解三角形的實際應(yīng)用舉例教案(北師大版必修五)

解三角形的實際應(yīng)用舉例一、教材分析本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計算之后的一節(jié)實際應(yīng)用課,可以說是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計的，因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實際的重要作用。在本節(jié)課的教學(xué)中，用方程的思想作支撐，以具體問題具體分析作指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識問題、分析問題并最終解決問題。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能①能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，了解測量的方法和意義.②會在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題和基本圖形和基本等量關(guān)系，理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語.(如:坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等)2、過程與方法①采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學(xué)生在溫故知新中學(xué)會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識框架.②通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實際問題的能力:通過解三角形在實際中的應(yīng)用，要求學(xué)生體會具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，以及數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)、生活實際中所發(fā)揮的重要作用.3、情感態(tài)度價值觀①激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.②培養(yǎng)學(xué)生運用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力.③培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力.三、教學(xué)重點、難點1、重點:①實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化②掌握運用正、余弦定理等知識方法解三角形的方法2、難點:實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定四、教學(xué)方法與手段本節(jié)課的重點是正確運用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正確運用兩個定理的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形，明確各已知量、未知量以及它們之間的相互關(guān)系。通過問題的探究，要讓學(xué)生結(jié)合實際問題，畫出相關(guān)圖形，學(xué)會分析問題情景，確定合適的求解順序，明確所用的定理:其次，在教學(xué)中讓學(xué)生分析討論，在方程求解繁與簡的基礎(chǔ)上選擇解題的思路，以提高學(xué)生觀察、識別、分析、歸納等思維能力。五、教學(xué)過程舊知導(dǎo)入通過復(fù)習(xí)正余弦定理及其變形形式，讓學(xué)生牢記定理內(nèi)容以及它們所能解決的題目類型，并會運用正余弦定理實現(xiàn)三角形的邊角轉(zhuǎn)化，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做鋪墊。要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師引導(dǎo)復(fù)習(xí)總結(jié).引入新課、新知探究1．仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角．目標(biāo)視線在水平視線上時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下時叫俯角，如圖1所示．2.方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2所示)．圖1圖2設(shè)計意圖：解決三角形應(yīng)用問題，就是將要解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正、余弦定理等有關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型，然后求解，解決問題的關(guān)鍵就在與找角度。典例分析、舉一反三題型一測量距離問題例1：某觀測站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31千米的公路上的B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達(dá)D，此時測得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？解如圖所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝eq\f(312＋202－212,2×31×20)＝eq\f(23,31)，所以sinB＝eq\f(12\r(3),31).在△ABC中，AC＝eq\f(BCsinB,sinA)＝eq\f(31×\f(12\r(3),31),sin60°)＝24(千米)．由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA，得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)．∴AD＝AB－BD＝15(千米)．∴故此人在D處距A還有15千米．練習(xí)1：設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A、B兩點的距離為()．解析∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理：eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，∴AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．規(guī)律方法測量距離問題分為三種類型：兩點間不可通又不可視，兩點間可視但不可達(dá)，兩點都不可達(dá)．解決此問題的方法是，選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．題型二測量高度問題例2：A、B是海平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D是點C到水平面的垂足，求山高CD(精確到整數(shù))．解如圖，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．∴CD＝AD＝800(eq\r(3)＋1)≈2186(m)．所以山高CD約為2186(m)．練習(xí)2：地平面上有一旗桿設(shè)為OP，已知地平面上的一基線AB，AB＝200m，在A處測得P點的仰角為∠OAP＝30°，在B處測得P點的仰角為∠OBP＝45°，又測得∠AOB＝60°，求旗桿的高h(yuǎn).解如圖，∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，∠AOB＝60°，AB＝200m，在△OAP中，∵OP⊥AO，∴∠AOP＝90°，則eq\f(OP,OA)＝tan30°，∴OA＝eq\f(OP,tan30°)＝eq\r(3)h(m)，同理在△BOP中，∠BOP＝90°，且∠OBP＝45°，∴OB＝OP＝h，在△OAB中，由余弦定理得：AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即2002＝3h2＋h2－2eq\r(3)h2·cos60°，解得h＝eq\f(200,\r(4－\r(3)))(m)．所以旗桿高為eq\f(200,\r(4－\r(3)))m.規(guī)律方法解決測量高度問題的一般步驟是：(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖；(2)分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形；(3)求解：運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．題型三測量角度問題例3;在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此時，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？解：設(shè)緝私船用th在D處追上走私船，畫出示意圖，則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴BC與正北方向成90°角．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得：sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船．練習(xí)3：如圖所示，在斜度一定的山坡上的一點A測得一建筑物頂端C對于山坡的坡度為15°，向山頂前進(jìn)100m后，又從B點測得斜度為45°，設(shè)建筑物的高度為50m，求此山相對于地平面的傾斜角的余弦值．解eq\f(100,sin30°)＝eq\f(AC,sin135°)，∴AC＝100eq\r(2)m，∵eq\f(100,sin30°)＝eq\f(BC,sin15°).∴BC＝50(eq\r(6)－eq\r(2))m設(shè)傾斜角為θ，則eq\f(BC,sin90°＋θ)＝eq\f(50,sin45°)，∴cosθ＝eq\r(3)－1.∴此山相對于地平面的傾斜角的余弦值為eq\r(3)－1.規(guī)律方法測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．設(shè)計意圖：通過例題講解，讓學(xué)生能區(qū)分不同的題型，總結(jié)規(guī)律能讓學(xué)生掌握一般的解題步驟，通過變式練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握此類題的解法并，理解同一數(shù)學(xué)模型在不同問題中的應(yīng)用。六、總結(jié)本節(jié)課通過舉例說明了解斜三角形在實際中的一些應(yīng)用。掌