圓知識點總結(jié)及歸納

圓知識點總結(jié)及歸納圓知識點總結(jié)及歸納圓知識點總結(jié)及歸納xxx公司圓知識點總結(jié)及歸納文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計，管理制度第一講圓的方程宋體三號加粗宋體三號加粗一、知識清單一級標(biāo)題宋體四號加粗一級標(biāo)題宋體四號加粗（一）圓的定義及方程二級標(biāo)題宋體小四加粗二級標(biāo)題宋體小四加粗定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)正文宋體五號正文宋體五號標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑：eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的互化三級標(biāo)題宋體五號加粗三級標(biāo)題宋體五號加粗（1）將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展開并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F(xiàn)＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.（2）將圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通過配方后得到的方程為：(x＋eq\f(D,2))2＋(y＋eq\f(E,2))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)=1\*GB3①當(dāng)D2＋E2－4F>0時，該方程表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))為圓心，eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)為半徑的圓；=2\*GB3②當(dāng)D2＋E2－4F＝0時，方程只有實數(shù)解x＝－eq\f(D,2)，y＝－eq\f(E,2)，即只表示一個點(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))；=3\*GB3③當(dāng)D2＋E2－4F<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．2、圓的一般方程的特征是：x2和y2項的系數(shù)都為1，沒有xy的二次項.3、圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了．（二）點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：（1）若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.（2）若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.（3）若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.本處標(biāo)題級數(shù)錯誤，應(yīng)為1、2、3三級標(biāo)題(三)直線與圓的位置關(guān)系本處標(biāo)題級數(shù)錯誤，應(yīng)為1、2、3三級標(biāo)題方法一：方法二：（四）圓與圓的位置關(guān)系1外離2外切3相交4內(nèi)切5內(nèi)含（五）圓的參數(shù)方程（六）溫馨提示1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是：（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.2、求圓的方程時，要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)簡化運(yùn)算．（1）圓心在過切點且與切線垂直的直線上．（2）圓心在任一弦的中垂線上．（3）兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線．3、中點坐標(biāo)公式：已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，點M(x，y)是線段AB的中點，則x＝，y＝.二、典例歸納考點一：有關(guān)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法宋體小四加粗宋體小四加粗【例1】注意例題符號使用圓的圓心是，半徑是.注意例題符號使用【例2】點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)【例3】圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程為()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1【例4】圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點P(0,0)對稱的圓的方程為()A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5【變式1】已知圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為【變式2】已知圓C與圓關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為【變式3】若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋(y－1)2＝1【變式4】已知的頂點坐標(biāo)分別是，，，求外接圓的方程.方法總結(jié)：宋體五號加粗宋體五號加粗1．利用待定系數(shù)法求圓的方程關(guān)鍵是建立關(guān)于a，b，r的方程組．2．利用圓的幾何性質(zhì)求方程可直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．考點二、有關(guān)圓的一般方程的求法【例1】若方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓，則的取值范圍是()A.eq\f(1,4)＜m＜1B．m＜eq\f(1,4)或m＞1C．m＜eq\f(1,4) D．m＞1【例2】將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0【例3】圓x2－2x＋y2－3＝0的圓心到直線x＋eq\r(3)y－3＝0的距離為________．【變式1】已知點是圓上任意一點，P點關(guān)于直線的對稱點也在圓C上，則實數(shù)=【變式2】已知一個圓經(jīng)過點、，且圓心在上，求圓的方程.【變式3】平面直角坐標(biāo)系中有四點，這四點能否在同一個圓上為什么【變式4】如果三角形三個頂點分別是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，則它的內(nèi)切圓方程為________________．方法總結(jié)：1．利用待定系數(shù)法求圓的方程關(guān)鍵是建立關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組．2．熟練掌握圓的一般方程向標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化考點三、與圓有關(guān)的軌跡問題【例1】動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，則動點P的軌跡方程為()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16【例2】方程表示的曲線是（）A.一條射線B.一個圓C.兩條射線D.半個圓【例3】在中，若點的坐標(biāo)分別是（-2,0）和（2,0），中線AD的長度是3，則點A的軌跡方程是（）A.B.C.D.【例4】已知一曲線是與兩個定點O(0,0)，A(3,0)距離的比為eq\f(1,2)的點的軌跡．求這個曲線的方程，并畫出曲線．【變式1】方程所表示的曲線是（）A.一個圓B.兩個圓C.一個半圓D.兩個半圓【變式2】動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，則動點P的軌跡方程為()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16【變式3】如右圖，過點M(－6,0)作圓C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割線，交圓C于A、B兩點，求線段AB的中點P的軌跡．【變式4】如圖，已知點A(－1,0)與點B(1,0)，C是圓x2＋y2＝1上的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|＝|BC|，求AC與OD的交點P的軌跡方程．方法總結(jié)：求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根據(jù)題目條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)出動點坐標(biāo)，找出動點滿足的條件，然后化簡．(2)定義法：根據(jù)直線、圓等定義列方程．(3)幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等．考點四：與圓有關(guān)的最值問題【例1】已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍是________【例2】已知x，y滿足x2＋y2＝1，則eq\f(y－2,x－1)的最小值為________．【例3】已知點M是直線3x＋4y－2＝0上的動點，點N為圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的動點，則|MN|的最小值是()\f(9,5) B．1\f(4,5) \f(13,5)【例4】已知實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋(y＋1)2＝1則2x－y的最大值為________，最小值為________．【變式1】P(x，y)在圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移動，則x2＋y2的最小值為________．【變式2】由直線y＝x＋2上的點P向圓C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切線PT(T為切點)，當(dāng)|PT|最小時，點P的坐標(biāo)是()A．(－1,1) B．(0,2)C．(－2,0) D．(1,3)【變式3】已知兩點A(－2,0)，B(0,2)，點C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點，則△ABC面積的最小值是________．【變式4】已知圓M過兩點C(1，－1)，D(－1,1)，且圓心M在x＋y－2＝0上．（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓M的兩條切線，A，B為切