巴特沃斯濾波器課件

6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

——巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)第一小組成員：付曉瑋危靜張文林趙朝陽(yáng)張建中楊浩澎*6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

——巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)第一小1本節(jié)內(nèi)容：1.模擬濾波器的設(shè)計(jì)總述；2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)原理；3.關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)的例題；*本節(jié)內(nèi)容：1.模擬濾波器的設(shè)計(jì)總述；*2

I.模擬濾波器的設(shè)計(jì)總述

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。*

I.模擬濾波器的設(shè)計(jì)總述

模擬濾波器的理論和3

典型濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器:具有單

調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動(dòng)，可提高選擇性；貝塞爾（Bessel）濾波器：通帶內(nèi)有較好的線性相位；橢圓（Ellipse）濾波器：選擇性最好，但相位特性的非線性嚴(yán)重。*典型濾波器*4選頻型模擬濾波器按頻率特性可分為低通，高通，帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅頻特性如圖所示：

圖6.2.1各種理想濾波器的幅頻特性

*選頻型模擬濾波器按頻率特性可分為低通，高通，帶通和帶阻濾波器5模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)

圖6.1.1典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標(biāo)描述*模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)

圖6.1.1典型模擬低通濾波器幅6濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的技術(shù)指標(biāo)，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此(6.2.6)*濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希7

Butterworth低通濾波器具有通帶最平幅度逼近特性，是一全極點(diǎn)型濾波器，且極點(diǎn)均勻分布上Ωc的圓上,并且與虛軸對(duì)稱。其最主要特點(diǎn)：在通帶內(nèi)，幅頻最平坦，隨著頻率的升高而單調(diào)下降。其幅度平方函數(shù)為

II.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)原理(6.2.7)

*Butterworth低通濾波器具有通帶最平幅度逼近特8在Ω=Ωc附近，隨Ω加大，幅度迅速下降，幅度特性與Ω和N的關(guān)系如下圖所示：圖6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系

幅度下降的速度與階數(shù)N有關(guān)，N愈大，通帶愈平坦，過(guò)渡帶愈窄，過(guò)渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快，總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。*在Ω=Ωc附近，隨Ω加大，幅度迅速下降，幅度特性與Ω和N的關(guān)9

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：

(6.2.8)

此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：(6.2.9)k=0,1,2,3，······，2N-1。當(dāng)N=3時(shí)：*將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：(6.10圖6.2.4三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布極點(diǎn)在s平面呈象限對(duì)稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn)

極點(diǎn)間的角度間隔為∏/Nrad*圖6.2.4三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布極點(diǎn)在s平11為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為(6.2.10)*為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)12取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：

eg：設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為*取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：eg13

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

Gɑ(s/Ωc)

令λ=Ω/Ωc，p=s/Ωc=jΩ/Ωc,λ稱為歸一化頻率；p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(6.2.11)(6.2.12)G*由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸14

式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：

(6.2.13)顯然，

Sk=Ωcpk(6.2.14)

這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，再求出N個(gè)極點(diǎn)Pk，按照(6.2.12)得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p),若給定Ωc,再去歸一化，即將p=s/Ωc代入Gs(p)中(或求出Sk),便得到期望設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。*式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：(6.2.1315將極點(diǎn)表達(dá)式（6.2.13）代入（6.2.12）式，得到Ga(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式，如下：歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)bk，K=0,1,2,······,N-1，以及極點(diǎn)Pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中還給出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)N，查表就可以得到Ga(p)及各極點(diǎn)，而且還可以選擇級(jí)聯(lián)型和直連型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解的運(yùn)算工作。(6.2.15)*將極點(diǎn)表達(dá)式（6.2.13）代入（6.2.12）式，得到Ga16表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)*表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)*17**18**19

將Ω=Ωs代入(6.2.7)式中，再將|Ha(jΩs)|2代入(6.2.3)式中，得到：(6.2.16)(6.2.17)由(6.2.9)和(6.2.10)可知，只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc，就可求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，故，巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc的過(guò)程。下面先介紹階數(shù)N的確定方法。階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過(guò)渡帶，阻帶的幅度下降速度,它由技術(shù)指標(biāo)Ωp，αp，Ωs和αs確定。將Ω=Ωp代入幅度平方函數(shù)(6.2.7)中,再將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩs)|2代入(6.2.2)中，得到：*將Ω=Ωs代入(6.2.7)式中，再將|Ha(jΩs20由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：令則N由下式表示：(6.2.18c)(6.2.18a)(6.2.18b)*由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：令則N由21

用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒(méi)有給出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出，由(6.2.16)式得到：

由(6.2.17)式得到：(6.2.19)(6.2.20)通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余*用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)22

總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs,用

(6.2.18)式求出濾波器的階數(shù)N。(2)按照(6.2.13)式,求出歸一化極點(diǎn)

pk,將

pk代入(6.2.12)式,得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。(3)將Ga(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ga(p),

得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s):

Ha(s)=

Ga(p)|

p=s/Ωc*總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：*23

例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。

解(1)確定階數(shù)N。

III.關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)的例題*例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰24

(2)按照(6.2.13)式，其極點(diǎn)pK為按照(6.2.12)式，歸一化傳輸函數(shù)為*(2)按照(6.2.13)式，其極點(diǎn)pK為按照(6.225

上式分母可以展開(kāi)成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解形式。

G極點(diǎn)：-0.3090±j0.9511;-0.8090±j0.5878;-1.0000五階多項(xiàng)式這里不如直接查表6.2.1簡(jiǎn)單，由N=5，直接查表得到：式中：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361*上式分母可以展開(kāi)成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，26(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。按照(6.2.19)式，得到：

將Ωc代入(6.2.20)式，得到：

將p=s/Ωc代入Ga(p)中得到：G*(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。27THANKYOU!*THANKYOU!*286.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

——巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)第一小組成員：付曉瑋危靜張文林趙朝陽(yáng)張建中楊浩澎*6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

——巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)第一小29本節(jié)內(nèi)容：1.模擬濾波器的設(shè)計(jì)總述；2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)原理；3.關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)的例題；*本節(jié)內(nèi)容：1.模擬濾波器的設(shè)計(jì)總述；*30

I.模擬濾波器的設(shè)計(jì)總述

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。*

I.模擬濾波器的設(shè)計(jì)總述

模擬濾波器的理論和31

典型濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器:具有單

調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動(dòng)，可提高選擇性；貝塞爾（Bessel）濾波器：通帶內(nèi)有較好的線性相位；橢圓（Ellipse）濾波器：選擇性最好，但相位特性的非線性嚴(yán)重。*典型濾波器*32選頻型模擬濾波器按頻率特性可分為低通，高通，帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅頻特性如圖所示：

圖6.2.1各種理想濾波器的幅頻特性

*選頻型模擬濾波器按頻率特性可分為低通，高通，帶通和帶阻濾波器33模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)

圖6.1.1典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標(biāo)描述*模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)

圖6.1.1典型模擬低通濾波器幅34濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的技術(shù)指標(biāo)，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此(6.2.6)*濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希35

Butterworth低通濾波器具有通帶最平幅度逼近特性，是一全極點(diǎn)型濾波器，且極點(diǎn)均勻分布上Ωc的圓上,并且與虛軸對(duì)稱。其最主要特點(diǎn)：在通帶內(nèi)，幅頻最平坦，隨著頻率的升高而單調(diào)下降。其幅度平方函數(shù)為

II.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)原理(6.2.7)

*Butterworth低通濾波器具有通帶最平幅度逼近特36在Ω=Ωc附近，隨Ω加大，幅度迅速下降，幅度特性與Ω和N的關(guān)系如下圖所示：圖6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系

幅度下降的速度與階數(shù)N有關(guān)，N愈大，通帶愈平坦，過(guò)渡帶愈窄，過(guò)渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快，總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。*在Ω=Ωc附近，隨Ω加大，幅度迅速下降，幅度特性與Ω和N的關(guān)37

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：

(6.2.8)

此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：(6.2.9)k=0,1,2,3，······，2N-1。當(dāng)N=3時(shí)：*將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：(6.38圖6.2.4三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布極點(diǎn)在s平面呈象限對(duì)稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn)

極點(diǎn)間的角度間隔為∏/Nrad*圖6.2.4三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布極點(diǎn)在s平39為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為(6.2.10)*為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)40取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：

eg：設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為*取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：eg41

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

Gɑ(s/Ωc)

令λ=Ω/Ωc，p=s/Ωc=jΩ/Ωc,λ稱為歸一化頻率；p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(6.2.11)(6.2.12)G*由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸42

式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：

(6.2.13)顯然，

Sk=Ωcpk(6.2.14)

這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，再求出N個(gè)極點(diǎn)Pk，按照(6.2.12)得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p),若給定Ωc,再去歸一化，即將p=s/Ωc代入Gs(p)中(或求出Sk),便得到期望設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。*式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：(6.2.1343將極點(diǎn)表達(dá)式（6.2.13）代入（6.2.12）式，得到Ga(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式，如下：歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)bk，K=0,1,2,······,N-1，以及極點(diǎn)Pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中還給出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)N，查表就可以得到Ga(p)及各極點(diǎn)，而且還可以選擇級(jí)聯(lián)型和直連型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解的運(yùn)算工作。(6.2.15)*將極點(diǎn)表達(dá)式（6.2.13）代入（6.2.12）式，得到Ga44表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)*表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)*45**46**47

將Ω=Ωs代入(6.2.7)式中，再將|Ha(jΩs)|2代入(6.2.3)式中，得到：(6.2.16)(6.2.17)由(6.2.9)和(6.2.10)可知，只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc，就可求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，故，巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc的過(guò)程。下面先介紹階數(shù)N的確定方法。階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過(guò)渡帶，阻帶的幅度下降速度,它由技術(shù)指標(biāo)Ωp，αp，Ωs和αs確定。將Ω=Ωp代入幅度平方函數(shù)(6.2.7)中,再將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩs)|2代入(6.2.2)中，得到：*將Ω=Ωs代入(6.2.7)式中，再將|Ha(jΩs48由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：令則N由下式表示：(6.2.18c)(6.2.18a)(6.2.18b)*由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：令則N由49

用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒(méi)有給出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出，由(6.2.16)式得到：

由(6.2.17)式得到：(6.2.19)(6.2.20)通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余*用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)50

總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs,用

(6.2.18)式求出濾波器的階數(shù)N。(2)按照(6.2.13)式,求出歸一化極點(diǎn)

pk,將