空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系小結(jié)

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系小結(jié)一、選擇題1.a,b是兩條異面直線，（）A．若P為不在a、b上的一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與a，b都平行B．過(guò)直線a且垂直于直線b的平面有且只有一個(gè)C．若P為不在a、b上的一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)有且只有一條直線與a，b都平行D．若P為不在a、b上的一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)有且只有一條直線與a，b都垂直2.若三棱錐S—ABC的項(xiàng)點(diǎn)S在底面上的射影H在△ABC的內(nèi)部，且是在△ABC的垂心，則()A．三條側(cè)棱長(zhǎng)相等B．三個(gè)側(cè)面與底面所成的角相等C．H到△ABC三邊的距離相等D．點(diǎn)A在平面SBC上的射影是△SBC的垂心3.a、b是異面直線，下面四個(gè)命題：①過(guò)a至少有一個(gè)平面平行于b；②過(guò)a至少有一個(gè)平面垂直于b；③至少有一條直線與a、b都垂直；④至少有一個(gè)平面分別與a、b都平行，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．34.把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的正棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A.90°B.60°C.45°°5.在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在一點(diǎn)P，使得D1P⊥PC，則棱AD的長(zhǎng)的取值范圍是 （） A． B． C． D．二、填空題6.已知直線m，n，平面，給出下列命題：①若；②若；③若；④若異面直線m，n互相垂直，則存在過(guò)m的平面與n垂直.其中正確的命題的題號(hào)為③④7.設(shè)是三條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下面有四個(gè)命題： ① ② ③④ENAFCBDM其中假命題的題號(hào)為ENAFCBDM8.在右圖所示的是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，在原來(lái)的正方體中，有下列命題：

①AB與EF所在的直線平行；②AB與CD所在的直線異面；③MN與BF所在的直線成60°角；④MN與CD所在的直線互相垂直.其中正確的命題是②④9.有6根細(xì)木棒，其中較長(zhǎng)的兩根分別為，，其余4根均為，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長(zhǎng)的棱所在的直線所成的角的余弦值為.10.下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱②若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱④若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱其中，真命題的編號(hào)是②④(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))．三、解答題11.下列五個(gè)正方體圖形中，是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(hào)(寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào))12.如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)的3，側(cè)棱AA1=D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=BC.（Ⅰ）求證：直線BC113.ABCDES如圖，已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一點(diǎn).

(1)求證：平面EBD⊥平面SAC；

(2)設(shè)SA＝4，AB＝2，求點(diǎn)A到平面SBD的距離；

(3)當(dāng)EQ\f(SA,AB)的值為多少時(shí)，二面角B－SC－D的大小為ABCDES14.如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)將△ABC沿DE、EF、DF折疊，使A、B、C三點(diǎn)重合，構(gòu)成三棱錐A—DEF．(I)求平面ADE與底面DEF所成二面角的余弦值(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M、N分別在AD、EF上，(λ＞O，λ為變量)①當(dāng)λ為何值時(shí)，MN為異面直線AD與EF的公垂線段?請(qǐng)證明你的結(jié)論②設(shè)異面直線MN與AE所成的角為a，異面直線MN與DF所成的角為β，試求a+β的值【課時(shí)42答案】6.③、④7.①、③8.②、④9.10.②、④11.為了得到本題答案，必須對(duì)5個(gè)圖形逐一進(jìn)行判別．對(duì)于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動(dòng)，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進(jìn)行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l(wèi)的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方體ABCD－A1B1C1D1如附圖，與題設(shè)圖形對(duì)比討論．在附圖中，三個(gè)截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是對(duì)角線l(即AC1)的垂面．對(duì)比圖①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．對(duì)比圖②，由MN與面CB1D1相交，而過(guò)交點(diǎn)且與l垂直的直線都應(yīng)在面CBlDl內(nèi)，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．對(duì)比圖③，由MP與面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．對(duì)比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．對(duì)比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．綜合得本題的答案為①④⑤．解法2如果記正方體對(duì)角線l所在的對(duì)角截面為．各圖可討論如下：在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故l⊥面MNP．事實(shí)上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側(cè)面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面MNP．在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．在圖③中，點(diǎn)M在上的射影是l的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上的射影是上底面的內(nèi)點(diǎn)，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面MNP．在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又l在左側(cè)面的射影(即側(cè)面正方形的一條對(duì)角線)與MP垂直，從而l⊥MP，故l⊥面MNP．在圖⑤中，點(diǎn)N在平面上的射影是對(duì)角線l的中點(diǎn)，點(diǎn)M、P在平面上的射影分別是上、下底面對(duì)角線的4分點(diǎn)，三個(gè)射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直．從而l⊥面MNP．至此，得①④⑤為本題答案．12.（Ⅰ）證明：CD又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直線BC1（Ⅱ）解：過(guò)B作BE⊥AD于E，連結(jié)EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，∵BD=BC=AB，∴E是AD的中點(diǎn)，在Rt△B1BE中，∴∠B1EB=60°．即二面角B1—AD—B的大小為60°（Ⅲ）解法一：過(guò)A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=∴即三棱錐C1—ABB1的體積為解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，即三棱錐C1—ABB1的體積為ABCABCDESO(1)證明：∵SA⊥底面ABCD，BD底面ABCD，∴SA⊥BD

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD

∴BD⊥平面SAC，又BD平面EBD

∴平面EBD⊥平面SAC. (2)解：設(shè)AC∩BD＝O，連結(jié)SO，則SO⊥BD

由AB＝2，知BD＝2EQ\r(2)

SO＝EQ\r(SA2＋AO2)＝\r(42＋(\r(2))2)＝3\r(2)

∴S△SBD＝EQ\f(1,2)BD·SO＝EQ\f(1,2)·2EQ\r(2)·3EQ\r(2)＝6

令點(diǎn)A到平面SBD的距離為h，由SA⊥平面ABCD,則EQ\f(1,3)·S△SBD·h＝EQ\f(1,3)·S△ABD·SA

∴6h＝EQ\f(1,2)·2·2·4h＝EQ\f(4,3)∴點(diǎn)A到平面SBD的距離為EQ\f(4,3) 14.（Ⅰ）如圖，取DE的中點(diǎn)G，連接AG、FG由題意AD=AE，△DEF為正三角形，得AG⊥DE，∴∠AGF為平面ADE與底面DEF所成二面角的平面角由題意得AG=FG=．在△AGF中，∴平面ADF與底面DEF所成二面角的余弦值為（Ⅱ）（1）λ=1時(shí)，MN為異面直線AD與EF公垂線段當(dāng)λ=1，M為AD的中點(diǎn)，N為FF的中點(diǎn)，連結(jié)AN、DN，則由題意，知AN=DN=，∴MN⊥AD，同理可證MN⊥EF∴λ=1時(shí)，MN為異面直線AD與EF公垂線段．（2）過(guò)點(diǎn)M作MH∥DF，交AF于點(diǎn)H，則∠