北航-高數(shù)課件

第三節(jié)

一階線(xiàn)性微分方程一、線(xiàn)性方程二、伯努利方程三、小結(jié)重點(diǎn)：一階線(xiàn)性方程的通解公式難點(diǎn)：可化為一階線(xiàn)性的方程第三節(jié)

一階線(xiàn)性微分方程一、線(xiàn)性方程重點(diǎn)：實(shí)例1.問(wèn)題的提出有一電路圖,如圖所示,解根據(jù)基爾霍夫定律可得方程*基爾霍夫(G.R.Kirchhoff,1824～1887),

德國(guó)物理學(xué)家.他于1845年提出此定律一、線(xiàn)性方程實(shí)例1.問(wèn)題的提出有一電路圖,如圖所示,解根據(jù)基爾霍夫定律可2.定義方程(1)稱(chēng)為齊次的.方程(1)稱(chēng)為非齊次的.一階線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:例如線(xiàn)性的;非線(xiàn)性的.2.定義方程(1)稱(chēng)為齊次的.方程(1)稱(chēng)為非齊次的.一階線(xiàn)齊次方程的通解為(1)線(xiàn)性齊次方程3.解法是可分離變量的方程*齊次方程通解中的不定積分記號(hào)表示一個(gè)確定的原函數(shù)齊次方程的通解為(1)線(xiàn)性齊次方程3.解法是可分離變量作變換(2)線(xiàn)性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

?方程(2)稱(chēng)為方程(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程此時(shí)，記作變換(2)線(xiàn)性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為?方程(2作變換對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為積分得√方程(1)的通解為作變換對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為積分得√方程(1)的通解為注:將齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱(chēng)為常數(shù)變易法實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量替換.對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解非齊次通解=對(duì)應(yīng)齊次通解+非齊次特解注:將齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱(chēng)為常數(shù)變易解例1故方程的通解為代入通解公式得解例1故方程的通解為代入通解公式得例2

如圖所示，平行于軸的動(dòng)直線(xiàn)被曲線(xiàn)與截下的線(xiàn)段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線(xiàn).兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程所求曲線(xiàn)為例2如圖所示，平行于軸的動(dòng)直線(xiàn)被曲簡(jiǎn)解方程的通解為2005研故所求特解為*應(yīng)用通解公式時(shí)必須將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式例2簡(jiǎn)解方程的通解為2005研故所求特解為*應(yīng)用通解公式時(shí)必須將解例3代入公式得解例3代入公式得穩(wěn)態(tài)電流暫態(tài)電流故所求特解為分析

將上式改寫(xiě)為(1)(2)穩(wěn)態(tài)電流例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡(jiǎn),得特解并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時(shí)例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程(3)為線(xiàn)性微分方程

方程為(3)非線(xiàn)性微分方程二、伯努利方程1.定義*伯努利方程(3)是由詹姆斯.伯努利(JamesBernoulli,瑞士數(shù)學(xué)家,1654-1705)于1695年提出的伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程(3)為線(xiàn)性微求出通解后,將代入即得代入上式2.解法*此變量替換由萊布尼茲于1696年給出求出通解后,將代入即得代解例5解例5

?解法一代入原方程得隱式通解為解法二例6可分離變量的方程x關(guān)于y的一階線(xiàn)性非齊次方程*解法二如何理解??解法一代入原方程得隱式通解為解法二例6可分離變量的方程x例6

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為例6用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為解分離變量法得所求通解為解分離變量法得所求通解為三、小結(jié)2.線(xiàn)性非齊次方程3.伯努利方程

變量替換

常數(shù)變易法1.線(xiàn)性齊次方程

變量分離法(1)常數(shù)變易法;(2)變量替換;(3)改變變量的屬性三、小結(jié)2.線(xiàn)性非齊次方程3.伯努利方程變量替換

第五節(jié)

可降階的高階微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程重點(diǎn)：可降階的高階微分方程類(lèi)型及解法第五節(jié)

可降階的高階微分方程一、解法：特點(diǎn)：可得通解.一、型方程兩端積分，解法：特點(diǎn)：可得通解.一、例1解對(duì)所給方程連續(xù)兩次積分得：練習(xí)：例1解對(duì)所給方程連續(xù)兩次積分得：練習(xí)：解代入原方程解線(xiàn)性方程,得兩端積分,得原方程通解為例2解代入原方程解線(xiàn)性方程,得兩端積分,得原方程通解為例2特點(diǎn)：解法：二、型特點(diǎn)：解法：二、型例3解代入原方程并分離變量后，有兩端積分,得例3解代入原方程并分離變量后，有兩端積分,得于是原方程特解為兩端再積分,得于是原方程特解為兩端再積分,得特點(diǎn)：解法：三、型特點(diǎn)：解法：三、型解1代入原方程得原方程通解為例4解1代入原方程得原方程通解為例4解2原方程變?yōu)閮蛇叿e分,得原方程通解為解3從而通解為解2原方程變?yōu)閮蛇叿e分,得原方程通解為解3從而通解為解將方程寫(xiě)成積分后得通解注意:

這一部分技巧性較高,關(guān)鍵是代換和導(dǎo)數(shù)變形.例5解將方程寫(xiě)成積分后得通解注意:這一部分技巧性較高,關(guān)鍵是解代入原方程得例6解代入原方程得例6北航-高數(shù)課件例7.設(shè)降落傘系統(tǒng)的質(zhì)量為m，受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開(kāi)飛機(jī)時(shí)的速度為零。求降落傘降落的速度與時(shí)間的關(guān)系v(t).v(t)例7.設(shè)降落傘系統(tǒng)的質(zhì)量為m，受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降北航-高數(shù)課件

四、小結(jié)解法通過(guò)代換將其化成較低階的方程來(lái)求解.原方程通解為補(bǔ)充題:解四、小結(jié)解法通過(guò)代換將其化成較低階的方程來(lái)求解.原方程通練習(xí):求解下列方程練習(xí):求解下列方程習(xí)題12.3

1（4）（5）（6）2（2）3（1）4（2）習(xí)題12.5

1（2）（4）（6）2（3）習(xí)題12.3練習(xí)答案練習(xí)答案北航-高數(shù)課件

第三節(jié)

一階線(xiàn)性微分方程一、線(xiàn)性方程二、伯努利方程三、小結(jié)重點(diǎn)：一階線(xiàn)性方程的通解公式難點(diǎn)：可化為一階線(xiàn)性的方程第三節(jié)

一階線(xiàn)性微分方程一、線(xiàn)性方程重點(diǎn)：實(shí)例1.問(wèn)題的提出有一電路圖,如圖所示,解根據(jù)基爾霍夫定律可得方程*基爾霍夫(G.R.Kirchhoff,1824～1887),

德國(guó)物理學(xué)家.他于1845年提出此定律一、線(xiàn)性方程實(shí)例1.問(wèn)題的提出有一電路圖,如圖所示,解根據(jù)基爾霍夫定律可2.定義方程(1)稱(chēng)為齊次的.方程(1)稱(chēng)為非齊次的.一階線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:例如線(xiàn)性的;非線(xiàn)性的.2.定義方程(1)稱(chēng)為齊次的.方程(1)稱(chēng)為非齊次的.一階線(xiàn)齊次方程的通解為(1)線(xiàn)性齊次方程3.解法是可分離變量的方程*齊次方程通解中的不定積分記號(hào)表示一個(gè)確定的原函數(shù)齊次方程的通解為(1)線(xiàn)性齊次方程3.解法是可分離變量作變換(2)線(xiàn)性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

?方程(2)稱(chēng)為方程(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程此時(shí)，記作變換(2)線(xiàn)性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為?方程(2作變換對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為積分得√方程(1)的通解為作變換對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為積分得√方程(1)的通解為注:將齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱(chēng)為常數(shù)變易法實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量替換.對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解非齊次通解=對(duì)應(yīng)齊次通解+非齊次特解注:將齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱(chēng)為常數(shù)變易解例1故方程的通解為代入通解公式得解例1故方程的通解為代入通解公式得例2

如圖所示，平行于軸的動(dòng)直線(xiàn)被曲線(xiàn)與截下的線(xiàn)段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線(xiàn).兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程所求曲線(xiàn)為例2如圖所示，平行于軸的動(dòng)直線(xiàn)被曲簡(jiǎn)解方程的通解為2005研故所求特解為*應(yīng)用通解公式時(shí)必須將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式例2簡(jiǎn)解方程的通解為2005研故所求特解為*應(yīng)用通解公式時(shí)必須將解例3代入公式得解例3代入公式得穩(wěn)態(tài)電流暫態(tài)電流故所求特解為分析

將上式改寫(xiě)為(1)(2)穩(wěn)態(tài)電流例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡(jiǎn),得特解并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時(shí)例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程(3)為線(xiàn)性微分方程

方程為(3)非線(xiàn)性微分方程二、伯努利方程1.定義*伯努利方程(3)是由詹姆斯.伯努利(JamesBernoulli,瑞士數(shù)學(xué)家,1654-1705)于1695年提出的伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程(3)為線(xiàn)性微求出通解后,將代入即得代入上式2.解法*此變量替換由萊布尼茲于1696年給出求出通解后,將代入即得代解例5解例5

?解法一代入原方程得隱式通解為解法二例6可分離變量的方程x關(guān)于y的一階線(xiàn)性非齊次方程*解法二如何理解??解法一代入原方程得隱式通解為解法二例6可分離變量的方程x例6

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為例6用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為解分離變量法得所求通解為解分離變量法得所求通解為三、小結(jié)2.線(xiàn)性非齊次方程3.伯努利方程

變量替換

常數(shù)變易法1.線(xiàn)性齊次方程

變量分離法(1)常數(shù)變易法;(2)變量替換;(3)改變變量的屬性三、小結(jié)2.線(xiàn)性非齊次方程3.伯努利方程變量替換

第五節(jié)

可降階的高階微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程重點(diǎn)：可降階的高階微分方程類(lèi)型及解法第五節(jié)

可降階的高階微分方程一、解法：特點(diǎn)：可得通解.一、型方程兩端積分，解法：特點(diǎn)：可得通解.一、例1解對(duì)所給方程連續(xù)兩次積分得：練習(xí)：例1解對(duì)所給方程連續(xù)兩次積分得：練習(xí)：解代入原方程解線(xiàn)性方程,得兩端積分,得原方程通解為例2解代入原方程解線(xiàn)性方程,得兩端積分,得原方程通解為例2特點(diǎn)：解法：二、型特點(diǎn)：解法：二、型例3解代入原方程并分離變量后，有兩端積分,得例3解代入原方程并分離變量后，有兩端積分,得于是原方程特解為兩端再積分,得于是原方程特解為兩端再積分,得特點(diǎn)：解