簡單線性規(guī)劃的應用答案

答案與評分標準一、選擇題（共20小題）1、已知函數f（x）的定義域為[﹣3，+∞），且f（6）=f（﹣3）=2．f′（x）為f（x）的導函數，f′（x）的圖象如圖所示．若正數a，b滿足f（2a+b）＜2，則的取值范圍是（） A、（﹣，3） B、（﹣∞，﹣）∪（3，+∞） C、（，3） D、（﹣∞，）∪（3，+∞）考點：函數單調性的性質；簡單線性規(guī)劃的應用。專題：作圖題；數形結合；轉化思想。分析：先根據導數的圖象可知函數是增函數，從而將f（2a+b）＜2=f（6）轉化為：，再用線性規(guī)劃，作出平面區(qū)域，令t=表示過定點（2，﹣3）的直線的斜率，通過數形結合法求解．解答：解：如圖所示：f′（x）≥0在[﹣3，+∞）上恒成立∴函數f（x）的定義域為[﹣3，+∞）上是增函數，又∵f（2a+b）＜2=f（6）∴畫出平面區(qū)域令t=表示過定點（2，﹣3）的直線的斜率如圖所示：t∈（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）故選B點評：本題主要考查函數的單調性轉化不等式，還考查了線性規(guī)劃中的斜率模型．同時還考查了轉化思想，數形結合思想．2、已知實數x，y滿足x2+y2+4y=0，則s=x2+2y2﹣4y的最小值為（） A、48 B、20 C、0 D、﹣163、已知開口向上的二次函數，f（x）=ax2+bx+c最多與x軸有一個交點，它的導數為f′（x），且f′（0）＞0，則的最小值為（） A、3 B、 C、2 D、考點：二次函數的性質；簡單線性規(guī)劃的應用。專題：計算題。分析：函數與x軸的交點個數即相應的方程的根的個數，令判別式小于等于0得到a，b，c的不等關系，求出導函數，求出f′（0），令其大于0即得到b的范圍，利用基本不等式求出的最值．解答：解：∵f（x）=ax2+bx+c最多與x軸有一個交點∴△=b2﹣4ac≤0∵f′（x）=2ax+b∴f′（0）=b∵f′（0）＞0∴b＞0∴∴故選C點評：判斷一元二次方程根的個數常利用判別式的符號；利用基本不等式求函數的最值要注意：一正、二定、三相等．4、若函數的定義域為R，則b﹣3a的取值范圍是（） A、（﹣∞，﹣3] B、[﹣3，+∞） C、（﹣∞，3] D、[3，+∞）考點：指數函數的單調性與特殊點；函數的定義域及其求法；簡單線性規(guī)劃的應用。專題：分類討論。分析：根據題意，由根式的意義，可將原題轉化為2（a﹣1）x2+bx+（a﹣1）≥1對于任意x∈R恒成立問題，進而由指數的性質，可變形為t=（a﹣1）x2+bx+（a﹣1）≥0恒成立問題，由二次函數的性質，分兩種情況討論，可進一步轉化為利用線性規(guī)劃求最值的問題，分析可得答案．解答：解：根據題意，若函數的定義域為R，

設Z=b﹣3a，Z是直線b=3a+t經過確定的平面上的一點時在y軸上的截距，由線性規(guī)劃的知識可得，Z＜3，綜合①可得，Z=b﹣3a≤3，故b﹣3a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]，故選A．點評：本題是綜合題，涉及知識點較多，有一定的難度，解題關鍵在于轉化為線性規(guī)劃問題來求Z=b﹣3a的范圍．5、若點（x，y）在平面區(qū)域內運動，則t=x+2y的取值范圍是（） A、[2，6] B、[2，5] C、[3，6] D、[3，5]考點：簡單線性規(guī)劃；簡單線性規(guī)劃的應用。專題：計算題。分析：①畫可行域②t為目標函數縱截距③畫直線0=x+2y，平移可得直線過A或C時t有最值．解答：解：解：畫可行域如圖，畫直線0=x+2y，平移直線0=x+2y過點A（2，2）時z有最大值6；平移直線0=x+2y過點C（2，0）時z有最小值2；則t=x+2y的取值范圍是[2，6]故選A．點評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．6、設m＞1，在約束條件下，目標函數Z=X+my的最大值小于2，則m的取值范圍為（） A、（1，） B、（，+∞） C、（1，3） D、（3，+∞）考點：簡單線性規(guī)劃的應用。專題：數形結合。分析：根據m＞1，我們可以判斷直線y=mx的傾斜角位于區(qū)間（，）上，由此我們不難判斷出滿足約束條件的平面區(qū)域的形狀，再根據目標函數Z=X+my對應的直線與直線y=mx垂直，且在直線y=mx與直線x+y=1交點處取得最大值，由此構造出關于m的不等式組，解不等式組即可求出m的取值范圍．點評：本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，其中根據平面直線方程判斷出目標函數Z=X+my對應的直線與直線y=mx垂直，且在點取得最大值，并由此構造出關于m的不等式組是解答本題的關鍵．7、已知O是坐標原點，點A（﹣1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域，上的一個動點，則?的取值范圍是（） A、[﹣] B、[] C、[] D、[﹣]考點：簡單線性規(guī)劃的應用；平面向量數量積的運算。專題：數形結合。分析：先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，求出平面區(qū)域的角點后，逐一代入?分析比較后，即可得到?的取值范圍．

點評：本題考查的知識點是線性規(guī)劃的簡單應用，其中畫出滿足條件的平面區(qū)域，并將三個角點的坐標分別代入平面向量數量積公式，進而判斷出結果是解答本題的關鍵．8、設變量x，y滿足約束條件則z=3x﹣2y的最大值為（） A、0 B、2 C、4 D、6考點：簡單線性規(guī)劃的應用。專題：計算題；數形結合。分析：先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=3x﹣2y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．解答：解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，當直線z=3x﹣2y過點B時，在y軸上截距最小，z最大由C（2，0）知zmax=6．故選D．點評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．9、設變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為（） A、﹣2 B、4 C、6 D、8點評：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優(yōu)解．10、某加工廠用某原料由車間加工出A產品，由乙車間加工出B產品．甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產品，每千克A產品獲利40元．乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產品，每千克B產品獲利50元．甲、乙兩車間每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費工時總和不得超過 A、甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱 B、甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱 C、甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱 D、甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱考點：簡單線性規(guī)劃的應用。專題：計算題。分析：本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，根據題意列出不等式組，找出目標函數解答：解：設甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，則目標函數z=280x+300y結合圖象可得：當x=15，y=55時z最大．故選B．點評：在解決線性規(guī)劃問題是，我們常尋找邊界點，代入驗證確定最值11、滿足線性約束條件，的目標函數z=x+y的最大值是（） A、1 B、 C、2 D、3點評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．12、設x，y∈R且，則z=x+2y的最小值等于（） A、2 B、3 C、5 D、9考點：簡單線性規(guī)劃的應用。分析：本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據已知的約束條件，畫出滿足約束條件的可行域，再用角點法，求出目標函數的最小值．解答：解：約束條件，對應的平面區(qū)域如下圖示：當直線Z=x+2y過點（1，1）時，z=x+2y取最小值3，故選B．點評：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優(yōu)解．13、設不等式組所表示的平面區(qū)域是Ω1，平面區(qū)域是Ω2與Ω1關于直線3x﹣4y﹣9=0對稱，對于Ω1中的任意一點A與Ω2中的任意一點B，|AB|的最小值等于（） A、 B、4 C、 D、2考點：簡單線性規(guī)劃的應用。分析：本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域Ω1，根據對稱的性質，不難得到：當A點距對稱軸的距離最近時，|AB|有最小值．解答：解：由題意知，所求的|AB|的最小值，即為區(qū)域Ω1中的點到直線3x﹣4y﹣9=0的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點（1，1）到直線3x﹣4y﹣9=0的距離最小，故|AB|的最小值為，故選B．點評：利用線性規(guī)劃解平面上任意兩點的距離的最值，關鍵是要根據已知的約束條件，畫出滿足約束約束條件的可行域，再去分析圖形，根據圖形的性質、對稱的性質等找出滿足條件的點的坐標，代入計算，即可求解．14、設變量x，y滿足約束條件：．則目標函數z=2x+3y的最小值為（） A、6 B、7 C、8 D、23考點：簡單線性規(guī)劃的應用。分析：本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據已知的約束條件．畫出滿足約束條件的可行域，再用角點法，求出目標函數的最小值．點評：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優(yōu)解．15、某企業(yè)生產甲、乙兩種產品．已知生產每噸甲產品要用A原料3噸、B原料2噸；生產每噸乙產品要用A原料1噸、B原料3噸．銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元、每噸乙產品可獲得利潤3萬元．該企業(yè)在一個生產周期內消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是（） A、12萬元 B、20萬元 C、25萬元 D、27萬元考點：簡單線性規(guī)劃的應用。專題：應用題。分析：先設該企業(yè)生產甲產品為x噸，乙產品為y噸，列出約束條件，再根據約束條件畫出可行域，設z=5x+3y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=5x+3y過可行域內的點時，從而得到z值即可．解答：解：設該企業(yè)生產甲產品為x噸，乙產品為y噸，則該企業(yè)可獲得利潤為z=5x+3y，且聯立解得由圖可知，最優(yōu)解為P（3，4），∴z的最大值為z=5×3+3×4=27（萬元）．故選D．點評：在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標函數Z與直線截距之間的關系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現實問題中．16、在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)．現有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用．每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺．若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為（） A、2000元 B、2200元 C、2400元 D、2800元點評：在確定取得最大值、最小值時，應注意實際問題的意義，整數最優(yōu)解．17、若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則k的值是（） A、 B、 C、 D、考點：簡單線性規(guī)劃的應用。專題：計算題。分析：先根據約束條件：，畫出可行域，求出可行域頂點的坐標，再利用幾何意義求面積即可．解答：解：滿足約束條件：，平面區(qū)域如圖示：由圖可知，直線恒經過點A（0，），當直線再經過BC的中點D（，）時，平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，當x=，y=時，代入直線的方程得：k=，故選A．點評：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．18、不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積等于（） A、 B、 C、 D、考點：簡單線性規(guī)劃的應用。專題：計算題；數形結合。分析：先根據約束條件畫出可行域，求三角形的頂點坐標，從而求出表示的平面區(qū)域的面積即可．解答：解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由得交點A的坐標為（1，1）．又B、C兩點的坐標為（0，4），（0，）．故S△ABC=（4﹣）×1=．故選C．點評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求平面區(qū)域的面積，屬于基礎題．19、若a≥0，b≥0，且當時，恒有ax+by≤1，則以a，b為坐標的點P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積是（） A、 B、 C、1 D、點評：本小題主要考查線性規(guī)劃的相關知識．本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．20、設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=5x+y的最大值為（） A、2 B、3 C、4 D、5考點：簡單線性規(guī)劃的應用。專題：計算題。分析：本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識，先畫出約束條件的可行域，再求出可行域中各角點的坐標，將各點坐標代入目標函數的解析式，分析后易得目標函數Z=5x+y的最小值．解答：解：滿足約束條件的可行域如圖，由圖象可知：目標函數z=5x+y過點A（1，0）時z取得最大值，zmax=5，故選D．點評：在解決線性規(guī)劃的問題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標?③將坐標逐一代入目標函數?④驗證，求出最優(yōu)解．二、填空題（共5小題）21、設，q：x2+y2≤r2（x，y∈R，r＞0）若p是q的充分不必要條件，則r的取值范圍是．考點：充要條件；簡單線性規(guī)劃的應用。專題：綜合題。分析：畫出滿足約束條件，的平面區(qū)域，分析出可行域內x2+y2的取值范圍，結合p是q的充分不必要條件，即可得到r2的取值范圍，進而得到r的取值范圍．解答：解：滿足條件，的平面區(qū)域如下圖所示：平面區(qū)域內的點（x，y）中當x=3，y=3時x2+y2取最大值18若p是q的充分不必要條件，則r2≥18，即r≥3故答案為：．點評：本題考查的知識點是充要條件及簡單線性規(guī)劃的應用，其中根據線性規(guī)劃的方法，判斷出滿足約束條件p的x2+y2的取值范圍，是解答本題的關鍵．22、某廠使用A，B兩種零件裝配甲、乙兩種產品，該廠每月裝配甲產品最多250件，裝配乙產品最多120件，已知裝配一件甲產品需要4個月A零件，2個B零件，裝配一件乙產品需要6個A零件，8個B零件，某月能用的A零件最多為1400個，能用的B林件最多為1200個，已知甲產品每件利潤1000元，乙產品每件利潤2000元，設該月裝配甲、乙產品分別是x、y件，則用不等式組表示x、y滿足的條件是（x，y∈N）；該月最大利潤為40萬元．考點：簡單線性規(guī)劃；簡單線性規(guī)劃的應用。專題：應用題。分析：先設甲、乙兩種產品月產量分別為x、y件，寫出約束條件、目標函數，欲求生產收入最大值的范圍，即求可行域中的最優(yōu)解，在線性規(guī)劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優(yōu)解，即將目標函數看成是一條直線，分析目標函數Z與直線截距的關系，進而求出最優(yōu)解．注意：最后要將所求最優(yōu)解還原為實際問題．解答：解：設該月裝配甲、乙產品分別是x、y件，約束條件是目標函數是z=1000（x+2y）由約束條件畫出可行域，如圖將z=x+2y它變形為y=﹣x+，這是斜率為﹣、隨z變化的一簇直線．是直線在y軸上的截距，當最大時z最大，當然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標函數取得最大值．由解得在這個問題中，使z=x+2y取得最大值的（x，y）是兩直線4x+6y=1400與2x+8y=120的交點（200，100）∴z=1×200+2×100=400（千元）答：每月生產甲180件，生產乙90件月生產收入最大，最大值為40萬元．故答案為：；40．點評：在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標函數Z與直線截距之間的關系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現實問題中．23、已知變量x，y滿足則目標函數z=x+2y的最大值為3．點評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．目標函數有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優(yōu)解．24、[文科]非負實數x、y滿足，則x+3y的最大值為9．考點：簡單線性規(guī)劃；簡單線性規(guī)劃的應用。專題：計算題。分析：先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線z=x+3y過點A（0，3）時，z最大值即可．解答：解：根據約束條件畫出可行域∵直線z=x+3y過點A（0，3）時，z最小值是9，故答案為9．點評：本題考查畫可行域及由可行域求目標函數最值問題，解題的關鍵是畫出滿足條件的區(qū)域圖，屬于基礎題．25、題干有誤在直角坐標系中，若不等式組表示一個三角形區(qū)域，則實數k的取值范圍是（﹣1，1）．點評：本題考查線性規(guī)劃問題可行域畫法，以及過定點直線系問題，本題解決問題的關鍵是要能由不等式組做出平面區(qū)域，結合圖形求解三角形區(qū)域時一定要注意斜率的不同引起的邊界直線的位置特征的不同，這也是線性規(guī)劃中的易錯點三、解答題（共5小題）26、已知函數f（x）=x3﹣9x2cosα+48xcosβ，g（x）=f'（x），且對任意的實數t均有g（1+e﹣|t|）≥0，g（3+sint）≤0．（I）求g（2）；（II）求函數f（x）的解析式；（Ⅲ）記函數h（x）=f（x）﹣﹣（b+24）x（a，b∈R），若y=h（x）在區(qū)間[﹣1，2]上是單調減函數，求a+b的最小值．考點：函數與方程的綜合運用；簡單線性規(guī)劃的應用。專題：計算題；證明題。分析：（I）由題得，g（x）=3x2﹣18xcosα+48cosβ，又1+e﹣|t|∈（1，2]，3+sint∈[2，4]，從而g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立，g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，最后得出g（2）的值即可；（II）先求出g（x）=0的另一根的取值范圍，得出2+x0=6cosα，最后得到得的值，代入函數解析式即可；（III）由題意得出關于a，b的不等關系：，作出不等式組表示的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的方法解決即可．點評：本題考查待定系數法求解析式、函數與方程的綜合運用、簡單線性規(guī)劃的應用問題，解答線性規(guī)劃的問題的關鍵是應用數形結合思想方法，綜合性強，難度較大．27、已知，求的范圍．考點：不等關系與不等式；對數函數圖象與性質的綜合應用；簡單線性規(guī)劃的應用。分析：要求的范圍，可先將用和表示，再根據結合不等式的性質解決問題

點評：由a＜f1（x1，y1）＜b，c＜f2（x1，y1）＜d，求g（x1，y1）的取值范圍，可利用待定系數法解決，即設g（x1，y1）=pf1（x1，y1）+qf2（x1，y1），用恒等變形求得p，q，再利用不等式的性質求得g（x1，y1）的范圍．此外，本例也可用線性規(guī)劃的方法來求解．28、已知f（x）=ax2+bx+1．（1）若f（x）＞0的解集是（﹣1，2），求實數a，b的值．（2）若A={x|f（x）＞0}，且﹣1∈A，2∈A，求3a﹣b的取值范圍．考點：一元二次不等式的應用；簡單線性規(guī)劃的應用。專題：計算題；數形結合。分析：（1）由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關系可以得出，ax2+bx+1=0的解為﹣1，2，由根系關系即可求得實數a，b的值（2）要題意可得出一關于實數a，b的不等式組，要求3a﹣b的取值范圍可用線性規(guī)劃的知識來求，以所得不等式組作為約束條件，以3a﹣b作為目標函數即可．解答：解：（1）由題意可知：a＜0，且ax2+bx+1=0的解為﹣1，2∴解得：，（2）由題意可得，?畫出可行域，由得{作平行直線系z=3a﹣b可知z=3a﹣b的取值范圍是（﹣2，+∞）點評：本題考查一元二次不等式的應用，求解本題的關鍵是理解一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關系以及將第二問中求3a﹣b的取值范圍的問題轉化到線性規(guī)劃中求解．做題時靈活轉化是降低題目難度順利解題的關鍵．29、某營養(yǎng)師要求為某個兒童預訂午餐和晚餐．已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和10個單位的維生素C．另外，該兒童這兩餐需要的營狀中至少含64個單位的碳水化合物和42個單位的蛋白質和54個單位的維生素C．如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？考點：簡單線性規(guī)劃的應用。分析：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．本題主要考查找出約束條件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形直線