三角形的內(nèi)角和(提高)知識講解

三角形的內(nèi)角和(提高)知識講解三角形的內(nèi)角和(提高)知識講解三角形的內(nèi)角和(提高)知識講解xxx公司三角形的內(nèi)角和(提高)知識講解文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度三角形的內(nèi)角和（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解三角形內(nèi)角和定理的證明方法；2．掌握三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)；3．能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，證明問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．要點(diǎn)二、三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.要點(diǎn)詮釋：(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長線．（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．2．性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．要點(diǎn)詮釋：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點(diǎn)詮釋：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°．【典型例題】類型一、三角形的內(nèi)角和 1．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，試判斷該三角形的形狀．【思路點(diǎn)撥】由∠A＝∠B＝∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度數(shù)，從而判斷三角形的形狀．【答案與解析】解：設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【總結(jié)升華】本題利用設(shè)未知數(shù)的方法求出三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，解法較為巧妙．舉一反三：【變式1】三角形中至少有一個(gè)角不小于________度．【答案】60【變式2】如圖，AC⊥BC,CD⊥AB,圖中有對互余的角有對相等的銳角

【答案】3,2．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，則∠C的度數(shù)是多少【思路點(diǎn)撥】按△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論．【答案與解析】解：分兩種情況討論：（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖所示，在△ABD中，∵BD是AC邊上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定義)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．綜上，∠C的度數(shù)為60°或30°．【總結(jié)升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題．這就要求解答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問題也是我們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該注意的一個(gè)重要環(huán)節(jié)．類型二、三角形的外角3.如圖，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD為∠BAC的平分線，∠B=50o，∠C=70o，求∠DAE．【答案與解析】解：∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－70°＝60°又AD為∠BAC的平分線所以∠BAD＝＝30°∠ADE＝∠B＋∠BAD＝50o＋30°＝80°又AE⊥BC于E所以∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－80°＝10°舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，AB＞AC，AE⊥BC于E，AD為∠BAC的平分線，則∠DAE與∠C－∠B的數(shù)量關(guān)系.【答案】4.如圖所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分線，CE交BA延長線于點(diǎn)E.求證：∠BAC>∠B.【答案與解析】證明：在△ACE中，∠BAC>∠1（三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角）.同理在△BCE中，∠2>∠B，因?yàn)椤?=∠2，所以∠BAC>∠B.【總結(jié)升華】涉及角的不等關(guān)系的問題時(shí)，經(jīng)常用到三角形外角性質(zhì)：“三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角”.舉一反三：【變式】（2015春?高密市期末）一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B、∠C應(yīng)分別是21°和32°，現(xiàn)測量得∠BDC=148°，你認(rèn)為這個(gè)零件合格嗎為什么【答案】解：延長CD與AB相交于點(diǎn)F．∵∠DFB=∠C+∠A=32°+90°=122°，又∵∠BDC=∠DFB+∠B=122°+21°=143°，∵實(shí)際量得的∠BDC=148°，143°≠148°，∴這個(gè)零件不合格．類型三、三角形的內(nèi)角外角綜合5.（2015春?東臺市）已知，如圖，在△ABC中，∠A=∠ABC，直線EF分別交△ABC的邊AB，AC和CB的延長線于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．（1）求證：∠F+∠FEC=2∠A；（2）過B點(diǎn)作BM∥AC交FD于點(diǎn)M，試探究∠MBC與∠F+∠FEC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根據(jù)∠A=∠ABC，即可得出答案；（2）由BM∥AC，得出∠MBA=∠A，∠A=∠ABC，得出∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，結(jié)合（1）的結(jié)論證得答案即可．【答案與解析】（1）證明：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，∵∠ADE=∠BDF，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，∵∠A=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．（2）∠MBC=∠F+∠FEC．證明：∵BM∥AC，∴∠MBA=∠A，、∵∠A=∠ABC，∴∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，又∵∠F+∠FEC=2∠A，∴∠MBC=∠F+∠FEC．【總結(jié)升華】主要考察了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用角的和與差與等量代換解決問題．舉一反三：【變式1】如圖所示，五角星ABCDE中，試說明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【答案】解：因?yàn)椤螦GF是△GCE的外角，所以∠AGF=∠C+∠E.同