復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式對比

復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式對比復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式對比復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式對比復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式對比編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:SHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITY題目名稱：復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式對比學(xué)生姓名:學(xué)生學(xué)號:班級:學(xué)院(系):目錄1. 概述 32. 問題提出 43. 算法推導(dǎo) 54. 算法框圖 6復(fù)合梯形公式算法流程圖 6復(fù)合辛普森公式算法流程圖 75. MATLAB源程序 86. 結(jié)論與展望 9圖表目錄TOC\h\z\c"圖"圖41復(fù)合梯形公式算法流程圖 6圖42復(fù)合辛普森公式算法流程圖 7圖61MATLAB計(jì)算結(jié)果 9TOC\h\z\c"表"表21函數(shù)計(jì)算結(jié)果表 4概述梯形求積公式和辛普森求積公式分別是牛頓-科斯特公式中n=1和n=2時(shí)的情形。其中梯形求積公式可表示為其公式左端是以[a,b]區(qū)間上積分，右端為b-a為高、端點(diǎn)函數(shù)值為上下底的梯形的面積值，故通稱為梯形公式，具有1次代數(shù)精確度。類似的，辛普森求積公式可以表示為該公式一般在立體幾何中用來求擬柱體的體積，由于偶數(shù)n階牛頓-科特斯求積公式至少具有n+1次代數(shù)精確度，所以辛普森公式實(shí)際上具有3次代數(shù)精確度。由于牛頓-科斯特公式在n≥8時(shí)不具有穩(wěn)定性，故不可能通過提高階的方法來提高求積精度。為了提高精度通?？砂逊e分區(qū)間分成若干子區(qū)間（通常是等分），再在每個(gè)子區(qū)間上用低階求積公式。這種方法稱為復(fù)合求積法。本文主要討論復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式在同一數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。首先給出了復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式的推導(dǎo)過程以及其余項(xiàng)的表達(dá)形式，然后用流程圖的形式介紹算法思路，再運(yùn)用MATLAB編寫代碼計(jì)算結(jié)果，最后對結(jié)果進(jìn)行對比討論。希望通過兩個(gè)算法在同一個(gè)算例中的應(yīng)用對比，更好的理解和掌握復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式的適用范圍和適用條件。并且能夠熟悉MATLAB編程求解問題的流程，掌握編程化的思想方法。同時(shí)對兩種方法的計(jì)算結(jié)果對比分析，討論兩種求積方法的計(jì)算精度。問題提出對于函數(shù)fx=sinx表STYLEREF1\s2SEQ表\*ARABIC\s11函數(shù)計(jì)算結(jié)果表xf(x)011/81/43/81/25/83/47/81算法推導(dǎo)復(fù)合梯形公式根據(jù)梯形公式，將區(qū)間[a,b]劃分為n等份，分點(diǎn)xk=a+kh,h=b-a記則Tn另外，復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)可表示為復(fù)合辛普森公式根據(jù)辛普森公式將區(qū)間[a,b]劃分為n等份，在每個(gè)子區(qū)間若記x則得記該公式即為復(fù)合辛普森公式。復(fù)合辛普森公式的余項(xiàng)可表示為算法框圖開始復(fù)合梯形公式算法流程圖開始輸入輸入?yún)^(qū)間斷點(diǎn)a,b及等分?jǐn)?shù)n求出步長h求出步長h，各節(jié)點(diǎn)xk及相應(yīng)的函數(shù)值f(各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值f(xk)求和sumTT輸出輸出積分值T結(jié)束結(jié)束圖圖STYLEREF1\s4SEQ圖\*ARABIC\s11復(fù)合梯形公式算法流程圖復(fù)合辛普森公式算法流程圖開始開始輸入輸入?yún)^(qū)間斷點(diǎn)a,b及等分?jǐn)?shù)n求出求出步長h，各節(jié)點(diǎn)xk，相鄰節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)xk+1/2及相應(yīng)的函數(shù)值f各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值f(xk各相鄰節(jié)點(diǎn)中心點(diǎn)函數(shù)值f(xk+1k=1,2,..n-1SS輸出輸出積分值S結(jié)束結(jié)束圖圖STYLEREF1\s4SEQ圖\*ARABIC\s12復(fù)合辛普森公式算法流程圖MATLAB源程序%復(fù)合梯形公式及復(fù)合辛普森積分公式clearall;formatlong;a=0;b=1;n=8;h=(b-a)/n;%步長fori=1:n+1x(i)=a+(i-1)*h;ifisnan(sin(x(i))/x(i))symst;tmp=limit(sin(t)./t,t,x(i));%當(dāng)被積函數(shù)在某點(diǎn)值不存在時(shí)，求其極限y(i)=eval(tmp);elsey(i)=sin(x(i))/x(i);%被積函數(shù)求節(jié)點(diǎn)的值endend%復(fù)合梯形公式及復(fù)合辛普森積分公式s1=0;fork=2:ns1=s1+y(k);endT8=h/2*(y(1)+2*s1++y(n+1))%復(fù)合辛普森積分公式s2=0;s3=0;fork=2:2:ns2=s2+y(k);endfork=3:2:n-1s3=s3+y(k);endh1=2*h;%注：此時(shí)步長是原來的2倍S4=h1/6*(y(1)+4*s2+2*s3+y(n+1))fprintf('梯形積分公式：%\n辛普森公式積分：%\n',T8,S4)結(jié)論與展望圖STYLEREF1\s6SEQ圖\*ARABIC\s11MATLAB計(jì)算結(jié)果運(yùn)行MATLAB程序，得到復(fù)合梯形求積公式的積分值為，復(fù)合辛普森求積公式的積分值為（四舍五入后保留6位小數(shù)）。而實(shí)際的積分準(zhǔn)確值保留到6位小數(shù)的結(jié)果為。通過上述結(jié)果對比可以得出，雖然復(fù)合梯形公式將區(qū)間分成了8等分而復(fù)合辛普森公式將區(qū)間分成了4等分，但兩種計(jì)算方法實(shí)際都需要使用9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本也相同，然而最終精度差別卻很大。在保留6位小數(shù)的前提下，復(fù)合辛普森法計(jì)算結(jié)果與精確解完全一致，而復(fù)合梯形公式的計(jì)算結(jié)果卻只有前兩位數(shù)字與精確解相同，誤差相對比較大。下面利用余項(xiàng)公式來估計(jì)兩種算法的誤差。首先需要求fx=,所以有,于是.從而復(fù)合梯形公式的誤差.而復(fù)合辛普森公式的誤差.從而，對比兩者可得，復(fù)合辛普森公式在計(jì)算該問題時(shí)的精度遠(yuǎn)高于復(fù)合梯形公式。通過以上分析，本文所得結(jié)論如下：復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式都可以用來作為數(shù)值積分估算的替代公式。在計(jì)算量基本相同的前提下，復(fù)合辛普森公式計(jì)算結(jié)果的計(jì)算精度要比復(fù)合梯形公式計(jì)算精度高的多。本算例也驗(yàn)證了辛普森公式作為偶數(shù)階牛頓-柯特斯公式的更為精確的代數(shù)精度。關(guān)于如何開展下一步研究，提出以下構(gòu)想：對多個(gè)算例進(jìn)行分析，保證計(jì)算量基本相同的情況下去比較計(jì)算精度，驗(yàn)證復(fù)合辛普森公式具有更高精度的結(jié)論。對多個(gè)算例進(jìn)行MATLAB編程分析，在要求相同計(jì)算精度的前提下去比較計(jì)算量的大小，從而分析復(fù)合梯形公式與復(fù)合辛普森公式的優(yōu)劣。參考文獻(xiàn)[1]穆耶賽爾·艾合買提,阿布都熱西提·阿布都外力.改進(jìn)復(fù)合梯形求積公式[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,06: