黃岡中學初高中銜接教材含答案

黃岡中學初高中數(shù)學銜接教材

｛新課標人教A版｝

100頁超權(quán)威超容量完整版

典型試題舉一反三

理解記憶成功銜接

｛黃岡中學教材系列｝第一部分如何做好初高中銜接「3頁第二部分現(xiàn)有初高中數(shù)學知識存在的“脫節(jié)”4頁第三部分初中數(shù)學與高中數(shù)學銜接緊密的知識點5-9頁第四部分分章節(jié)講解 10-66頁第五部分銜接知識點的專題強化訓練67T00頁第一部分，如何做好高、初中數(shù)學的銜接?第一講如何學好高中數(shù)學?初中生經(jīng)過中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中課程學好的愿望。但經(jīng)過一段時間，他們普遍感覺高中數(shù)學并非想象中那么簡單易學，而是太枯燥、乏味、抽象、晦澀，有些章節(jié)如聽天書。在做習題、課外練習時，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當部分學生進入數(shù)學學習的“困難期”，數(shù)學成績出現(xiàn)嚴重的滑坡現(xiàn)象。漸漸地他們認為數(shù)學神秘莫測，從而產(chǎn)生畏懼感，動搖了學好數(shù)學的信心，甚至失去了學習數(shù)學的興趣。造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于初、高中數(shù)學教學上的銜接問題。下面就對造成這種現(xiàn)象的一些原因加以分析?、總結(jié)。希望同學們認真吸取前人的經(jīng)驗教訓，搞好自己的數(shù)學學習。-高中數(shù)學與初中數(shù)學特點的變化1數(shù)學語言在抽象程度上突變。不少學生反映，集合、映射等概念難以理解,覺得離生活很遠，似乎很“玄”。確實，初、高中的數(shù)學語言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數(shù)學一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學習到的函數(shù)語言、空間立體幾何等。2思維方法向理性層次躍遷。高中數(shù)學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等，分別確定了各自的思維套路。因此，初中學習中習慣于這種機械的、便于操作的定勢方式。高中數(shù)學在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當然，能力的發(fā)展是漸進的，不是一朝一夕的。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應，故而導致成績下降。高一新生一定要能從經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證型思維。3知識內(nèi)容的整體數(shù)量劇增。高中數(shù)學在知識內(nèi)容的“量”上急劇增加了。例如：高一《代數(shù)》第一章就有基本概念52個，數(shù)學符號28個；《立體幾何》第一章有基本概念37個，基本公理、定理和推論21個；兩者合在一起僅基本概念就達89個之多，并集中在高一第一學期學習，形成了概念密集的學習階段。加之高中一年級第一學期只有七十多課時，輔助練習、消化的課時相應地減少了。使得數(shù)學課時吃緊，因而教學進度一般較快，從而增加了教與學的難度。這樣，不可避免地造成學生不適應高中數(shù)學學習，而影響成績的提高。這就要求：第一，耍做好課后的復習工作，記牢大量的知識。第二，要理解掌握好新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系,使新知識順利地同化于原有知識結(jié)構(gòu)之中。第三，因知識教學多以零星積累的方式進行的，當知識信息量過大時，其記憶效果不會很好，因此要學會對知識結(jié)構(gòu)進行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實行“整體集裝”。如表格化，使知識結(jié)構(gòu)一目了然;類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統(tǒng)一；使幾類問題同構(gòu)于同一知識方法。第四，要多做總結(jié)、歸類，建立主體的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡。二不良的學習狀態(tài)1學習習慣因依賴心理而滯后。初中生在學習上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分數(shù)，初中數(shù)學教師將各種題型都一一羅列，學生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切，回家后輔導也是常事。升入高中后，教師的教學方法變了，套用的“模子”沒有了，家長輔導的能力也跟不上了。許多同學進入高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉(zhuǎn)，沒有掌握學習的主動權(quán)。表現(xiàn)在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。2思想松懈。有些同學把初中的那一套思想移植到高中來。他們認為自己在初一、二時并沒有用功學習，只是在初三臨考時才發(fā)奮了一、二個月就輕而易舉地考上了高中，有的還是重點中學里的重點班，因而認為讀高中也不過如此。高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時再發(fā)奮一、二個月，也一樣會考上一所理想的大學的。存有這種思想的同學是大錯特錯的。有多少同學就是因為高一、二不努力學習，臨近高考了，發(fā)現(xiàn)自己缺漏了很多知識再彌補后悔晚矣。3學不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課沒能專心聽課，對耍點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆；課后又不能及時鞏固、總結(jié)、尋找知識間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解,機械模仿，死記硬背。還有些同學晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結(jié)果是事倍功半，收效甚微。4不重視基礎。一些“自我感覺良好”的同學，常輕視基礎知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經(jīng)常是知道怎么做就算了，而不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高鷲遠，重“量”輕“質(zhì)”，陷入題海。到正規(guī)作業(yè)或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”。5進一步學習條件不具備。高中數(shù)學與初中數(shù)學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好準備。高中數(shù)學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值的求法、實根分布與參變量的討論、，三角公式的變形與靈活運用、空間概念的形成、排列組合應用題及實際應用問題等。有的內(nèi)容還是初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補救措施，查缺補漏，就必然會跟不上高中學習的耍求。三科學地進行學習高中學生僅僅想學是不夠的，還必須“會學”，耍講究科學的學習方法，提高學習效率，才能變被動學習為主動學習，才能提高學習成績。1培養(yǎng)良好的學習習慣。反復使用的方法將變成人們的習慣。什么是良好的學習習慣？良好的學習習慣包括制定計劃、課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學習幾個方面。(1)制定計劃使學習目的明確，時間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動主動學習和克服困難的內(nèi)在動力。但計劃一定要切實可行，既有長遠打算，又有短期安排，執(zhí)行過程中嚴格要求自磨煉學習意志。(2)課前自學是上好新課、取得較好學習效果的基礎。課前自學不僅能培養(yǎng)自學能力，而且能提高學習新課的興趣，掌握學習的主動權(quán)。自學不能走過場，耍講究質(zhì)量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上。(3)上課是理解和掌握基礎知識、基本技能和基本方法的關鍵環(huán)節(jié)?！皩W然后知不足”，課前自學過的同學上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過，該記的地方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。(4)及時復習是高效率學習的重要一環(huán)。通過反復閱讀教材，多方面查閱有關資料，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學的新知識與有關舊知識聯(lián)系起來，進行分析比效，一邊復習一邊將復習成果整理在筆記本上，使對所學的新知識由“懂”至！1“會”。(5)獨立作業(yè)是通過自己的獨立思考，靈活地分析問題、解決問題，進一步加深對所學新知識的理解和對新技能的掌握過程。這一過程也是對意志毅力的考驗,通過運用使對所學知識由“會”到“熟”。(6)解決疑難是指對獨立完成作業(yè)過程中暴露出來對知識理解的錯誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過點撥使思路暢通，補遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯的作業(yè)再做一遍。對錯誤的地方要反復思考。實在解決不了的要請教老師和同學，并要經(jīng)常把易錯的知識拿來復習強化，作適當?shù)闹貜托跃毩?，把求老師問同學獲得的東西消化變成自己的知識，使所學到的知識由“熟”到“活”。(7)系統(tǒng)小結(jié)是通過積極思考，達到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識和發(fā)展認識能力的重要環(huán)節(jié)。小結(jié)要在系統(tǒng)復習的基礎上以教材為依據(jù)，參照筆記與資料，通過分析、綜合、類比、概括，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，以達到對所學知識融會貫通的目的。經(jīng)常進行多層次小結(jié)，能對所學知識由“活”到“悟”。(8)課外學習包括閱讀課外書籍與報刊，參加學科競賽與講座，走訪高年級同學或老師交流學習心得等。課外學習是課內(nèi)學習的補充和繼續(xù)，它不僅能豐富同學們的文化科學知識，加深和鞏固課內(nèi)所學的知識，而且能夠滿足和發(fā)展興趣愛好，培養(yǎng)獨立學習和工作的能力，激發(fā)求知欲與學習熱情。2循序漸進，防止急躁。由于同學們年齡較小，閱歷有限，為數(shù)不少的同學容易急躁。有的同學貪多求快，囪冏吞棗；有的同學想靠幾天“沖刺”一蹴而就;有的取得一點成績便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學們要知道，學習是一個長期地鞏固舊知、發(fā)現(xiàn)新知的積累過程，決非一朝一夕可以完成的。為什么高中要學三年而不是三天！許多優(yōu)秀的同學能取得好成績，其中一個重要原因是他們的基本功扎實，他們的閱讀、書寫、運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度。3注意研究學科特點，尋找最佳學習方法。數(shù)學學科擔負著培養(yǎng)運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力以及運用所學知識分析問題、解決問題的能力的重任。它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高。學習數(shù)學一定要講究“活”，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結(jié)積累也不行。對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來，結(jié)合自身特點，尋找最佳學習方法。華羅庚先生倡導的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學習過程就是這個道理。方法因人而異，但學習的四個環(huán)節(jié)（預習、上課、作業(yè)、復習）和一個步驟（歸納總結(jié)）是少不了的。第二部分，現(xiàn)有初高中數(shù)學知識存在以下“脫節(jié)”.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。.因式分解初中一般只限于二次項且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為“1”的涉及不多，而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。.二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。.初中教材對二次函數(shù)要求較低，學生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學必須掌握的基本題型與常用方法。.二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關系（韋達定理）在初中不作耍求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運算和難度不大的應用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門的講授。.圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數(shù)關于原點，軸、直線的對稱問題必須掌握。.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這部分內(nèi)容視為重難點。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。.幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理,射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒有學習，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學大大弱化，不利于高中知識的講授。第三部分初中數(shù)學與高中數(shù)學銜接緊密的知識點1絕對值：⑴在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值。⑵正數(shù)的絕對值是他本身，負數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)，0的絕對值是0,即fa(a>0)|tz|=\0(n=0)<0)⑶兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小(4)兩個絕對值不等式:|x|<a(a>0)=—<尤<a；|x|>a(a>0)=/<或x>〃2乘法公式：⑴平方差公式：a2-b2=(a-^h)(a-h)⑵立方差公式：a'-h3=(6F-/?)(tz2+ab+H)⑶立方和公式：a^b3=(a+h)(a2-ah+h2)⑷完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab^-h2,(a+Z?+c)?=a?+b?+c?+2ab+2ac+2bc⑸完全立方公式：(。土bp=/±3a2b-^-3ab2±b'3分解因式：⑴把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。⑵方法：①提公因式法，②運用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。4一元一次方程：⑴在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程。⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化為lo⑶關于方程。X=b解的討論①當axO時，方程有唯一解x=2;a②當a=0,b￥0時，方程無解③當。=0,b=0時，方程有無數(shù)解；此時任一實數(shù)都是方程的解。5二元一次方程組：(1)兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。(2)適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。(3)二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。(4)解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。6不等式與不等式組(1)不等式：①用符不等號(＞、#、＜)連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向相反。(2)不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式組：①關于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。7一元二次方程：ax2+hx+c=0(<20)①方程有兩個實數(shù)根<=> A=Z?2-4ac>0[A>0②方程有兩根同號<=> \cxtx2=—>0Ia[A>0③方程有兩根異號o \cxtx2=—<0Ia④韋達定理及應用：%+/=-2小%=上aa

x：+x；=（演+x2）2-2x^2, |七一々I=Q（X1+x2）2-4x^2Va_"2-4ac\a\同M+W=（再+X?）（X）2一X］々+X；）=（再+/）［（再+無2）Va_"2-4ac\a\同(1)變量：因變量，自變量。在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數(shù)軸上的點自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。一次函數(shù)：①若兩個變量y,x間的關系式可以表示成y=H+8(%為常數(shù)，女不等于0)的形式，則稱y是x的一次函數(shù)。②當6=0時，稱y是x的正比例函數(shù)。一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)①把一個函數(shù)的自變量x與對應的因變量y的值分別作為點的橫坐標與縱坐標,在直角坐標系內(nèi)描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)y=Ax的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。③在一次函數(shù)中，當k<0,b<0,則經(jīng)2、3、4象限；當上<0,8〉0時，則經(jīng)1、2、4象限；當2>0,匕<0時，則經(jīng)1、3、4象限；當太>0,b〉0時，則經(jīng)1、2、3象限。④當%>0時，y的值隨x值的增大而增大，當女<0時，y的值隨x值的增大而減少。(4)二次函數(shù):①一般式：y=ax1bx+c=a(x+—)2 —―(。w0),對稱軸是x=-2,2a4a 2a頂點是(一2,也世)；2a4a②頂點式：y=a(x-^m)2+k(awO),對稱軸是工=-加,頂點是(-川，女)；③交點式:y=a(x-xl)(x-x2)(?o),其中(*,0),(x2,0)是拋物線與x軸的交點(5)二次函數(shù)的性質(zhì)h①函數(shù)y +bx+c(。工0)的圖象關于直線工= 對稱。2a_ h②。〉0時，在對稱軸(丸=-2)左側(cè)，y值隨x值的增大而減少；在對稱軸2a(x=-2)右側(cè)；y的值隨x值的增大而增大。當x=-2時，y取得最小值2a 2a4砒-/4a③a<0時，在對稱軸(x=-2)左側(cè)，y值隨x值的增大而增大；在對稱軸2ab b(x=-=)右側(cè)；y的值隨x值的增大而減少。當x=-3時，y取得最大值2a 2a4ac-b29圖形的對稱(1)軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。(2)中心對稱圖形：①在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。10平面直角坐標系(1)在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成平面直角坐標系。水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標軸，他們的公共原點。稱為直角坐標系的原點。(2)平面直角坐標系內(nèi)的對稱點：設用'(馬,必)是直角坐標系內(nèi)的兩點，①若M和關于y軸對稱，則有1*=一々。[yi=y2②若M和關于x軸對稱，則有。I7i=-y2③若m和m關于原點對稱，則有卜二一與。5=一必④若〃和關于直線y=x對稱，則有「小力。⑤若M和關于直線x=a對稱，則有H=2"/或小=2a-%。I%=必I11統(tǒng)計與概率：(1)科學記數(shù)法：?個大于10的數(shù)可以表示成AxlO,的形式，其中A大于等于1小于10,N是正整數(shù)。(2)扇形統(tǒng)計圖：①用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分,扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。②扇形統(tǒng)計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數(shù)與360度的比。(3)各類統(tǒng)計圖的優(yōu)劣：①條形統(tǒng)計圖：能清楚表示出每個項目的具體數(shù)目；②折線統(tǒng)計圖：能清楚反映事物的變化情況；③扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。(5)平均數(shù)：對于N個數(shù)%,％,…,右，我們把《(%+%+…+X/)叫做這個N個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記為嚏。(6)加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時往往給每個數(shù)據(jù)加一個權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。(7)中位數(shù)與眾數(shù)：①/個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。②一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個數(shù)據(jù)叫做這個組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。③優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個數(shù)據(jù)如果重復次數(shù)大致相等時，眾數(shù)往往沒有特別的意義。(8)調(diào)查：①為了一定的目的而對考察對象進行的全面調(diào)查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體。②從總體中抽取部分個體進行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。③抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優(yōu)點是調(diào)查范圍小，節(jié)省時間，人力，物力和財力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準確。為了獲得較為準確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時要主要樣本的代表性和廣泛性。(9)頻數(shù)與頻率：①每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。②當收集的數(shù)據(jù)連續(xù)取值時，我們通常先將數(shù)據(jù)適當分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。(10)數(shù)據(jù)的波動：①極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。②方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù)。③標準差就是方差的算術(shù)平方根。④一般來說，一組數(shù)據(jù)的極差，方差，或標準差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。(11)事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無法肯定他會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件。③一般來說，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。(12)概率：①人們通常用1(或100%)來表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來表示不可能事件發(fā)生的可能性。②游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)生的概率為1,記作P(必然事件)=1；不可能事件發(fā)生的概率為0,記作尸(不可能事件)=0;如果A為不確定事件，那么0<P(4)<l第四部分分章節(jié)突破數(shù)與式的運算絕對值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.4分式1.2分解因式2.1一元二次方程2.1.1根的判別式2.1.2根與系數(shù)的關系（韋達定理）2.2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)尸a*+6x+c的圖像和性質(zhì)2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式2.2.3二次函數(shù)的簡單應用2.3方程與不等式3.1二元二次方程組解法3.2一元二次不等式解法1相似形1.1.平行線分線段成比例定理1.2相似形3.2三角形三角形的“四心”兒種特殊的三角形3.3.1直線與圓，圓與圓的位置關系3.3.2點的軌跡1.1數(shù)與式的運算1.1.1.絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),零的絕對值仍是零.即Q,〃>0,|a|=<0,a—0,[-a,a<0.絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.兩個數(shù)的差的絕對值的兒何意義：I。-4表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)b之間的距離.例1解不等式：卜一1|+卜-3|>4.解法-,:由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得x=3；①若x<l,不等式可變?yōu)?(x-l)-(x-3)>4,即-2x+4>4,解得xVO,又“V1,...xVO；②若lWx<2,不等式可變?yōu)榧?>4,...不存在滿足條件的X；③若X23,不等式可變?yōu)椋ǎァ?）+。一3）>4,即2%-4>4,解得x>4.又x23, x>4.綜上所述，原不等式的解為x<0,或x>4.解法二：如圖1.1—1,k-1|表示X軸上坐標為X的點夕到坐標為1的點A之間的距離IHI，即|川=|又一1|；即一3||x-3| A TOC\o"1-5"\h\z表示x軸上點a到坐標為2的點8之間的距 ，71ni V /I o L/I I I I I :離|陽即|如|=*一3|. 0 \ 3 4 x以一1|所以，不等式|x-1|+卜-3|>4的幾何意 圖1.1一1義即為\PA\+\PB\>4.由|3|=2,可知點P在點。（坐標為0）的左側(cè)、或點尸在點〃（坐標為4）的右側(cè).xVO,或x>4.練習1.填空:(1)若國=5,則產(chǎn)；若|x|=|-4|,則產(chǎn).(2)如果同+網(wǎng)=5,且a=-1,則b=；若|1-c|=2,則c=.2.選擇題：下 歹U 敘()(A)若同=例，則a=b(C)若a<b,則<|b|述正確的是(B)若同〉網(wǎng),則a〉b(D)若同=M|，則“=±63.化簡：|x—51—12x—13](x>5).1.1.2.乘法公式我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：(1)平方差公式 (a+b)(a-6)=/一/；(2)完全平方公式 (。士bf=a?±.我們還可以通過證明得到下列?些乘法公式：(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三數(shù)和平方公式(a+Z?)(a~-ab+/?")=a+h；(a—b)(a~+uh+h~)=s-；(a+Z7+c)~=a~+b~+c~+2(g/j+he+ac)；(4)兩數(shù)和立方公式(a+bp=ay+3a2b+3/+；(5)兩數(shù)差立方公式 (a-/?)'=/一3。力+3。價一方.對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明.例1計算：(X+l)(x-l)(x(4加+ )~=166+4m+( )；-(4加+ )~=166+4m+( )；解法一：原式=(/_1)[(爐+1)2一巧=，-1)(/+/+1)=X6-1.解法二：原式=(尤+1)(/一X+l)(x-l)(x2+X+1)=(x(a+2b-c)2(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+( ).2.選擇題：—x6—1.例2已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求T+b?+c?的值.2c+2c+2b十2aa1-3

+b1-2

z(\=21一4一2lj9\)z(1)若(1)若X2+—mx+k是一個

2完全平方式，則々等于(A)m2(B)-m24(A)m2(B)-m24(C)-m

3(D)162)不論a,方為何實)(A)總是正數(shù)(C)可以是零數(shù)> a~+b~—2a—4Z?+8的值(B)總是負數(shù)(D)可以是正數(shù)也可以是負數(shù)二次根式?般地，形如右(a20)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如3a+^a2+b+2b,J">。等是無理式,而瓜z+冬x+l,x2+y[2xy+y2,"等是有理式..分母(子)有理化把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如正與血，3右與，6+網(wǎng)與6-娓,2月-3及與26+3及，等等.一般地，ayfx與ay/x+byfyay/x-by/^,“4+6與互為有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式右筋=疝(。20乃20)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式..二次根式"的意義病=同=卜o-0>[-a,a<0.例1將下列式子化為最簡二次根式：y/\2b； (2)4a^b(a>0)； (3)，4尤6y(x<0).解：(1)>/}2b=2yf3b；a2b= =ay/b(a>0)；\]4x6y=2|x31y/y=-2x3y[y(x<0).例2計算：6+(3-6).解法一'：G+(3—百)=-3-V373-(3+73)

(3-揚(3+拘373+39-33(V5+i)6_V3+12'解法二： G+(3-G)=3-V3G(G-i)_i

V3-1G+i

(>/3-l)(V3+l)_V3+1例3試比較下列各組數(shù)的大小:(1)(1)VH-Vh^nVn-Vio；(2)2V6+4解:⑴55丁解:⑴55丁2V6+4<2V2-V6.TOC\o"1-5"\h\z(位-而)(如+布)_ 1Vii+Vn-無+拒舊-M（而一而）（而+而）_ 11 -TTT+Vio —而+而又疝+而〉而7>質(zhì),Vil-Vn<Vn-Vio....2五—瓜=2近一瓜=(20-1)(20+卡)= 21 - 2y[2+46 -2V2+V6又4>2^2,，m+4>m+2卷例4化簡：（百+V2）2004.（6-及嚴$.W：(V3+V2)2004-(V3-V2)2005=(6+V2)2004.(6-VI產(chǎn),.(百-&)=[(V3+揚.(百—揚廣4-(V3-V2)=12oo4.(>/3-V2)=V3-V2.例5化簡：（1）也-46；(2)x-4——2(0<x<1).解：(1)原式=。5+4指+4=J（肉、2x2x后+2==7（2-V5）2=|2-V5|=75-2.1X1X—X(2)原式=已知已知x>/3—>/2V34-y[i v- 5/34-5/2 y/3~~>/2求3』-5xy+3y?的值,解:*+繇=向后+回物』。,_也_6百+&_X>->/3+V2V3-V2-'3x2-5xy+3y2=3(x+y)2-1Ixy=3x102-11=289.L填空:(1)1—>/3l+>/3(2)若J(5—x)(x—3)2=(x—3)V^，則x的取值范圍是4V24-6V54+3V96-2Vi50=(4)Jx+(4)Jx+1-s/x—1?Jx+l+>/x—12.選擇題:等式/衛(wèi)=7工成立的條件是VX—2y/x—2)(A)xh2 (B)x>0 (C)x>2 (D)0<x<2.若4五HTE已，求…的值.。+1.比較大?。?—小#-木（填“>”，或"V”）.1.4.分式.分式的意義4 A形如△的式子，若3中含有字母，且8#0,則稱△為分式.當/斤0時，分B BA式自具有下列性質(zhì)：BA_AxM~B~BxM：A_A+MBB+M上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)..繁分式a像竺爐K這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.c+d21nn-\-p例1若且巴=&+_￡_,求常數(shù)A,8的值.x(x+2)xx+2bji??ABA{x4-2)+Bx+ +2A 5x4-4W：?-I = = = ，xx+2x(x+2) x(x+2) x(x+2).JA+B=5,,,i2A=4,解得A=2,B=3.

(1)試證：——-(其中(1)試證：——-(其中A是正整數(shù));(2)計算:11 1 1x22x31+…+ 9x10(3)證明：對任意大于1的正整數(shù)〃，有」一+」一+―+―-—<-.2x33x4 〃(〃+1)2(1)證明：v-一一L=?+!)-1=—?—,

n〃+1n(n4-1)n(n+l)(其中〃是正整數(shù))成立.n(n+1)nn+1(2)解：由(1)可知(3) 1 1x22x31+證明：；1

3^41

(3) 1 1x22x31+證明：；1

3^41

9x10“1、，11、]

n(n+1)1= ，〃+1又〃22,且〃是正整數(shù)，一定為正數(shù)，.1 1 1八2x33x4n(n+1)2例3設e=￡,且e>l,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.a解：在21-5ac+2，=0兩邊同除以a?,得2^~5e+2=0,(2e—1)(e—2)=0,<1,舍去；或e=2.?二e=2.練習1.填空題:對任意的正整數(shù)〃，—^―=一(--——);〃(〃+2)nn+22.選擇題：lx—y2

x+y3(A)1(B)-(C)(D)3.正數(shù)滿足x2-y2=2xy,求^_的值.x+y4.計算貴+11

1

2x33x4199x100.解不等式:|x-l|>3； (2)|x+3|+|x-2|<7；|x-l|+|x+l|>6..已知x+y=l,求d+V+s孫的值..填空：(2+后“2-廚9=；(2)若7(1-?)2+J(l+a>=2,則a的取值范圍是:11111.填空:貝ij_3aJ"_

3a2+5ah-2h2⑵若i+H，則xF叫廠_x+y.已知：x=-,y=-,求義一段的值.2 3vx—\]yJx+JyC組1.選擇題：1.選擇題：( 1 )若\l-a—b-2\[ab=\/-b-y/-a(A)a<h2)(A)(A)a<h2)(A)yf-a(B) (C)-\[-a(D)h<a<0(D)->[a2.解方程2(/4--y)-3(x+-^-)-l=0.

X X3.計算: d3.計算: d + +1x32x43x51

9x114.4.試證：對任意的正整數(shù) 1 F,??4 1x2x32x3x4 〃(〃+1)(〃+2)1.1.1.絕對值1.(1)±5；±4 (2)±4；-1或3 2.D3.3a-181.2.乘法公式(1)-a--b (2) (3)4ab-2ac-4bc3 2 24(1)D(2)A1.1.3.二次根式1. (1)百-2 (2)3<x<5 (3)-8>/6 (4)亞.2.C3.14.>1.1.4.分式2.B3.V2-14.2.B3.V2-14.國100習題1.i.i.4.(1)(2)-4VxV3(1)2-V3(2)i.i.4.(1)(2)-4VxV3(1)2-V3(2)42.(3)%<-3,或x>3C組(1)C(2)C2.x=-,x,=2 3.—122 55提示： ! =-[—1 1 ]〃(〃+1)(〃+2)2 + (〃+1)(〃+2)

例1分解因式：(1)y-3%+2； (2)^+4/—12；x2-(a+b)xy+aby2； (4)xy-l+x-y.解：(1)如圖1.2—1,將二次項/分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成一1與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一3x,就是產(chǎn)一3x+2中的一次項，所以，有V—3x+2=(x—1)(x—2).說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時,可以直接將圖1.2-1說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時,可以直接將圖1.2-1中的兩個x用1來表示(如圖1.2—2所示).(2)由圖1.2-3,得A3+4x—12=(x—2)(x+6).(3)由圖1.2-4,得廣一(q+h)xy+aby"=(x一分)(x—by)xy-\+x-y=xy+(x—y)—1=(X—1)(尸4)(如圖1.2—5所示)..提取公因式法與分組分解法例2分解因式：/+9+3x?+3x； (2)2x?+xy——4x+5y—6.: (1)/+9+3x~+3x=(丁+3W)+(3x+9)=x~(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3).或x'+9+3x~+3x=(丁+3x2+3x+1)+8=(x+l)'+8:=(x+1)3+23=[(x+1)+2][(x+1)2-(x+1)x2+22]=(x+3)(r+3).2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).或2x~+xy—y~_4x+5y—6=(2x~+xy—y~)—(4x—5y)—6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6=(2x-y+2)(x+y-3)..關于x的二次三項式aV+b戶c(a2O)的因式分解.若關于刀的方程。/+法+。=0(。工0)的兩個實數(shù)根是玉、x2,則二次三項式ax2+/?x+c(qw0)就可分解為a(x-x})(x-x2).例3把下列關于x的二次多項式分解因式：(2)x2+4xy-4y2.

解：(1)令/+2%一1=0,則解得玉=-1+&,X2=-\-yfl,：.xx2-2y[2x-3x2-2y[2x-3；(4)(/—2婿一7(Y-2x)+12.3.AA8c三邊a,b, +b2+c2=ab+bc+ca,試判定AABC的形狀.4.分解因式：^+x-(a2—a).=(x+l-V2)(x+l+V2).(2)令V+4盯一4y2=0,貝IJ解得m=(-2+2夜)y,內(nèi)=(一2-2&)>,x2+4xy-4/=[x+2(l-V2)y][x+2(l+V2)y].練習1.選擇題:多項式2———一15產(chǎn)的一個因式為(A)2x-5y(A)2x-5y (B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y2.2.分解因式：(1)/+6x+8；(3) 2x—1；.分解因式：/+1；b~+c~+2ab+lac+2bc.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x?-5x+3；(3)3犬+4刈一了2；(2)8a一尻(4)4(x-y+l)+y(y-2x).習題1.2(2)4x4-13/+9；(4)3/+5xy-2y之+x+9y-4L2分解因式B(1)(x+2)(x+4) (2)(2a-b)(4a2+2ab+b2)(3)(x-l-揚(x-1+偽 (4)(2-y)(2x-y+2).習題1.21.(1)(a+l)(a2-a+1) (2)(2x+3)(2x-3)(x+l)(x-l)(b+c)(b+c+2a) (4)(3y-y+4)(x+2y-1)3x+ yx+ y； (4)(x-3)(x+l)(x-l-V5)(x-l+5/5)..等邊三角形.(x—a+l)(x+a)2.1一元二次方程2.1.1根的判別式我們知道，對于,一元二次方程af+6x+c=0（a六0）,用配方法可以將其變形b、2b2—4ac(x+—)2= -2a4a2因為aWO,所以，4a2>0.于是(1)當Z/-4ac>0時，方程①的右端是?個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根汨，汨，2=(2)當62-4ac=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根b用=蒞=——；2a(3)當6-4acV0時，方程①的右端是一個負數(shù)，而方程①的左邊(x+2)2一2a定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根.由此可知，一元二次方程a^+bx+c=O(aWO)的根的情況可以由F—4ac來判定，我們把加一4ac叫做一元二次方程a*2+8x+c=0(aWO)的根的判別式，通常用符號“△”來表示.綜上所述，對于一元二次方程a^+bx+c=O(aWO),有(1)當△>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根-b±yjh2-4acXi.2= ；2a(2)當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根(3)當AV0時，方程沒有實數(shù)根.例1判定下列關于X的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根.(1) 3x+3=0； (2)/—ax—1=0；ax-\-(a—1)=0； (4)系-2x+a=0.解：(1)?.?△=32-4XlX3=-3V0,.,.方程沒有實數(shù)根.(2)該方程的根的判別式A=a2-4XlX(-l)=a2+4>0,所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根TOC\o"1-5"\h\za+s]a~+4 a— +4Xt= ， = ?2 - 2(3)由于該方程的根的判別式為△=a2—4X1X(a—1)=a2—4a+4=(a—2)，所以，①當a=2時，△=(),所以方程有兩個相等的實數(shù)根為=及=1;②當aW2時，A>0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根為=1,Xz=a-1.(3)由于該方程的根的判別式為A=22~4X1Xa=4—4a=4(1—a),所以①當A〉。，即4(1—a)>0,即aVl時，方程有兩個不相等的實數(shù)根F=1+>]\—a, x2=1——a；②當△=(),即a=l時，方程有兩個相等的實數(shù)根X}=X2=1;③當AVO,即a>l時，方程沒有實數(shù)根.說明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需耍對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題.2.1.2根與系數(shù)的關系(韋達定理)若一元二次方程a*+6x+c=0(aWO)有兩個實數(shù)根-b+\b2-4ac -b-\b~-4acXt- ，Xj=TOC\o"1-5"\h\z2a ~2a則有-b^\lb2-4ac-b-yjb2-4ac-2b b p = =—

2a 2a 2a a一b+J-4ac-b7b~-4ac/?~-(b~-4ac)44cc中2= t = -； = =-2a 2a 46ra所以，?元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關系：h如果ax+bx+c=Q(aWO)的兩根分別是汨，x29那么xY+x2=--,不?x2a=-.這一關系也被稱為韋達定理.特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程f+.+q=O,若*,及是其兩根，由韋達定理可知為十及=一。，X,x2=q,即 〃=—（*1+是），q=X、?Xz，所以，方程*+px+q=O可化為V—（*1+花）x+*i，*2=0，由于x”也是一元二次方程x+px+q=Q的兩根，所以，乂，蒞也是一元二次方程V—（％+而）*+茍?X2=0.因此有以兩個數(shù)無，也為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是/一（氏+用）*+%?x2=0.例2已知方程5/+心:-6=0的一個根是2,求它的另一個根及左的值.分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根.但由于我們學習了韋達定理，乂可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出4的值.解法一：..U是方程的一個根，.,.5X22+AX2-6=0,k=l.所以，方程就為5V—7x—6=0,解得用=2,x2=—~.所以，方程的另一個根為一士，女的值為-7.解法二：設方程的另一個根為川貝IJ2%,=--,由 （-3）+2=--,得k=-l.__ ? ... 3 ，.一所以，方程的另一-個根為一g,4的值為-7.例3 已知關于x的方程系+2(加一2)x+/+4=0有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21,求加的值.分析：本題可以利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關于力的方程，從而解得加的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應大于零.解：設為，質(zhì)是方程的兩根，由韋達定理，得乂+至=-2(/Z7-2)>X\,Xi=m+4.荀?是=21,(jfi+x2)_—3Xi?及=21,即[-2(加一2)了-3(/+4)=21,化簡，得iA—16/z/-17=0,解得m=—\,或加=17.當卬=—1時，方程為產(chǎn)+6*+5=0,A>0,滿足題意；當加=17時，方程為f+30x+293=0,A=302-4X1X293<0,不合題意，舍去.綜上，m=17.說明：(1)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應的力的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出力的值,取滿足條件的力的值即可.(1)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式A是否大于或大于零.因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根.例4已知兩個數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個數(shù).分析：我們可以設出這兩個數(shù)分別為無力利用二元方程求解出這兩個數(shù).也可以利用韋達定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解.解法一：設這兩個數(shù)分別是月貝I」x+y=4, ①xy=-12. ②由①，得夕=4—x,代入②，得x(4—x)=-12,即 4x—12=0,X\=2,%=6.1%=6, ［丫2=—2.因此，這兩個數(shù)是一2和6.解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程X2—4x—12=0的兩個根.解這個方程，得由=-2,禺=6.所以，這兩個數(shù)是一2和6.說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二(直接利用韋達定理來解題)耍比解法一簡捷.例5若m和房分別是?元二次方程2V+5x—3=0的兩根.(1)求I%一的1的值；(2)求4+占的值；

X|x2(3)/+/.解：?.?及和版分別是一元二次方程2六+5X-3=0的兩根，TOC\o"1-5"\h\z. __5 __3.?* 2--5,V2—2-(1)I為一2為1=(為+也)2—4xtx2=(--|)2-4x(--1)_25, 49 .? _,7 I6 9 ??X\-蒞| .4 4 - 2] ]=七2+%2_(7+王)2_2%/2_(_5)_2x(_g);+3=37x22x,2.x22az? (_3y 2 9'2 4/+用3=(x+而)(x;一X生+/)=(為+及)[(汨+思)3小蒞]s s a 915=(-2)X[(--)2-3X .2 2 2 8說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設為和％分別是一元二次方程a^+bx-\-c=0(aWO),則-b+\Jb2-4ac-b-y/b2-4ac2a2a2a.,I-b+db，-44c-b-\lb~-4ac2\jb2-4ac..由―%I= = 2a 2a 2a>jb~-4ac_Va

\a\ |a|'于是有下面的結(jié)論：若禹和天分別是一元二次方程aV+力x+c=O(aWO),貝力xx—x2\=-^-(其⑷中A=9—4ac).今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論.例6若關于x的一元二次方程*—x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍.解：設為，也是方程的兩根，則TOC\o"1-5"\h\zx/2=a—4V0, ①且△=(-1)2—4g一4)>0. ②由①得 aV4,17由②得 a<~....a的取值范圍是aV4..選擇題:1 )方程x?-2百kx+3k2=0的根的情況是(A)有一個實數(shù)根 (B)有兩個不相等的實數(shù)根(C)有兩個相等的實數(shù)根 (D)沒有實數(shù)根(2)若關于x的方程以V+(2"+Dx+加=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)加的 取值 范 圍 是()(A)以V—(B)ni>——44(C)m<—,且加W0(D)m>——,且g=044.填空：(1)若方程產(chǎn)-3入一1=0的兩根分別是汨和而，則，+:=.(2)方程2加=0(符0)的根的情況是.(3)以一3和1為根的一元二次方程是..已知，力+84+16+|6—1|=0,當A取何值時，方程4*+ax+6=0有兩個不相等的實數(shù)根？.已知方程4—3x—1=0的兩根為汨和及，求(汨一3)(%—3)的值.習題2.1A組.選擇題：(1)已知關于x的方程，+而一2=0的一個根是1,則它的另一個根是()TOC\o"1-5"\h\z(A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2(2)下列四個說法：①方程V+2X—7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；②方程x-2x+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；、 7③方程3產(chǎn)一7=0的兩根之和為0,兩根之積為-一；3④方程3f+2x=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.其中正確說法的個數(shù)是 ()(A)l個 (B)2個 (C)3個(D)4個(3)關于*的一元二次方程a*—5x+a2+a=0的一個根是0,則a的值是()(A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1.填空：(1)方程加+4才-1=0的兩根之和為一2,貝Ij4=.(2)方程2V—x—4=0的兩根為a,B,則a^+B'.(3)已知關于*的方程f-ax—3a=0的一個根是一2,則它的另一個根是(4)方程2V+2x—1=0的兩根為M和X”貝力x}-x2\=.試判定當加取何值時，關于x的一元二次方程0米2—(2m+1)x+l=O有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程/一7才一1=0各根的相反數(shù).B組.選擇題：若關于x的方程x+4+1=0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為)(A)1,或一1 (B)1 (C)-1 (D)0.填空：(1)若m,n是方程y+2005*—1=0的兩個實數(shù)根，則n^n+miT—nin的值等于.(2)如果a,力是方程產(chǎn)+*—1=0的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式d+aZ+a/^+萬的值是,.已知關于x的方程Ax—2=0.(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)設方程的兩根為汨和而，如果2(xi+x?)＞矛|司，求實數(shù)4的取值范圍..一元二次方程ay+6x+c=0(aWO)的兩根為及和近求：I 而I和~+1；2/+/..關于x的方程/+4x+/=0的兩根為由，生滿足I歷一屋|=2,求實數(shù)%的值.C組.選擇題：(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2V—8x+7=0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于()(A)G (B)3 (C)6 (D)9(2)若為，及是方程2/—4入+1=0的兩個根，則%+區(qū)的值為()3(A)6 (B)4 (C)3 (D)-2(3)如果關于*的方程V—2(1—勿)x+/=0有兩實數(shù)根a,B,則a+B的取值范圍(A)a+B”(B)a+p"(C)a+B2l(D)a(A)(A)a+B”(B)a+p"(C)a+B2l(D)a(A)沒有實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根2 2+B<1(4)已知a,b,c是的三邊長，那么方程cx2+(a+6)x+￡=0的根的4情況是

(C)有兩個相等的實數(shù)根(C)有兩個相等的實數(shù)根(D)有兩個異號實數(shù)根.填空：若方程f—8犬+/=0的兩根為由，及，且3及+2至=18,貝IJ/=..已知X”法是關于x的一元二次方程44X2—4〃x+4+1=0的兩個實數(shù)根.(1)是否存在實數(shù)A,使(2用一及)(*一2%)=一3成立？若存在，求出〃的2值：若不存在，說明理由；(2)求使±+±-2的值為整數(shù)的實數(shù)4的整數(shù)值；*2 %(3)若左=-2,九=五,試求;I的值.x2.已知關于x的方程X?-(〃?-2)%-生-=0.4(1)求證：無論勿取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；(2)若這個方程的兩個實數(shù)根由，及滿足|%|=1*1+2,求加的值及相應的X，x2..若關于x的方程V+x+a=0的一個大于1、零一根小于1,求實數(shù)a的取值范圍.2.1一元二次方程練習(1)C(2)D(1)-3 (2)有兩個不相等的實數(shù)根 (3)產(chǎn)+2*-3=04V4,且20—1提示：(乂-3)(%―3)=由及―3(及+及)+9習題2.1A組. (1)C(2)B提示：②和④是錯的，對于②，由于方程的根的判別式△<0,所以方程沒有實數(shù)根；對于④，其兩根之和應為一4.3C提示：當a=0時，方程不是一元二次方程，不合題意.. (1)2 (2)— (3)6 (3)G4.當加〉一!，旦得0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當加=一1?時，方程有4兩個相等的實數(shù)根；當Z-L時，方程沒有實數(shù)根.44.設已知方程的兩根分別是小和也，則所求的方程的兩根分別是一局和一及，,/Xi+蒞=7,Xi*=1，xj+(一及)=-7,(一X)義(一及)=乂及=—1,所求的方程為"+7y-l=0.B組C提示：由于公1時，方程為父+2=0,沒有實數(shù)根，所以4=一1.(1)2006提示：,.”+〃=—2005,mn=—1,/.iffn+mif—mn=mn(/n+n~1)-IX(-2005-1)=2006.(2)—3提?。籚a~\~b=——1,ab=——1,aab~\~at)4-Ij=a(a+Z?)+1)(a+6)=(a+6)(d'+O')=(a+6)[(a+6)—2a6]=(-1)X[(—1)'—2X(—1)]=-3.(1)???△=(一4)2—4、1*(-2)=^+8>0,???方程一定有兩個不相等的實數(shù)根.9：x]+x2=k,乂蒞=一2,：?2k>-2,即4>一1.(1)IX-Xi\=^-^L,Al^=_±;(2)|a| 22a /*.*X\—x-i|=a/16_4m=2J4-m=2, m=3.把m=3代入方程，△>0,滿足題意，二加=3.C組(1)B(2)AC提示：由A20,得危工,a+B=2(1—4》1.2B提示：'：a,b,c是A/6C的三邊長，.?.a+8>c,A=(a+Z?)2-c2>0.(1)12提示：?.?氏+毛=8,，3乂+2而=2(汨+而)+為=2義8+為=18,/.Xj=2,.?.入2=6,/./n=x[x2=12.、 3(1)假設存在實數(shù)k使(2汨一在)(為一2%)=一一成立.2,?,一元二次方程\kx-\kx-\-A+1=0有兩個實數(shù)根，，K0,且△=162一16-4+1)=-16420, k<0.

:才:才1+%=1，火+1乂%= 4k（2X]—也）（冬—2也）=2X\—5]及+2及“=2（乂+而/一9%即=2一豈幺*22=-3,4k2即空=（解得Y，與Y0相矛盾，所以，不存在實數(shù).，使3一及）（由-2而）=-3成立.2TOC\o"1-5"\h\z/g\??玉? *2_o_“I +工2 0（*1+'2）“—2x^2 0（X]+々） a\<g/ ? ?乙 Z= Z = 4x2X, xtx2 x1x2 XxX24k「4k-4（k+l）_ 4=晨1= "1 =F，.??要使工+五一2的值為整數(shù)，只須4+1能整除4.而A為整數(shù)，9芯.?.A+1只能取±1,±2,±4.又?.?AVO,，〃+lVL...A+1只能取-1,-2,-4,Ak=—2,-3,-5.能使±+%-2的值為整數(shù)的實數(shù)A的整數(shù)值為-2,-3和-5.%%]（3）當A=-2時，*1+a=1，① X|A2=-,②8①?②，得%+受+2=8,即4+工=6, 22-6/1+1=0,x2X1 2，尤=3±2近.（1）△=2（6一+2>0；(2)XiX2=——^0,...AiWO,”2?0，或XiNO,及<0.4①若*W0,及20,則用=一用+2,.'.Xi+*2=2,：.歷一2=2,.*./77=4.此時，方程為V—2x—4=0, x(=1+y/5>x2=1--^5.②若*20,XzWO,則一用=占+2,.,.%+及=-2,.\m—2=-2,...加=0.此時，方程為y+2=0,，*i=0,Xi=-2.5.設方程的兩根為X”x2,則*+及=—1，x,x2=a,由一根大于1、另一根小于1,得(乂一1)(x2—1)<0,即X苞一(X[+蒞)+1V0,a-(-l)+l<0,/.a<-2.此時，A=12二次函數(shù)2.2.2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)尸成+bx+c的圖像和性質(zhì)問題1函數(shù)尸a*與尸〃的圖象之間存在怎樣的關系？為了研究這一問題，我們可以先畫出尸2系，y=ly,y=-2f的圖象，通過2這些函數(shù)圖象與函數(shù)尸*的圖象之間的關系，推導出函數(shù)尸ax?與尸f的圖象之間所存在的關系.實數(shù)a的取值范圍是aV—2.

先畫出函數(shù)y=y=2*的圖象.先列表：X…-3-2-10123???…9410149???2/…188202818從表中不難看出，要得到2V的值，只要把相應的*的值擴大兩倍就可以了.圖2.2-1再描點、連線，就分別得到了函數(shù)尸V,y=2f的圖象(如圖2一1所示)，從圖2—1我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關系：函數(shù)尸2*的圖象可以由函數(shù)的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?圖2.2-1同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)7=-/,尸一2產(chǎn)的2圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)尸f的圖象之間的關系.通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)尸加(&W0)的圖象可以由尸，的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到.在二次函數(shù)尸aV(aWO)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一^f?坐標系中的開口的大小.問題2函數(shù)7=〃(4+方)2+在與了=&父的圖象之間存在怎樣的0圖2.2-2關系？0圖2.2-2同樣地，我們可以利用兒個特殊的函數(shù)圖象之間的關系來研究它們之間的關系.同學們可以作出函數(shù)y=2(x+l)2+l與y=2/

的圖象(如圖2—2所示)，從函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)7=2*的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)尸25+1尸+1的圖象.這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點.類似地，還可以通過畫函數(shù)尸一3V,尸一3(*—1尸+1的圖象，研究它們圖象之間的相互關系.通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)尸a(x+力2+A(aW0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；力決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“方正左移，力負右移”；女決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“才正上移，攵負下移”.由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+"+c(aW0)的圖象的方法：b2-4ac

4a由于y=a/+bx+c=a(^+—x)+c=a(^+—x+-^-r-)+c—-a a 4b2-4ac

4a/b、2=〃(x+—)+2a所以，尸a*+Z?x+c(a#O)的圖象可以看作是將函數(shù)尸ay的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)尸af+6x+c(a#0)具有下列性質(zhì)：(1)當a>0時，函數(shù)y=ax+bx+c圖象開口向上；頂點坐標為(-2,如心1),對稱軸為直線戶一2；當xv-2時，y隨著刀的增大而減小;2a4a 2a 2a當時,y隨著X的增大而增大；當k-2時，函數(shù)取最小值尸=%二Q2a 2a 4a(2)當a<0時，函數(shù)y=a/+bx+c圖象開口向下；頂點坐標為（-2,處二少），對稱軸為直線T=-—；當XV-2時，y隨著X的增大而增大;2a4a 2a 2a當X>一2時,y隨著X的增大而減??；當戶—2時，函數(shù)取最大值y=處世.2a 2a 4a上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2.2-3和圖2.2-4直觀地表示出來.因此，在今后解決二次函數(shù)問題口寸，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.例1求二次函數(shù)y=-3f-6x+l圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減小）？并畫出該函數(shù)的圖象.解：Vy=-3Z—6x+l=-3（^+1）J+4,...函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線*=一1；頂點坐標為（一1,4）；當x=-1時，函數(shù)y取最大值尸4；當xV—1時，y隨著x的增大而增大；當x>—l時，y隨著x的增大而減??；采用描點法畫圖，選頂點4（一1,4））,與x軸交于點6（2宇,0）和0-2&+3,0）,與y軸的交點為〃（0,1）,過這五點畫出圖象（如圖2—5所示）.說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確.例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示：X/元130150165力件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤=日銷售量yX（銷售價x-120）,日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關系，然后，再由它們之間的函數(shù)關系求出每天利潤的最大值.解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設_/=履+（B）將x=130,y=70；x=150,尸50代入方程，有70=130k+仇50=150k+4解得k=—\,力=200.y——x+200.設每天的利潤為z(元)，則z=(-A+200)(x-120)=-y+320x-24000=-(x-160)2+1600,.?.當x=160時，z取最大值1600.答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元.例3把二次函數(shù)+6x+c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位,得到函數(shù)y=/的圖像，求6,c的值.解法-：y=^+bx+c= 把它的圖像向上平移2個單位，再向2 4左平移4個單位，得至lJy=(x+g+4)2+c-?+2的圖像，也就是函數(shù)了=/的圖像，所以，---4=0,<2,解得6=—8,c=14.b2c-幺+2=0,L4解法二：把二次函數(shù)y=x+bx+c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)尸產(chǎn)的圖像，等價于把二次函數(shù)尸片的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)尸V+6x+c的圖像.由于把二次函數(shù)尸/的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)尸(x—4尸+2的圖像，即為尸三-8x+14的圖像，，函數(shù)尸產(chǎn)—8x+14與函數(shù)尸表示同一個函數(shù)，Ab=—8,c=14.說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律.這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉(zhuǎn)化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點.今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題.例4已知函數(shù)y=x,-2〈后a,其中a2一2,求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量x的值.分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論.解：(1)當a=-2時，函數(shù)尸下的圖象僅僅對應著一個點(—2,4),所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4,此時*=一2；(2)當一2VaV0時，由圖2.2—6①可知，當*=-2時，函數(shù)取最大值y=4；當x=a時，函數(shù)取最小值尸才；(3)當0WaV2時，由圖2.2—6②可知，當*=-2時，函數(shù)取最大值了=4；當x=0時，函數(shù)取最小值尸0；(4)當a22時，由圖2.2—6③可知，當x=a時，函數(shù)取最大值尸堤當x=0時，函數(shù)取最小值y=0.說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論.此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題.練習.選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標軸上的是 （）（A）y=2/ （B）7=2"—4x+2（C）y=2*—1 （D）y=2f—4x（2）函數(shù)y=2（x—1尸+2是將函數(shù)y=2*2 （）（A）向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的（B）向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的（C）向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的(D)向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的.填空題(1)二次函數(shù)y=2e-mx+n圖象的頂點坐標為(1,—2),貝ijm=,n(2)已知二次函數(shù)y=V+(加一2)x—2卬，當勿=時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當/=時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當面=時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點.(3)函數(shù)尸一3(x+2)?+5的圖象的開口向,對稱軸為,頂點坐標為；當x=時，函數(shù)取最 值y=;當a;時，y隨著x的增大而減小.3.求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大(小)值及y隨x的變化情況，并畫出其圖象.(1)y=y—2x—3； (2)y=1+6x—.4.已知函數(shù)尸一f—2x+3,當自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當函數(shù)取最大(小)值時所對應的自變量x的值：(1)“〈一2；(2)后2；(3)-2在后1；(4)0〈后3.2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式通過上?小節(jié)的學習，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式:.一般式：y=af+，x+c(aWO)；.頂點式：y=a{x+H)2jt-k(aWO),其中頂點坐標是(一力，4).除了上述兩種表示方法外，它還可以用另??種形式來表示.為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)尸af+6x+c(a#O)的圖象與x軸交點個數(shù).當拋物線y=aV+8x+c(aW0)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有aV+Zur+c=O.①并且方程①的解就是拋物線尸a*+H+c(aW0)與x軸交點的橫坐標(縱坐標為零)，于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線尸a*+6x+c(aW0)與x軸交點個數(shù)與方程①的解的個數(shù)有關，而方程①的解的個數(shù)乂與方程①的根的判別式A=Z/-4ac有關，由此可知，拋物線尸ay+6x+c(aW0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式△=萬—4ac存在下列關系：(1)當△>()時，拋物線y=a^+6x+c(aX0)與x軸有兩個交點；反過來,若拋物線y=a/+加'+c(a#O)與x軸有兩個交點，則△>0也成立.(2)當△=()時，拋物線y=a^+6x+c(a#0)與x軸有一個交點(拋物線的頂點)；反過來，若拋物線尸af+bx+c(aWO)與x軸有一個交點，貝?。荨?0也成立.(3)當AV0時，拋物線y=aV+加與X軸沒有交點；反過來，若拋物線與x軸沒有交點，則AV0也成立.于是，若拋物線尸af+6x+c(aW0)與x軸有兩個交點/(為，0),6(如0),則汨，而是方程af+8x+c=0的兩根，所以b c乂+質(zhì)=—,為蒞=一，a a即 2=-(X|+而)，—=XiX2.所以，y=a^+bx+c=a(.x2+—x+—)aa-a[*—(茍+x2)x+mm]=a(x-xj(x-%).由上面的推導過程可以得到下面結(jié)論：若拋物線產(chǎn)=蘇+辰+M320)與x軸交于4(xi,0),