信號流圖研究系統(tǒng)狀態(tài)空間分析可顯示出許多優(yōu)點。2022/11/22信號與系統(tǒng)73、信號流圖的表示法用一些點和支路來描述系統(tǒng)。X(s)Y(s)H(s)看出簡單的方框圖，變成流圖形式是用一有始有終的線段表示。起始點標為X(s),終點標為Y(s).X(s)Y(s)H(s)2022/11/22信號與系統(tǒng)84、流圖中的名詞結點：表示系統(tǒng)中變量或信號的點。線段（支路）：兩個結點之間的定向線段，表示信號傳輸的路徑。箭頭：表示信號的傳輸方向；轉移函數：兩個結點之間的增益稱為轉移函數，標注在箭頭附近。輸入結點或源點：只有輸出支路的結點，它對應的是自變量（即輸入信號）。輸出結點或阱點：只有輸入支路的結點，它對應的是因變量（即輸出信號）混合結點：既有輸入支路又有輸出支路的結點。2022/11/22信號與系統(tǒng)9通路：沿支路箭頭方向通過各相連支路的途徑（不允許有相反方向支路存在）。開通路：通路與任一結點相交不多于一次。閉通路（環(huán)路）：如果通路的終點就是通路的起點，并且與任何其他結點相交不多于一次。閉通路又稱環(huán)路。環(huán)路增益：環(huán)路中各支路轉移函數的乘積。不接觸環(huán)路：兩環(huán)路之間沒有任何公共結點。前向通路：從輸入結點（源點）到輸出結點（阱點）方向的通路上，通過任何結點不多于一次的全部支路徑。前向通路增益：前向通路中，各支路轉移函數的乘積。因此：每一條支路相當于乘法器；結點可以有很多信號輸入，而且可以向不同方向輸出。2022/11/22信號與系統(tǒng)10例子1如圖所示：結點X4有三個輸入，二個輸出。按流圖構成原則有：H14(s)H24(s)H34(s)H45(s)H46(s)2022/11/22信號與系統(tǒng)11例子2如圖所示方框圖改畫為信號流圖形式，并求系統(tǒng)的轉移函數。H1(s)H3(s)G2(s)H2(s)G1(s)G3(s)H4(s)G4(s)2022/11/22信號與系統(tǒng)12例子22022/11/22信號與系統(tǒng)13例子22022/11/22信號與系統(tǒng)14三、信號流圖的性質運用信號流圖時必須遵循流圖的以下性質：（1）支路表示了一個信號與另一信號的函數關系。信號只能沿著支路上的箭頭方向通過。X(s)Y(s)H(s)2022/11/22信號與系統(tǒng)15（2）結點可以把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有輸出支路。2022/11/22信號與系統(tǒng)16（3）具有輸入和輸出支路的混合結點，通過增加一個具有單位傳輸的支路，可以把它變成輸出結點來處理。2022/11/22信號與系統(tǒng)17（4）給定系統(tǒng)，信號流圖形式并不是惟一的。這是由于同一系統(tǒng)的方程可以表示成不同形式，因而可以畫出不同的流圖。（5）流圖轉置以后，其轉移函數保持不變。所謂轉置就是把流圖中各支路的信號傳輸方向給以調轉，同時把輸入輸出結點對換。2022/11/22信號與系統(tǒng)18例子2022/11/22信號與系統(tǒng)192022/11/22信號與系統(tǒng)20

四、信號流圖的代數運算流圖既是表示一組線性方程組，代表某一線性系統(tǒng)，因而和系統(tǒng)的方框圖表示一樣，可以按一些代數運算規(guī)則加以簡化。常用的一些規(guī)則：（1）只有一個輸入支路的結點值等于輸入信號乘以支路增益。因而串聯(lián)支路可以簡化合并為單一支路。2022/11/22信號與系統(tǒng)21（2）串聯(lián)支路的總增益，等于所有各支路增益的乘積，因而串聯(lián)支路可以簡化合并為單一支路。（3）通過并聯(lián)相加可以把并聯(lián)支路合并為單一支路。2022/11/22信號與系統(tǒng)22（4）混合結點可以按一定方式消掉。（5）環(huán)路可以按一定方式消掉。利用這些信號流圖的代數運算，可以把一復雜的流圖加以簡化。使之只剩下一個源點和一個阱點，從而確定系統(tǒng)的轉移函數。2022/11/22信號與系統(tǒng)23例子11-14利用信號流圖的代數運算規(guī)則重求下列系統(tǒng)的轉移函數。解（1）消去X1，X1結點有三個輸入信號2022/11/22信號與系統(tǒng)24另一種方法是把輸出支路增益除以（1+G2H2）。這兩種方法等同。（2）消去X2，這個結點有二個輸入信號和一個環(huán)路。有二種方法。第一種方法：把所有輸入支路增益除以（1+G2H2）2022/11/22信號與系統(tǒng)25（3）消去X3。X3是有三個輸入的混合結點。消去X2。2022/11/22信號與系統(tǒng)26（4）消去X4。（5）最后結點消去。它是一個輸入支路和二個并聯(lián)環(huán)路組成。2022/11/22信號與系統(tǒng)27最后消去環(huán)路，求得最終的轉移函數。并聯(lián)環(huán)路增益相加。2022/11/22信號與系統(tǒng)28五、信號流圖的梅森增益公式利用梅森增益公式可以根據流圖很方便地求得輸入與輸出間的轉移函數。2022/11/22信號與系統(tǒng)29五、信號流圖的梅森增益公式2022/11/22信號與系統(tǒng)30例子11-15用梅森公式求下圖所示系統(tǒng)的轉移函數。解：先按梅森公式求出其有關參數。求流圖的特征行列式：2022/11/22信號與系統(tǒng)312022/11/22信號與系統(tǒng)32例子11-16用梅森公式求下圖所示系統(tǒng)的轉移函數。解：為了應用梅森公式，先求出有關參數。2022/11/22信號與系統(tǒng)332022/11/22信號與系統(tǒng)342022/11/22信號與系統(tǒng)35例子11-17解：連續(xù)系統(tǒng)通常用積分器來模擬，因而可把上式改寫為：用梅森公式求下圖所示系統(tǒng)的轉移函數。2022/11/22信號與系統(tǒng)362022/11/22信號與系統(tǒng)372022/11/22信號與系統(tǒng)38作業(yè)P11-27（a)，11-28(b)2022/11/22信號與系統(tǒng)39第二節(jié)

狀態(tài)變量分析概念2022/11/22信號與系統(tǒng)401.經典的線性系統(tǒng)理論一、概論2022/11/22信號與系統(tǒng)412.現代的線性系統(tǒng)理論2022/11/22信號與系統(tǒng)42二、狀態(tài)變量的引入2022/11/22信號與系統(tǒng)43例子一階微分聯(lián)立方程組即為狀態(tài)變量分析法或狀態(tài)空間分析法此方程為狀態(tài)方程2022/11/22信號與系統(tǒng)44三、狀態(tài)方程引入在狀態(tài)空間分析方法中，將狀態(tài)方程以矢量和矩陣形式表示。如果一個系統(tǒng)需要k個狀態(tài)變量來描述，則狀態(tài)矢量就是k維的矢量，對應的狀態(tài)空間就是k維空間。狀態(tài)變量分析法對于連續(xù)時間系統(tǒng)用一階微分聯(lián)立方程來表述。對于離散時間系統(tǒng)用一階差分聯(lián)立方程來表述。2022/11/22信號與系統(tǒng)45四、輸出方程引入當系統(tǒng)的階次較高因而狀態(tài)變量數目較多或系統(tǒng)具有多輸入-多輸出信號時，描述系統(tǒng)的方程形式一樣，只是矢量或矩陣的維數有所增加。以r(t)表示輸出信號，輸出方程為：實際上，電路的輸出信號可能由多個狀態(tài)變量以及輸入信號的作用組合而成，則需列出“輸出方程”。2022/11/22信號與系統(tǒng)46五、狀態(tài)變量分析法的優(yōu)點狀態(tài)變量分析法分析系統(tǒng)的優(yōu)點在于：（1）便于研究系統(tǒng)內部的一些物理量在信號轉換過程中的變化。它們用狀態(tài)矢量分量表示。（2）系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法與系統(tǒng)的復雜程度沒有關系，復雜系統(tǒng)和簡單系統(tǒng)的數學模型形式相似，都表示為一些狀態(tài)變量的線性組合，這種以矢量和矩陣表示的數學模型特別適用于描述多輸入-多輸出系統(tǒng)。（3）狀態(tài)變量分析法也適用于非線性或時變系統(tǒng)。2022/11/22信號與系統(tǒng)47（4）狀態(tài)方程的主要參數表征系統(tǒng)的關鍵性能。利用狀態(tài)方程分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較方便。（5）因狀態(tài)方程的都是一階微分方程或一階差分方程，因而便于采用數值解，便于利用計算機分析系統(tǒng)。（6）狀態(tài)變量分析法的方法有：時域法和變換域法。2022/11/22信號與系統(tǒng)48第三節(jié)

連續(xù)時間系統(tǒng)

狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號與系統(tǒng)49一、連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程的結構2022/11/22信號與系統(tǒng)502022/11/22信號與系統(tǒng)512022/11/22信號與系統(tǒng)522022/11/22信號與系統(tǒng)53二、狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號與系統(tǒng)541、直接法2022/11/22信號與系統(tǒng)55例子12-12022/11/22信號與系統(tǒng)56例子12-12022/11/22信號與系統(tǒng)57例子12-12022/11/22信號與系統(tǒng)582、間接法2022/11/22信號與系統(tǒng)59狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號與系統(tǒng)602022/11/22信號與系統(tǒng)612022/11/22信號與系統(tǒng)62狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號與系統(tǒng)63舉例12.32022/11/22信號與系統(tǒng)64舉例12.32022/11/22信號與系統(tǒng)652022/11/22信號與系統(tǒng)662022/11/22信號與系統(tǒng)672022/11/22信號與系統(tǒng)682022/11/22信號與系統(tǒng)692022/11/22信號與系統(tǒng)70舉例12.52022/11/22信號與系統(tǒng)712022/11/22信號與系統(tǒng)722022/11/22信號與系統(tǒng)732022/11/22信號與系統(tǒng)742022/11/22信號與系統(tǒng)752022/11/22信號與系統(tǒng)76作業(yè)P36412-1，12-42022/11/22信號與系統(tǒng)77第三節(jié)

連續(xù)時間系統(tǒng)

狀態(tài)方程的求解2022/11/22信號與系統(tǒng)78一、方程的求解連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解，可以采用兩種方法：時域法：可借助計算機求解變換域法：比較簡單2022/11/22信號與系統(tǒng)79一、變換域求解法2022/11/22信號與系統(tǒng)80變換域求解法2022/11/22信號與系統(tǒng)812022/11/22信號與系統(tǒng)82舉例12-62022/11/22信號與系統(tǒng)832022/11/22信號與系統(tǒng)842022/11/22信號與系統(tǒng)85舉例12-62022/11/22信號與系統(tǒng)86舉例12-62022/11/22信號與系統(tǒng)87(1)定義“矩陣指數”二、時域法即用矢量微分方程求解狀態(tài)方程:2022/11/22信號與系統(tǒng)88(2)

矩陣指數的性質2022/11/22信號與系統(tǒng)89(3)方程的時域求解2022/11/22信號與系統(tǒng)902022/11/22信號與系統(tǒng)91方程的時域求解2022/11/22信號與系統(tǒng)92b.計算機解法：由定義求無窮級數之和取有限項；(4)eAt的求法雖然狀態(tài)方程及輸出方程的形式都求出來，但要求出其解關鍵是要求出eAt。求其方法有：2022/11/22信號與系統(tǒng)93方程的時域求解凱萊-哈密頓定理2022/11/22信號與系統(tǒng)94（1）先寫出A的特征方程式，并求出其特征根。eAt的求解2022/11/22信號與系統(tǒng)95舉例12.62022/11/22信號與系統(tǒng)962022/11/22信號與系統(tǒng)972022/11/22信號與系統(tǒng)98舉例8.32022/11/22信號與系統(tǒng)99舉例12.62022/11/22信號與系統(tǒng)100舉例12.62022/11/22信號與系統(tǒng)1012022/11/22信號與系統(tǒng)1022022/11/22信號與系統(tǒng)103舉例12-82022/11/22信號與系統(tǒng)1042022/11/22信號與系統(tǒng)105三、由狀態(tài)方程求解系統(tǒng)函數H(s)2022/11/22信號與系統(tǒng)1062022/11/22信號與系統(tǒng)107舉例12-1025-53-1-12022/11/22信號與系統(tǒng)1082022/11/22信號與系統(tǒng)109作業(yè)P36712-10，12-122022/11/22信號與系統(tǒng)110第四節(jié)

離散時間系統(tǒng)

狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號與系統(tǒng)111一、狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號與系統(tǒng)112看出：（1）（n+1)時刻的狀態(tài)變量是n時刻狀態(tài)變量和輸入信號的函數。（2）在離散系統(tǒng)中，動態(tài)元件是延時單元，因而狀態(tài)變量常常取延時單元的輸出。2022/11/22信號與系統(tǒng)113舉例12-112022/11/22信號與系統(tǒng)1142022/11/22信號與系統(tǒng)115連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)、輸出方程與離散時間的狀態(tài)、輸出方程比較2022/11/22信號與系統(tǒng)116二、離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解1、時域法2022/11/22