第六章-投影變換-畫法幾何與機械制圖-教案課件

畫法幾何學(xué)(第六版)電子教案第六章

投影變換第一節(jié)概述第二節(jié)換面法第三節(jié)*旋轉(zhuǎn)法—繞投影面垂直軸旋轉(zhuǎn)第四節(jié)*旋轉(zhuǎn)法—繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)第五節(jié)綜合性問題解法舉例退出畫法幾何學(xué)(第六版)電子教案第六章

投影變換第一節(jié)第二節(jié)第三1使幾何元素在投影體系中處于特殊位置，直接利用平行性的投影特性獲得實長、

獲得實形、實角、

利用積聚性投影特性獲得實角；

獲得兩幾何元素的交集?！?-1概述下一節(jié)返回投影變換是研究如何通過改變空間幾何元素與投影面的相對位置或改變投射方向達到簡化解題的目的。常見的投影變換方法有換面法和旋轉(zhuǎn)法。退出使幾何元素在投影體系中處于特殊位置，直接利用平行性的投影2利用平行性獲得實長特殊位置一般位置實長返回利用平行性獲得實長特殊位置一般位置實長返3利用平行性獲得實形實形特殊位置一般位置返回實角利用平行性獲得實形實形特殊位置一般位置返實角4利用平行性獲得實角實角特殊位置一般位置返回利用平行性獲得實角實角特殊位置一般位置返5利用積聚性投影特性獲得兩幾何元素的交集特殊位置一般位置返回利用積聚性投影特性獲得兩幾何元素的交集特殊位置一般位置返6一、換面法的基本概念二、點的投影變換規(guī)律2、點的兩次變換3、四個基本問題(1)把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€1、點的一次變換§6-2換面法(2)把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€(3)把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?4)把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻纥c在V1/H

體系中的投影點在V/H1體系中的投影上一節(jié)下一節(jié)返回退出一、換面法的基本概念二、點的投影變換規(guī)律2、點的兩次變換3、71.新投影面必須與空間幾何元素處于有利于解題的位置換面法的基本概念2.新投影面必須垂直于一個不變的投影面選擇新投影面的原則：平行X1軸//abc實形平行投影圖動畫中途返回請按“ESC”鍵1.新投影面必須與空間幾何元素處于有利于解題的位置換面法的基8點的一次變換點在V1/H

體系中的投影不變投影新投影舊投影.舊投影面新投影面不變投影面動畫中途返回請按“ESC”鍵點的一次變換點在V1/H體系中的投影不變投影新投影舊投影.9點的一次變換點在V/H1體系中的投影舊投影不變投影新投影..動畫中途返回請按“ESC”鍵點的一次變換點在V/H1體系中的投影舊投影不變投影新投影..10點的二次變換..動畫中途返回請按“ESC”鍵點的二次變換..動畫中途返回請按“ESC”鍵11把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€更換水平投影面動畫中途返回請按“ESC”鍵把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€更換水平投影面動畫中途返回請12把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€一次變換可將投影面平行線變換為投影面垂直線.動畫中途返回請按“ESC”鍵把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€一次變換可將投影面平行線變換為投13把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵嬲骄€垂直動畫中途返回請按“ESC”鍵把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵嬲骄€垂直動畫中途返回請按“14把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嬉淮巫儞Q可將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嬷型痉祷卣埌础癊SC”鍵把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嬉淮巫儞Q可將投影面垂直面變?yōu)橥?5工程實際抽象出來的幾何問題，如距離、角度的度量；點、線、面的定位等，并不是單純的平行、相交、垂直問題，而多是較復(fù)雜的綜合問題，其突出特點是要受若干條件的限制，求解時往往要同時滿足幾個條件。解決此類問題的方法通常是：分析、確定解題方案及投影圖上實

現(xiàn)。分析時，首先根據(jù)給出已知條件和求解要求，想出已知空間幾何模型，然后進行空間思維，想象出最終結(jié)果的空間幾何模型，最后確定從已知幾何模型到最終結(jié)果幾何模型的空間解題步驟。

如果最終結(jié)果的幾何模型難以直接確定，則常采用“軌跡法”，即逐個滿足限制條件，找出滿足每一個條件的無數(shù)解答的集合（通常稱之為滿足該條件的軌跡），多個條件則形成多個軌跡，這些軌跡的交集即為所求，再弄清該集合是什么形狀，在投影圖上如何實現(xiàn)。§6-5綜合性問題解法舉例綜合性問題解法舉例（一）距離和角度的度量綜合性問題解法舉例（二）解題中的常見軌跡上一節(jié)返回退出下一頁工程實際抽象出來的幾何問題，如距離、角度的度量；點、16解題中的常見軌跡1.過定點與定直線相交的直線的軌跡——2.與定平面平行（等距）的直線的軌跡——3.與兩相交直線或兩相交平面等距的點的軌跡——4.與定直線等距的點的軌跡——5.與定直線平行，且距離為定長的直線的軌跡——6.與定直線距離為定長的直線的軌跡——7.過直線上一點與該直線保持固定夾角的直線軌跡——9.與定點等距的點的軌跡——另外。題目中若出現(xiàn)正方形、矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形等邊三角形、到兩點等距等，它們的軌跡通常為一直線的垂面。

因為這些幾何圖形都具有垂直要素，例如：菱形的對角線

垂直平分；等腰三角形底邊上的高垂直平分于底邊等。解題時，可利用這些圖形的幾何性質(zhì)。平面。圓柱面。其平行面。其角平分面。圓柱面。一圓柱面的切平面。圓錐面。圓球面。8.過一點與定平面保持固定夾角的直線軌跡——圓錐面。中途返回請按“ESC”鍵解題中的常見軌跡1.過定點與定直線相交的直線的軌跡——2.與17過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線CD

相交綜合性問題解法舉例（一）解題方案一(空間分析)：在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題解題方案二（空間分析）：在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題試過定點A作直線與已知直線EF正交在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題矩形ABCD

的頂點B

在直線MC

上，畫出它的V、H

面投影過線段AB

作一平面垂直于平面△DEF例5例4例6例7退出過點K作直線與平面△CDE平行，并與直線CD相交綜合性18例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交解題步驟：空間分析3.連KS

即為所求1.過點K

作平面KFG

平行于△CDE2.求直線AB

與平面KFG

的交點S——在V/H

投影體系中直接解題：解題方案一中途返回請按“ESC”鍵例4過點K作直線與平面△CDE平行，并與直線AB相交19例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交.解題步驟：5.連k1’s1’3.過k1’作平面Q

平行于c1’d1’e1’4.求a1’b1’與平面Q

的交點s1’——應(yīng)用換面法在H/V1體系中解題：2.直線AB、點K隨之變換6.將k1’s1’返回原體系1.將△CDE

變換為新投影面的垂直面解題方案一中途返回請按“ESC”鍵例4過點K作直線與平面△CDE平行，并與直線AB相交20例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交——在V/H

投影體系中直接解題：解題方案二空間分析解題步驟：1.作△KAB

2.求△KAB

與△DEF

的交線MN3.過點K

作直線MN的平行線KS

中途返回請按“ESC”鍵例4過點K作直線與平面△CDE平行，并與直線AB相交21例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交解題方案二——應(yīng)用換面法在V/H1體系中解題：解題步驟：1.作△KAB

2.換面法求△KAB與△DEF

的交線MN3.過點K

作直線MN

的平行線KS

中途返回請按“ESC”鍵例4過點K作直線與平面△CDE平行，并與直線AB相交解22例5試過定點A

作直線與已知直線EF

正交解題步驟：3.連KA

即為所求1.過點A

作直線EF

的垂面2.求直線EF與所作垂面AIII

的交點K

..空間分析——在V/H

投影體系中直接解題：中途返回請按“ESC”鍵例5試過定點A作直線與已知直線EF正交解題步驟：3.連23例5試過定點A

作直線與已知直線EF

正交解題步驟：3.過a1’作e1’f1’的垂線,得k1’2.點A

隨之變換

4.將k1’a1’返回原體系1.將直線EF

變換為新投影面的平行線——應(yīng)用換面法在H/V1體系中解題：中途返回請按“ESC”鍵例5試過定點A作直線與已知直線EF正交解題步驟：3.過24例6矩形ABCD

的頂點B

在直線MC

上，畫出它的V、H

面投影解題步驟：3.過a1’作m1’c1’的垂線(面),得b1’2.點A

隨之變換

4.將a1’b1’返回原體系1.將直線MC

變換為新投影面的平行線5.依對邊平行作

出另兩條邊

空間分析：中途返回請按“ESC”鍵例6矩形ABCD的頂點B在直線MC上，畫出它的V、H25例7過線段AB

作一平面垂直于平面DEF平行解題步驟：5.將b1’c1’返回原體系4.求作bc(//X1軸)2.直線AB

隨之變換1.將△DEF

變換為新投影面的垂直面3.過a1’b1’上任一點作d1’e1’f1’的垂線得c1’空間分析中途返回請按“ESC”鍵例7過線段AB作一平面垂直于平面DEF平行解題步驟：5.26距離的度量1.點到點之間的距離2.點到直線之間的距離4.兩交叉直線之間的距離5.點到平面之間的距離6.直線到平面之間的距離3.兩平行直線之間的距離角度的度量1.兩相交直線之間的夾角2.直線與平面間的夾角3.兩平面間的夾角7.平面到平面之間的距離退出距離的度量1.點到點之間的距離2.點到直線之間的距離4.兩交271、點到點之間的距離中途返回請按“ESC”鍵1、點到點之間的距離中途返回請按“ESC”鍵282、點到直線之間的距離中途返回請按“ESC”鍵2、點到直線之間的距離中途返回請按“ESC”鍵293、兩平行直線之間的距離中途返回請按“ESC”鍵求兩平行直線AB

和CD

之間的距離在V/H

投影體系中直接解題例8應(yīng)用換面法在H/V1體系或V1/H2體系中解題應(yīng)用換面法在V1/H2體系中解題3、兩平行直線之間的距離中途返回請按“ESC”鍵求兩平行直線30例8求兩平行直線AB

和CD

之間的距離實長——在V/H

投影體系中直接解題：解題步驟：4.求作EF

的實長2.求直線CD

與所作垂面的交點F

3.連e’f’、ef即為所求距離的投影1.過一條直線AB

上任一點E

作另一條直線CD

的垂面中途返回請按“ESC”鍵例8求兩平行直線AB和CD之間的距離實長——在V/H31例8求兩平行直線AB

和CD

之間的距離.⊿Z——應(yīng)用換面法在H/V1體系中解題：——應(yīng)用換面法在V1/H2體系中解題：解題步驟：3.求作EF

的實長2.求兩直線的公垂線EF

1.將兩已知平行直線變換為投影面平行線解題步驟：2.e2f2即反映EF

的實長實長實長1.接上一步，將兩已知平行直線變換為投影面垂直線中途返回請按“ESC”鍵例8求兩平行直線AB和CD之間的距離.⊿Z——應(yīng)用換32例8求兩平行直線AB

和CD

之間的距離實長——應(yīng)用換面法在V1/H2體系中解題：解題步驟：2.求作EF

的實長1.將兩已知平行直線構(gòu)成的平面經(jīng)兩次變換，變成投影面平行面中途返回請按“ESC”鍵例8求兩平行直線AB和CD之間的距離實長——應(yīng)用換面334、兩交叉直線之間的距離在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置例9中途返回請按“ESC”鍵距離4、兩交叉直線之間的距離在V/H投影體系中直接解題應(yīng)用換面34空間分析：解題思路：3.過垂足N作直線EF平行于直線AB,交直線CD于點S

2.過直線AB上任一點M作平面P的垂線，求出垂足N

例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置1.含直線CD作平面P平行于AB4.過點S作直線ST平行于直線MN,ST即為所求

中途返回請按“ESC”鍵空間分析：解題思路：3.過垂足N作直線EF平行于直線AB,交35例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置解題步驟：空間分析——在V/H

投影體系中直接解題：直線AB,交CD

于點S

3.過垂足N

作直線EF

平行于面CDG

的垂線,N

為垂足2.過直線AB

上任一點M

作平1.過直線CD上任一點C

作直線CG

平行于AB,連DG交直線AB

于點T,ST即為4.過點S

作直線MN

的平行線,所求

中途返回請按“ESC”鍵例9求兩交叉直線AB和CD的距離，并定出它們的公垂線的36空間分析：解題思路：2.在新投影面H2上直接求作距離的投影即反映實長例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置1.將兩直線之一變換為投影面垂直線

中途返回請按“ESC”鍵空間分析：解題思路：2.在新投影面H2上直接求作距離的投影即37例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置解題步驟：3.將s2t2返回原體系ST

的投影s2t22.在投影面H2中作公垂線空間分析——應(yīng)用換面法解題：1.將兩已知直線之一CD

變換為投影面垂直線,直線

AB隨之變換

中途返回請按“ESC”鍵距離實長例9求兩交叉直線AB和CD的距離，并定出它們的公垂線的385、點到平面之間的距離平行四邊形ABCD

給定一平面，試求點S

至該平面的距離例10中途返回請按“ESC”鍵5、點到平面之間的距離平行四邊形ABCD給定一平面，試求點39例10平行四邊形ABCD

給定一平面，試求點S

至該平面的距離.解題步驟：3.過S

作ABCD的垂線,s1’k1’即為所求2.點S

隨之變換

1.將平面ABCD

變換為新投影面的垂直面空間分析：距離中途返回請按“ESC”鍵距離實長例10平行四邊形ABCD給定一平面，試求點S至該平面的406、直線到平行平面過直線上任一點作平面的垂線..中途返回請按“ESC”鍵6、直線到平行平面過直線上任一點作平面的垂線..中途返回請按41兩相交直線之間的夾角實形實角中途返回請按“ESC”鍵兩相交直線之間的夾角實形實角中途返回請按“ESC”鍵42直線與平面間的夾角求直線HG

與平面的夾角，平面由四邊形ABCD

給定求直線AB

與平面DEF

之間的夾角θ例11例12中途返回請按“ESC”鍵直線與平面間的夾角求直線HG與平面的夾角，平面由四邊形AB43解題思路：例11求直線HG

與平面的夾角，平面由四邊形ABCD

給定1.過點H

作平面ABCD

的垂線

2.作直線EF，求出HEF

的實形，得3.求

的余角

中途返回請按“ESC”鍵解題思路：例11求直線HG與平面的夾角，平面由四邊形AB44例11求直線HG

與平面的夾角，平面由四邊形ABCD

給定垂直垂直空間分析中途返回請按“ESC”鍵即為所求例11求直線HG與平面的夾角，平面由四邊形ABCD給定45解題思路：例12求直線AB與平面DEF之間的夾角θ經(jīng)3次變換投影面，在V3投影面中求作角中途返回請按“ESC”鍵解題思路：例12求直線AB與平面DEF之間的夾角θ經(jīng)346例12求直線AB

與平面DEF

之間的夾角θ空間分析中途返回請按“ESC”鍵例12求直線AB與平面DEF之間的夾角θ空間分析中途返47兩平面間的夾角求△ABC

與△ABD

之間的夾角例13中途返回請按“ESC”鍵實角兩平面間的夾角求△ABC與△ABD之間的夾角例13中途返48解題思路：例13求兩平面之間的夾角將兩平面的交線變換為新投影面垂直線，則反映角實形中途返回請按“ESC”鍵解題思路：例13求兩平面之間的夾角將兩平面的交線變換為49例13求△ABC

與△ABD

之間的夾角空間分析解題步驟：2.兩平面

隨之變換

1.將交線AB

變換為新投影面的垂直線3.角即為所求中途返回請按“ESC”鍵例13求△ABC與△ABD之間的夾角空間分析解題步驟：50在直線AB

上求一點K,距點C

為20mm綜合性問題解法舉例（二）符合求解條件的“軌跡”為圓球面過點A

作直線，令它與H

面夾角為45度，

并垂直于線段BC找出與點A

距離為L，與直線CD

距離為L1

的

所有點的集合符合求解條件的“軌跡”為圓錐面符合求解條件的“軌跡”為圓球面和圓柱面例14例15例16退出在直線AB上求一點K,距點C為20mm綜合性問題解法舉51例14在直線AB

上求一點K,距點C

為20mm20

解題步驟：將直線AB

變換為投影面平行線1.求距點C

距離為20的所有點的軌跡—R=20的圓球面2.求直線AB

與圓球面的貫穿點圓球面隨之變換

求作貫穿點K中途返回請按“ESC”鍵例14在直線AB上求一點K,距點C為20mm20解52例15

過點A

作直線，令它與H

面夾角為45度，并垂直于線段BC解題步驟：3.圓錐面隨之變換2.將直線AB

變換為投影面平行線1.求過點A

與H

面角度為45度的所有直線的軌跡—圓錐面4.過點A

作垂直于線段BC

的所有直線軌跡—平面P5.求平面P

與圓錐面的截交線45

中途返回請按“ESC”鍵例15過點A作直線，令它與H面夾角為45度，并垂直于線53例16找出與點A

距離為L，與直線CD

距離為L1

的所有點的集合LL1解題步驟：3.求圓球面與圓柱面的相貫線1.求距點A

距離為L

的所有點的軌跡—R=L的圓球面2.求距直線CD

距離為L1的所有直線的軌跡—R=L1的圓柱面中途返回請按“ESC”鍵例16找出與點A距離為L，與直線CD距離為L1的所有54本章結(jié)束返回退出上一頁本章結(jié)束返退出上一頁55投影圖：ABC實形.中途返回請按“ESC”鍵投影圖：ABC實形.中途返回請按“ESC”鍵56更換水平投影面中途返回請按“ESC”鍵更換水平投影面中途返回請按“ESC”鍵57換面法的基本概念退出換面法的基本概念退58點的一次變換V1/H退出點的一次變換V1/H退59點的一次變換V/H1退出點的一次變換V/H1退60點的二次變換退出點的二次變換退61把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€退出把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€退62把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€退出把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€退63把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵嫱顺霭岩话阄恢闷矫孀優(yōu)橥队懊娲怪泵嫱?4把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€退出把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€退657、兩平行平面之間的距離過一平面上任一點作另一平面的垂線中途返回請按“ESC”鍵7、兩平行平面之間的距離過一平面上任一點作另一平面的垂線中途66一次變換可將投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€..垂直動畫中途返回請按“ESC”鍵一次變換可將投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€..垂直動畫中途返67050568畫法幾何學(xué)(第六版)電子教案第六章

投影變換第一節(jié)概述第二節(jié)換面法第三節(jié)*旋轉(zhuǎn)法—繞投影面垂直軸旋轉(zhuǎn)第四節(jié)*旋轉(zhuǎn)法—繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)第五節(jié)綜合性問題解法舉例退出畫法幾何學(xué)(第六版)電子教案第六章

投影變換第一節(jié)第二節(jié)第三69使幾何元素在投影體系中處于特殊位置，直接利用平行性的投影特性獲得實長、

獲得實形、實角、

利用積聚性投影特性獲得實角；

獲得兩幾何元素的交集?！?-1概述下一節(jié)返回投影變換是研究如何通過改變空間幾何元素與投影面的相對位置或改變投射方向達到簡化解題的目的。常見的投影變換方法有換面法和旋轉(zhuǎn)法。退出使幾何元素在投影體系中處于特殊位置，直接利用平行性的投影70利用平行性獲得實長特殊位置一般位置實長返回利用平行性獲得實長特殊位置一般位置實長返71利用平行性獲得實形實形特殊位置一般位置返回實角利用平行性獲得實形實形特殊位置一般位置返實角72利用平行性獲得實角實角特殊位置一般位置返回利用平行性獲得實角實角特殊位置一般位置返73利用積聚性投影特性獲得兩幾何元素的交集特殊位置一般位置返回利用積聚性投影特性獲得兩幾何元素的交集特殊位置一般位置返74一、換面法的基本概念二、點的投影變換規(guī)律2、點的兩次變換3、四個基本問題(1)把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€1、點的一次變換§6-2換面法(2)把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€(3)把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?4)把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻纥c在V1/H

體系中的投影點在V/H1體系中的投影上一節(jié)下一節(jié)返回退出一、換面法的基本概念二、點的投影變換規(guī)律2、點的兩次變換3、751.新投影面必須與空間幾何元素處于有利于解題的位置換面法的基本概念2.新投影面必須垂直于一個不變的投影面選擇新投影面的原則：平行X1軸//abc實形平行投影圖動畫中途返回請按“ESC”鍵1.新投影面必須與空間幾何元素處于有利于解題的位置換面法的基76點的一次變換點在V1/H

體系中的投影不變投影新投影舊投影.舊投影面新投影面不變投影面動畫中途返回請按“ESC”鍵點的一次變換點在V1/H體系中的投影不變投影新投影舊投影.77點的一次變換點在V/H1體系中的投影舊投影不變投影新投影..動畫中途返回請按“ESC”鍵點的一次變換點在V/H1體系中的投影舊投影不變投影新投影..78點的二次變換..動畫中途返回請按“ESC”鍵點的二次變換..動畫中途返回請按“ESC”鍵79把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€更換水平投影面動畫中途返回請按“ESC”鍵把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€更換水平投影面動畫中途返回請80把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€一次變換可將投影面平行線變換為投影面垂直線.動畫中途返回請按“ESC”鍵把一般位置線變?yōu)橥队懊娲怪本€一次變換可將投影面平行線變換為投81把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵嬲骄€垂直動畫中途返回請按“ESC”鍵把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵嬲骄€垂直動畫中途返回請按“82把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嬉淮巫儞Q可將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嬷型痉祷卣埌础癊SC”鍵把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嬉淮巫儞Q可將投影面垂直面變?yōu)橥?3工程實際抽象出來的幾何問題，如距離、角度的度量；點、線、面的定位等，并不是單純的平行、相交、垂直問題，而多是較復(fù)雜的綜合問題，其突出特點是要受若干條件的限制，求解時往往要同時滿足幾個條件。解決此類問題的方法通常是：分析、確定解題方案及投影圖上實

現(xiàn)。分析時，首先根據(jù)給出已知條件和求解要求，想出已知空間幾何模型，然后進行空間思維，想象出最終結(jié)果的空間幾何模型，最后確定從已知幾何模型到最終結(jié)果幾何模型的空間解題步驟。

如果最終結(jié)果的幾何模型難以直接確定，則常采用“軌跡法”，即逐個滿足限制條件，找出滿足每一個條件的無數(shù)解答的集合（通常稱之為滿足該條件的軌跡），多個條件則形成多個軌跡，這些軌跡的交集即為所求，再弄清該集合是什么形狀，在投影圖上如何實現(xiàn)?！?-5綜合性問題解法舉例綜合性問題解法舉例（一）距離和角度的度量綜合性問題解法舉例（二）解題中的常見軌跡上一節(jié)返回退出下一頁工程實際抽象出來的幾何問題，如距離、角度的度量；點、84解題中的常見軌跡1.過定點與定直線相交的直線的軌跡——2.與定平面平行（等距）的直線的軌跡——3.與兩相交直線或兩相交平面等距的點的軌跡——4.與定直線等距的點的軌跡——5.與定直線平行，且距離為定長的直線的軌跡——6.與定直線距離為定長的直線的軌跡——7.過直線上一點與該直線保持固定夾角的直線軌跡——9.與定點等距的點的軌跡——另外。題目中若出現(xiàn)正方形、矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形等邊三角形、到兩點等距等，它們的軌跡通常為一直線的垂面。

因為這些幾何圖形都具有垂直要素，例如：菱形的對角線

垂直平分；等腰三角形底邊上的高垂直平分于底邊等。解題時，可利用這些圖形的幾何性質(zhì)。平面。圓柱面。其平行面。其角平分面。圓柱面。一圓柱面的切平面。圓錐面。圓球面。8.過一點與定平面保持固定夾角的直線軌跡——圓錐面。中途返回請按“ESC”鍵解題中的常見軌跡1.過定點與定直線相交的直線的軌跡——2.與85過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線CD

相交綜合性問題解法舉例（一）解題方案一(空間分析)：在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題解題方案二（空間分析）：在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題試過定點A作直線與已知直線EF正交在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題矩形ABCD

的頂點B

在直線MC

上，畫出它的V、H

面投影過線段AB

作一平面垂直于平面△DEF例5例4例6例7退出過點K作直線與平面△CDE平行，并與直線CD相交綜合性86例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交解題步驟：空間分析3.連KS

即為所求1.過點K

作平面KFG

平行于△CDE2.求直線AB

與平面KFG

的交點S——在V/H

投影體系中直接解題：解題方案一中途返回請按“ESC”鍵例4過點K作直線與平面△CDE平行，并與直線AB相交87例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交.解題步驟：5.連k1’s1’3.過k1’作平面Q

平行于c1’d1’e1’4.求a1’b1’與平面Q

的交點s1’——應(yīng)用換面法在H/V1體系中解題：2.直線AB、點K隨之變換6.將k1’s1’返回原體系1.將△CDE

變換為新投影面的垂直面解題方案一中途返回請按“ESC”鍵例4過點K作直線與平面△CDE平行，并與直線AB相交88例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交——在V/H

投影體系中直接解題：解題方案二空間分析解題步驟：1.作△KAB

2.求△KAB

與△DEF

的交線MN3.過點K

作直線MN的平行線KS

中途返回請按“ESC”鍵例4過點K作直線與平面△CDE平行，并與直線AB相交89例4過點K

作直線與平面△CDE

平行，并與直線AB

相交解題方案二——應(yīng)用換面法在V/H1體系中解題：解題步驟：1.作△KAB

2.換面法求△KAB與△DEF

的交線MN3.過點K

作直線MN

的平行線KS

中途返回請按“ESC”鍵例4過點K作直線與平面△CDE平行，并與直線AB相交解90例5試過定點A

作直線與已知直線EF

正交解題步驟：3.連KA

即為所求1.過點A

作直線EF

的垂面2.求直線EF與所作垂面AIII

的交點K

..空間分析——在V/H

投影體系中直接解題：中途返回請按“ESC”鍵例5試過定點A作直線與已知直線EF正交解題步驟：3.連91例5試過定點A

作直線與已知直線EF

正交解題步驟：3.過a1’作e1’f1’的垂線,得k1’2.點A

隨之變換

4.將k1’a1’返回原體系1.將直線EF

變換為新投影面的平行線——應(yīng)用換面法在H/V1體系中解題：中途返回請按“ESC”鍵例5試過定點A作直線與已知直線EF正交解題步驟：3.過92例6矩形ABCD

的頂點B

在直線MC

上，畫出它的V、H

面投影解題步驟：3.過a1’作m1’c1’的垂線(面),得b1’2.點A

隨之變換

4.將a1’b1’返回原體系1.將直線MC

變換為新投影面的平行線5.依對邊平行作

出另兩條邊

空間分析：中途返回請按“ESC”鍵例6矩形ABCD的頂點B在直線MC上，畫出它的V、H93例7過線段AB

作一平面垂直于平面DEF平行解題步驟：5.將b1’c1’返回原體系4.求作bc(//X1軸)2.直線AB

隨之變換1.將△DEF

變換為新投影面的垂直面3.過a1’b1’上任一點作d1’e1’f1’的垂線得c1’空間分析中途返回請按“ESC”鍵例7過線段AB作一平面垂直于平面DEF平行解題步驟：5.94距離的度量1.點到點之間的距離2.點到直線之間的距離4.兩交叉直線之間的距離5.點到平面之間的距離6.直線到平面之間的距離3.兩平行直線之間的距離角度的度量1.兩相交直線之間的夾角2.直線與平面間的夾角3.兩平面間的夾角7.平面到平面之間的距離退出距離的度量1.點到點之間的距離2.點到直線之間的距離4.兩交951、點到點之間的距離中途返回請按“ESC”鍵1、點到點之間的距離中途返回請按“ESC”鍵962、點到直線之間的距離中途返回請按“ESC”鍵2、點到直線之間的距離中途返回請按“ESC”鍵973、兩平行直線之間的距離中途返回請按“ESC”鍵求兩平行直線AB

和CD

之間的距離在V/H

投影體系中直接解題例8應(yīng)用換面法在H/V1體系或V1/H2體系中解題應(yīng)用換面法在V1/H2體系中解題3、兩平行直線之間的距離中途返回請按“ESC”鍵求兩平行直線98例8求兩平行直線AB

和CD

之間的距離實長——在V/H

投影體系中直接解題：解題步驟：4.求作EF

的實長2.求直線CD

與所作垂面的交點F

3.連e’f’、ef即為所求距離的投影1.過一條直線AB

上任一點E

作另一條直線CD

的垂面中途返回請按“ESC”鍵例8求兩平行直線AB和CD之間的距離實長——在V/H99例8求兩平行直線AB

和CD

之間的距離.⊿Z——應(yīng)用換面法在H/V1體系中解題：——應(yīng)用換面法在V1/H2體系中解題：解題步驟：3.求作EF

的實長2.求兩直線的公垂線EF

1.將兩已知平行直線變換為投影面平行線解題步驟：2.e2f2即反映EF

的實長實長實長1.接上一步，將兩已知平行直線變換為投影面垂直線中途返回請按“ESC”鍵例8求兩平行直線AB和CD之間的距離.⊿Z——應(yīng)用換100例8求兩平行直線AB

和CD

之間的距離實長——應(yīng)用換面法在V1/H2體系中解題：解題步驟：2.求作EF

的實長1.將兩已知平行直線構(gòu)成的平面經(jīng)兩次變換，變成投影面平行面中途返回請按“ESC”鍵例8求兩平行直線AB和CD之間的距離實長——應(yīng)用換面1014、兩交叉直線之間的距離在V/H

投影體系中直接解題應(yīng)用換面法解題求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置例9中途返回請按“ESC”鍵距離4、兩交叉直線之間的距離在V/H投影體系中直接解題應(yīng)用換面102空間分析：解題思路：3.過垂足N作直線EF平行于直線AB,交直線CD于點S

2.過直線AB上任一點M作平面P的垂線，求出垂足N

例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置1.含直線CD作平面P平行于AB4.過點S作直線ST平行于直線MN,ST即為所求

中途返回請按“ESC”鍵空間分析：解題思路：3.過垂足N作直線EF平行于直線AB,交103例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置解題步驟：空間分析——在V/H

投影體系中直接解題：直線AB,交CD

于點S

3.過垂足N

作直線EF

平行于面CDG

的垂線,N

為垂足2.過直線AB

上任一點M

作平1.過直線CD上任一點C

作直線CG

平行于AB,連DG交直線AB

于點T,ST即為4.過點S

作直線MN

的平行線,所求

中途返回請按“ESC”鍵例9求兩交叉直線AB和CD的距離，并定出它們的公垂線的104空間分析：解題思路：2.在新投影面H2上直接求作距離的投影即反映實長例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置1.將兩直線之一變換為投影面垂直線

中途返回請按“ESC”鍵空間分析：解題思路：2.在新投影面H2上直接求作距離的投影即105例9求兩交叉直線AB

和CD

的距離，并定出它們的公垂線的位置解題步驟：3.將s2t2返回原體系ST

的投影s2t22.在投影面H2中作公垂線空間分析——應(yīng)用換面法解題：1.將兩已知直線之一CD

變換為投影面垂直線,直線

AB隨之變換

中途返回請按“ESC”鍵距離實長例9求兩交叉直線AB和CD的距離，并定出它們的公垂線的1065、點到平面之間的距離平行四邊形ABCD

給定一平面，試求點S

至該平面的距離例10中途返回請按“ESC”鍵5、點到平面之間的距離平行四邊形ABCD給定一平面，試求點107例10平行四邊形ABCD

給定一平面，試求點S

至該平面的距離.解題步驟：3.過S

作ABCD的垂線,s1’k1’即為所求2.點S

隨之變換

1.將平面ABCD

變換為新投影面的垂直面空間分析：距離中途返回請按“ESC”鍵距離實長例10平行四邊形ABCD給定一平面，試求點S至該平面的1086、直線到平行平面過直線上任一點作平面的垂線..中途返回請按“ESC”鍵6、直線到平行平面過直線上任一點作平面的垂線..中途返回請按109兩相交直線之間的夾角實形實角中途返回請按“ESC”鍵兩相交直線之間的夾角實形實角中途返回請按“ESC”鍵110直線與平面間的夾角求直線HG

與平面的夾角，平面由四邊形ABCD

給定求直線AB

與平面DEF

之間的夾角θ例11例12中途返回請按“ESC”鍵直線與平面間的夾角求直線HG與平面的夾角，平面由四邊形AB111解題思路：例11求直線HG

與平面的夾角，平面由四邊形ABCD

給定1.過點H

作平面ABCD

的垂線

2.作直線EF，求出HEF

的實形，得3.求

的余角

中途返回請按“ESC”鍵解題思路：例11求直線HG與平面的夾角，平面由四邊形AB112例11求直線HG

與平面的夾角，平面由四邊形ABCD

給定垂直垂直空間分析中途返回請按“ESC”鍵即為所求例11求直線HG與平面的夾角，平面由四邊形ABCD給定113解題思路：例12求直線AB與平面DEF之間的夾角θ經(jīng)3次變換投影面，在V3投影面中求作角中途返回請按“ESC”鍵解題思路：例12求直線AB與平面DEF之