2012年全國高考理科數(shù)學試題及答案-福建卷

第9頁2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學試題（理工農(nóng)醫(yī)類）第I卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。若復數(shù)滿足，則等于（）A．B．C．D．等差數(shù)列中，，則數(shù)列的公差為（）A．1B．2C下列命題中，真命題是（）A．B．C．的充要條件是D．是的充分條件一個幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個幾何體不可以是（）A．球B．三棱錐C．正方體D．圓柱下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點，則點恰好取自陰影部分的概率為（）A．B．C．D．設函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．的值域為B．是偶函數(shù)C．不是周期函數(shù)D．不是單調(diào)函數(shù)雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（）A．B．C．3D．5若直線上存在點滿足約束條件，則實數(shù)的最大值為（）A．B．1C．D．2函數(shù)在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質(zhì)。設在[1,3]上具有性質(zhì)，現(xiàn)給出如下命題：①在上的圖像時連續(xù)不斷的；②在上具有性質(zhì)；③若在處取得最大值1，則，；④對任意，有。其中真命題的序號是（）A．①②B．①③C．②④D．③④第Ⅱ卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題卡的相應位置。的展開式中的系數(shù)等于8，則實數(shù)_________。閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應地程序，輸出的值等于_____________________。已知的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________。數(shù)列的通項公式，前項和為，則___________。對于實數(shù)，定義運算“”：，設，且關(guān)于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是_______________。三、解答題：本大題共6小題，共84分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（本小題滿分13分）受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統(tǒng)計書數(shù)據(jù)如下：將頻率視為概率，解答下列問題：（I）從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；（II）若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為，分別求，的分布列；（III）該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟效益的角度考慮，你認為應該產(chǎn)生哪種品牌的轎車？說明理由。（本小題滿分13分）某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。（I）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（II）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論。（本小題滿分13分）如圖，在長方體中，，為中點。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由。（Ⅲ）若二面角的大小為，求的長。（本小題滿分13分）如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8。（Ⅰ）求橢圓的方程。（Ⅱ）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相較于點。試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由。（本小題滿分14分）已知函數(shù)（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）試確定的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點。本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分。如果多做，則按所做的前兩題計分。作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號右邊的方框圖黑，并將所選題號填入括號中。（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換設曲線在矩陣對應的變換作用下得到的曲線為。（Ⅰ）求實數(shù)的值。（Ⅱ）求的逆矩陣。（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，以坐標原點為幾點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系。已知直線上兩點的極坐