時間管理第三章連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析

最新卓越管理方案

您可自由編輯第三章.連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析一、任意信號在完備正交函數系中的表示法(§6?3---6?4)信號分解的目的：將任意信號分解為單元信號之和，從而考查信號的特性。簡化電路分析與運算，總響應=單元響應之和。1.正交函數集任意信號f((t)可表示為n維正交函數之和：f(t)=Cg(()+Cg(()+???Cg(t)+…+Cg(t)1122rrnn=￡Cg(t)r=1原函數gQg0-g。相互正交：Jt2g(t)-g(t)dt=<?m'n12r七mn[K,m=ngrG)稱為完備正交函數集的基底。一個信號可用完備的正交函數集表示，.正弦函數集有許多方便之處,如易實現等，我們主要討論如何用正弦函數集表示信號。2.能量信號和功率和信號(§6.6一)設iG)為流過電阻R的電流，瞬時功率為P(t)=i2(t)R一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比。令R=1Q則在整時間域內，實信號fG)的能量，平均功率為：W=limJ亨f2(t)dtp=limlJ亨f2(tdT。*±T。*T01°討論上述兩個式子，只可能出現兩種情況：0vWV8(有限值)P=00<PV8(有限值)W=8滿足①式的稱為能量信號，滿足②式稱功率信號。3.帕斯瓦爾定理設匕(t)｝為完備的正交函數集，即

ff2(t必=WC2fg2(t^t=Ef\Cgr(t)1dt"r=1tir=1ti信號的能量基底信號的能量各分量此式稱為帕斯瓦爾定理P331式(6-81)(P93,P350)左邊是信號能量，右邊是各正交函數的能量。物理意義：一個信號所含有的能量(功率)恒等于此信號在完備正交函數集中各分量能量(功率)之和。二、周期信號的頻譜分析一一傅里葉級數周期信號傅里葉級數有兩種形式三角形式：f(t)=a+*Gcosn?t+bsinn?t)0n1n1n=1=c+Eccos(n④t+9)0n1n指數形式：f(t)=WF(n?1*幣吃周期信號的頻譜是離散譜，三個性質收斂性(T,F(n?1)|D諧波性：(離散性)譜線只出現在n?1處，唯一性：f(t)的譜線唯一兩種頻譜圖的關系????三角形式：cn~?，指數形式：|F(n?1)|~?,七en~?單邊頻譜~?雙邊頻譜兩者幅度關系F(n?1)=板Cjin壬0)指數形式的幅度譜為偶函數|F(n?)|=|F(-n?)|指數形式的相位譜為奇函數11。(n?)=』(-n?)F0=C0=a0(4)引入負頻率對于雙邊頻譜，負頻率(??1)，只有數學意義，而無物理意義。為什么引入負頻率？1???f((t)是實函數，分解成虛指數，必須有共軛對ejn^t與e-jn^1，才能保證f(()實函數性質不變。(5)對特殊信號不一定滿足上述三個性質例如：沖激序列6(t)=2^S(t-nT)(n為整數)的付里葉級數O&分析：狄氏條件是傅里葉級數存在的充分條件。根據沖激信號的定義和特性，其積分有確定值，傅里葉級數存在。即F(nro)=—fs(t)e-jn%dt=—TT-T2???f(()=st(()=*Tejn&1n=-ssT(t)的頻譜，有離散性，諧波性，'無收斂性，頻帶無限寬周期信號的功率周期信號的平均功率=各正交分量的平均功率之和(帕斯瓦爾定理)cosn?t+bsinn①t平均功率：1P=T』:f2(t)dtn=102=a2+2n0n=1￡n=1七是三角形式傅里葉級數的余弦形式中振幅值。n.??總平均功率=各次諧波的平均功率之和對于指數形式的傅里葉級數P=L』Tf2(t)dt=EF。①1)2=￡F|2,

0n=-8n=-8三、典型周期信號的傅立葉級數本節(jié)以周期矩形脈沖信號為例，討論其頻譜的特點。頻譜結構已知矩形脈沖信號的脈寬為脈寬為J脈沖高度為E，周期為T1。三角形式的譜系數fG)是個偶函數％=0,只有a0,氣。指數形式的譜系數1etrt^F(n①1)=T*f(t)e*dt=—S*n氣^J頻譜特點包絡線按抽樣形狀變化xx頻譜是離散的F(no1)~①是n氣的函數，只在①1的整數倍有值(諧波性)

.Er其最大值在n=0處，為質T1幅度J＜譜線間隔叫=舞J1T1當孔T8,時，Q1T8，竿為無限小，/（t而周期信號T非周期信號。?1?矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點：離散性，諧波性，收斂性=mn（m取整數）時，通過零點。其中第此后諧波的振幅相對減小。能量主要集中在頻帶寬度周期矩形脈沖信號的頻譜每當氣任2一個零點在號』，即n^=2n21r第一個零點以內。信號一般主要集中在低頻段。=mn（m取整數）時，通過零點。其中第此后諧波的振幅相對減小。能量主要集中在定義：在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：B&=竿或Bf=1，帶寬與脈寬成反比。對于一般周期信號，將幅度下降為§\F(no1)皿的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。系統(tǒng)的通頻帶〉信號的帶寬，才能不失真非周期信號的頻譜分析一傅里葉變換傅里葉變換當孔—8時，/(t):周期信號-非周期信號譜系數：F(麗1)=:!?2f(t)e-施1W(1)1T1%T1FG①1)=F,；〔)=F1)單位頻帶上的頻譜值1T1JfG=lim;FG%)T1T8=limJT12f(t)e-jn(d1tdtTT8T】2=J00f(t)e-加tdt-8FJ)稱為頻譜密度函數，簡稱頻譜函數。由f(t)求F佃)稱為傅立葉變換。F(&)一般為復信號，故可表示為F(①)=1F佃)le為(0lF0)l~S幅度頻譜9(①)~①：相位頻譜

反變換fJ)應是F婦)的反變換。f(t)=M』8Fd、td&2冗一8傅立葉變換對F@)=J8f(t)e-J①tdt=Ff(t)]一8f(t)=如8Fdj①td?=F-1f(t)]稱為付里葉變換對，簡寫fQ"F(J,其中f(t)稱為原函數，F(o)稱為象函傅立葉變換的特殊形式F(o)=|F(o)eM)=A(o)+jX(o)實部虛部f(t)=feQ+fo。實信號偶分量奇分量F(o)=f8f(t)e-jotdt-8=J8f(t)+f(t)]?lcosot一jsinotd-8=2J8fe(t)cosotdt一j2J8fo(t)sinotdt虛部實部關于o的偶函數關于o的奇函數關于o的偶函數關于o的奇函數R(ok2J8fe(t)cosotdtX(o)=-2J:fo(t)sinotdt\F婦卜氣上婦幾+X(o^2。婦)=坨-1洛fQ偶函數(奇分量為零)QF(o)為實函數，只有R(o)，相位土兀f()奇函數(偶分量為零)QF(o)為虛函數，只有X(o)，相位土;2

奇偶虛實性傅里葉變換的物理意義/(t)為實函數f(t)=—J00F(o>/e如=卜^^^?.e虛部關于o的偶函數關于o的奇函數關于o的偶函數關于o的奇函數=&JoF(42冗-ojl(?)ej?td&=—Jo|F(o)costot+|^?Ud?+j-1Jo|F(o)sinLt+|(o)d?2丸-o2冗-o=—JoF(o)costot+|(o)do2冗-o=—Jo|F(o)costot+|(o)do冗0=Jo0F(o)docoslo=Jo0冗求和振幅正弦量由上式可得出，非周期信號可分解為：無窮多個幅度為無窮小(:F(o)d°)的連續(xù)指數信號之和，占據整個頻域，2丸1o:—oTo；無窮多個振幅為無窮小(§|F(o)d°)的連續(xù)余弦信號之和，頻域范圍：0To。傅里葉變換存在的條件1°|/([t=有限值知分條件)-o即f(t)絕對可積，F4)存在。所有能量信號均滿足此條件。當引入5(o)函數的概念后，允許作變換的函數類型大大擴展了。典型非周期信號的頻譜相位頻譜單邊指數信號F(?)=J8EeFuC>-加畫一8直流信號Ef(t)=E一8VtV+8fG)不滿足絕對可積的條件，不能直接用定義求F4)；利用矩形脈沖的頻譜求極限。:.E.2冗6(o)+F（d）（2nE）Od時域無限寬，頻帶無限窄。當f。=1時，FEJ=2冗6(d)t>0,c這個信號不滿足絕對可積條件。處理方法:tV0符號函數f(t)=sgn(t)=｛一1，做成一個雙邊函數f1。=sgn(tL-W，，求七(o)，求極限得到F(o)...碼蓋）”=-§=旨ez2

沖激函數F(?)=J^8(t)?-j攵dt=1—3t>0,c這個信號不滿足絕對可積條件。處理方法:tV0...碼蓋）”=-§=旨ez2沖激函數積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對可積條件，不能用定義求。f(t)t對稱性tf(t)oF(o)沖激偶的付里葉變換3f(t\t(t)dt=—f血)f(t)o...8t(t)e38《\—jotdt=-^e-joJ=o=—(—jo)=jo—3單位階躍函數u(t)u(t)e在8(D)+j-

o

傅立葉變換的性質傅立葉變換具有唯一性。付氏變換的性質揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內在聯系。討論付里葉變換的性質，目的在于：了解特性的內在聯系；?用性質求F(o)了解在通信系統(tǒng)領域中的實用。對稱性線^奇偶虛實性微分性質尺度變換特性時移特性頻移特性時域積分性質微分性質時域微分f(t)QF(o)，貝iff(t)IjoF(o)如果fG)中有確定的直流分量，應先取出單獨求付氏變換，余下部分再用微分性質。頻域微分若f(t)IF(o),則tf(t)—jdF(&)do或-jtf(t)IdF(o)do尺度變換特性若f(t)IF(o)，則f(at)11F⑵，a為非零常數。aIa)信號的持續(xù)時間與信號占有頻帶成反比，有時為加速信號的傳遞，要將信號持續(xù)時間壓縮，則要以展開頻帶為代價。

.時移特性都(l)eF(o),則f。-匕)eF(c))e-j^0；若H((o)="(co)銜枷)，貝![f(r-^)o|F(a))|-ejb(?)-j?rol幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，.當時移和尺度變換都有時新￡)5"貝VJ+萬).n仁)?0\a\aJ8.頻移特性通信中調制與解調，頻分復用若f(t)ej(d^—F(D-(O)貝U八)(°、0)。為常數，注意土號<^fQd+g)0)|9.時域積分性質若丁0—F(d)貝[|正(0)=0時,FyGL.些?—00JG)H(0)o0時,F八認.時GM)+些^—00JG)卷積定理1.時域卷積定理意義:時域卷積對應頻域頻譜密度函數乘積2.頻域卷積定理若/20^F2（o）1.時域卷積定理意義:時域卷積對應頻域頻譜密度函數乘積2.頻域卷積定理若/20^F2（o）意義：時間函數的乘積一各頻譜函數卷積的治倍。3?作用卷積定理：揭示了時間域與頻率域的運算關系，在通訊理論中有重要作用4.應用：用時間卷積定理求頻譜密度函數求FfG》t的傅立葉變換。一8求系統(tǒng)的響應一口^叩一g0=f%認)5.調制原理與頻分復用調制：將信號的頻譜函數搬移到任何所需的較高頻段上的過程。圖1為幅度調制(AM)。解調將己調信號恢復成原來的調制信號的過程。圖4所示為同步解調

G(?)①Gad2F(G(?)①Gad2F(o)+4F(d+加『+F<D-西)頻分復用所謂頻分復用，就是以頻段分割的方法在一個信道內實現多路通信的傳輸體制。發(fā)信端：調制，將各信號搬移到不同的頻率范圍。收信端：帶通濾波器，分開各路信號，解調。再利用一個低通濾波器(帶寬①誑<H<2%-?TO,)，濾除再2%附近的分量，即可取出f0,完成解調。"m°周期信號的傅立葉變換周期信號：fQ.傅里葉級數-F(n^1)離散譜非周期信號f().傅里葉變換-F。切)連續(xù)譜cosQ01OK§(?+①0)+kS(?-&0)正弦信號：TOC\o"1-5"\h\zsin切otO—j丸S(?-o.)+j航(o+氣)f。=EF(no一般周期信號：；：°1F.(o)=￡F^no,*ljnof=2丸EF(no).6(d-no)T111—8-8離散譜走示的是頻譜密度.T(M頻譜由沖激序列組成；位置：o=no1(諧波頻率)強度：2冗F(no1),與F(no1)G)譜線的幅度不是有限值，因為

周期信號的F(o)只存在于o=no1處,頻率范圍無限小,幅度為離散譜走示的是頻譜密度.由F，)求F(no1)：FG?1)=TF0

1(?)o=n?1F0(o)=jMf(tL-jotdt——2單位沖激序列的8FG?1)=TF0

1(?)o=n?18t。=荒8(t-nT)=￡F(no1)?jno1t=土￡ejno/

n=-8n=—81—8F(o)=臾EsCo-no)=o2^3(0-no)T1-■』F1n=-8、>no)111n=-81iF(o)888...??.ii(o)1iJ(o)19o)?2oo-2o-o0o2oo88o11111111.?.8t(t)的頻譜密度函數仍是沖激序列,強度和間隔都是o11T1周期矩形脈沖序列的傅氏變換F(o)=Et?1￡Saf"；任jsG-n?1)—8抽樣信號的傅立葉變換f(t)…(1)(1)G)(1)?！?2T-T°T2Tt188111

連續(xù)信號⑤

八）連續(xù)信號⑤

八）*抽樣信號七^^5。抽樣脈沖p(t)=5t(t)=藝5(t-nT).①2^5(①一n?)一8—8fs(t)=f(t)5t(t)=*f(nT)8(t-nT)一8頻域:Fs(o)=FfCbTG)]=圣F(?)?8T(o)=1tF(o-n?s)Sn=-8若接一個理想低通濾波器，其④<?<?一⑦即可重現原信號。增益為Ts截止頻率濾除高頻成份抽樣定理f.=④<?<?一⑦即可重現原信號。Tsmax=f是最大抽樣間隔，稱為奈奎斯特抽樣間隔一個頻率受限的信號fQ如果頻譜只占據-％o?+%的范圍,則信動（t局用等間隔的抽樣值來唯一地表示。其抽樣間隔必須不大于沼，即Ts<21■（其中?m=2f），或者說最低抽樣mm頻率為2fm。抽樣定理的應用一時分復用用于時分復用，在同一時間里傳送不同信號。

十.系統(tǒng)函數H(jo)H(o)=R(o)_響應信號的傅氏變換麗_激勵信號的傅氏變換物理意義H(o)=表征系統(tǒng)固有的性質或特性h()為沖激響應，取決于系統(tǒng)本身的結構，描述了系統(tǒng)的固有性質。H(o)也僅僅決定于系統(tǒng)結構，H<0)是表征系統(tǒng)特性的重要參數。系統(tǒng)沖激響應的傅立葉變換當e(t)=S(t)時，r(t)=h(t)，此時5(t)