多元函數(shù)微分學課件

第九章

多元函數(shù)微分學

(下)1第九章

多元函數(shù)微分學(下)11、設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個函數(shù)均可導.第六節(jié)偏導數(shù)在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面21、設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個函數(shù)均可導.第六節(jié)偏考察割線趨近于極限位置——切線的過程上式分母同除以割線的方程為3考察割線趨近于極限位置——切線的過程上式分母同除以割線得曲線在M處的切線方程切線的方向向量稱為曲線的切向量：法平面：過M點且與切線垂直的平面,4得曲線在M處的切線方程切線的方向向量稱為曲線的切向量：法平解例1所以在該點處的切向量為

所求切線方程為

法平面方程為

即5解例1所以在該點處的切向量為所求切線方程為法平面方程為2、設(shè)空間曲線方程為法平面方程為切線方程為62、設(shè)空間曲線方程為法平面方程為切線方程為6例2解將所給方程的兩邊對x求導并移項，得解得7例2解將所給方程的兩邊對x求導并移項，得解得7所求切線方程為法平面方程為由此得切向量即8所求切線方程為法平面方程為由此得切向量即81、曲面方程為在曲面上任取一條通過點M的曲線二、曲面的切平面與法線91、曲面方程為在曲面上任取一條通過點M的曲線二、曲面的切平面兩邊關(guān)于

t求導,得

所以的切向量,上式表明它與向量垂直.由于曲線在曲面上,故有10兩邊關(guān)于t求導,得所以的切向量,上式表明它與向量垂直.這個平面稱為曲面在該點的切平面,

切平面方程為法線方程為11這個平面稱為曲面在該點的切平面,切平面方程為法線方程例3解所求切平面方程為

即所求法線方程為

12例3解所求切平面方程為即所求法線方程為12曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令2、曲面方程為13曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令2、曲面切平面上點的豎坐標的增量因為曲面在M處的切平面方程為全微分的幾何意義

14切平面上點的豎坐標的增量因為曲面在M處的切平面方程為全微例4解切平面方程為法線方程為15例4解切平面方程為法線方程為15解設(shè)為曲面上的切點,依題意，切平面方程平行于已知平面，得例5因為是曲面上的切點，所求切點為滿足曲面方程16解設(shè)為曲面上的切點,切平面方程(1)切平面方程(2)切點為17切平面方程(1)切平面方程(2)切點為17練習：P71習題9.61.(1)18練習：P71習題9.618第七節(jié)多元函數(shù)的極值播放19第七節(jié)多元函數(shù)的極值播放19一、多元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.

使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.

第七節(jié)多元函數(shù)的極值20一、多元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得(1)(2)(3)例1例2例321(1)(2)(3)例1例2例321多元函數(shù)取得極值的條件（稱駐點）

駐點極值點注意：定理1（必要條件）

問題：如何判定一個駐點是否為極值點？22多元函數(shù)取得極值的條件（稱駐點）駐點極值點注意：定理1（必定理2（充分條件）負定正定23定理2（充分條件）負定正定23例4解無極值極小值極大值無極值駐點-53124例4解無極值極小值極大值無極值駐點-53124求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.二、多元函數(shù)的最值25求最值的一般方法：二、多元函數(shù)的最值25解例5先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點，解方程組26解例5先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點，解方程組26為最小值.27為最小值.27若根據(jù)實際問題,目標函數(shù)有最大值(或最小值),而在定義區(qū)域內(nèi)部有唯一的極大(小)值點,則可以斷定該極大(小)值點即為最大(小)值點.

例6解28若根據(jù)實際問題,目標函數(shù)有最大值(或最小值),而在定令29令29三、條件極值問題例7用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容積為V,問怎么做用料最??？

實際問題中,目標函數(shù)的自變量除了受到定義域的限制外,往往還受到一些附加條件的約束,這類極值問題稱條件極值問題.

解即表面積最小.

代入目標函數(shù),化為無條件極值問題：

xyz30三、條件極值問題例7用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容內(nèi)部唯一駐點,且由實際問題S有最小值,故做成立方體表面積最小.

這種解法的缺點：

1.變量之間的平等關(guān)系和對稱性被破壞；

2.有時隱函數(shù)顯化困難甚至不可能.

31內(nèi)部唯一駐點,且由實際問題S有最小值,故做成立方體表面積最小拉格朗日乘數(shù)法引入拉格朗日函數(shù)令若這樣的點惟一,由實際問題,可直接確定此即所求的點。32拉格朗日乘數(shù)法引入拉格朗日函數(shù)令若這樣的點惟一,由實際問題,則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

令33則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為令33例7用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容積為V,問怎么做用料最??？

解由實際問題,即為最小值點.

xyz34例7用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容積為V,問怎么做例8解解得唯一駐點

即做成正三角形時面積最大.

35例8解解得唯一駐點即做成正三角形時面積最大.35三角形中,以正三角形面積為最大：四邊形中,以正方形面積為最大：

五邊形(正)：圓：最大36三角形中,以正三角形面積為最大：四邊形中,以正方形面積為最例9解此橢圓的中心顯然是坐標原點,因此問題即求

下的最大值和最小值.

作拉格朗日函數(shù)37例9解此橢圓的中心顯然是坐標原點,因此問題即求下的最大值和由38由383939例10解作拉格朗日函數(shù)40例10解作拉格朗日函數(shù)40由問題的實際意義知，最大利潤一定存在，故當兩種廣告方式分別投入15萬元與10萬元時，廣告產(chǎn)生的利潤最大，最大的利潤為

41由問題的實際意義知，最大利潤一定存在，故當兩種廣告方式分別投例11解42例11解42由由實際問題，此即最佳分配方案.

43由由實際問題，此即最佳分配方案.43練習：P79習題9.71.44練習：P79習題9.744第八節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)45第八節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)45當沿著l趨于P時，是否存在？46當沿著l趨于P時，是否存在？46定義若極限

當沿著l趨于P時，47定義若極限當沿著l趨于P時，47證由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以，得到定理且有48證由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以，得到定理且有4故有方向?qū)?shù)49故有方向?qū)?shù)49解例1所求方向?qū)?shù)50解例1所求方向?qū)?shù)50解例2所求方向?qū)?shù)51解例2所求方向?qū)?shù)51解例352解例352故方向?qū)?shù)等于0.53故方向?qū)?shù)等于0.53解例4單位化54解例4單位化54三元函數(shù)的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是偏導數(shù)的推廣，偏導數(shù)是特定方向的方向?qū)?shù)。55三元函數(shù)的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是偏導數(shù)的推廣，偏導數(shù)是特定方向的解例5所求方向?qū)?shù)由對稱性可得56解例5所求方向?qū)?shù)由對稱性可得56解令例6故57解令例6故57二、梯度gradient58二、梯度gradient58其中59其中59在幾何上表示一個曲面,曲面被平面截得曲線所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量60在幾何上表示一等高線的畫法播放61等高線的畫法播放61例如,62例如,62三元函數(shù)的梯度63三元函數(shù)的梯度63例7解所以64例7解所以64例8解所以f在梯度方向的方向?qū)?shù)為65例8解所以f在梯度方向的方向?qū)?shù)為65梯度的性質(zhì)(1)若f，g為可微數(shù)量函數(shù)，則66梯度的性質(zhì)(1)若f，g為可微數(shù)量函數(shù)，則66練習：P83習題9.81.67練習：P83習題9.867等高線的畫法68等高線的畫法68等高線的畫法69等高線的畫法69等高線的畫法70等高線的畫法70等高線的畫法71等高線的畫法71等高線的畫法72等高線的畫法72等高線的畫法73等高線的畫法73等高線的畫法74等高線的畫法74等高線的畫法75等高線的畫法75等高線的畫法76等高線的畫法76第七節(jié)多元函數(shù)的極值77第七節(jié)多元函數(shù)的極值77第七節(jié)多元函數(shù)的極值78第七節(jié)多元函數(shù)的極值78第七節(jié)