-平面力系的簡化課件

June,2008建筑力學(xué)ARCHITECTURALMECHANICS第4章平面力系的簡化與平衡方程June,2008建筑力學(xué)第4章平面任意力系：力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)，且任意分布。工程中的多數(shù)問題都簡化為平面任意力系問題來解決。本意內(nèi)容在工程實(shí)踐中應(yīng)用廣泛。（1）當(dāng)物體所受的力對(duì)稱于某一平面時(shí)，可以簡化為平面任意力系來處理。（2）有些結(jié)構(gòu)所受的力系本不是平面任意力系，但可以簡化為平面任意力系來處理。如屋架，在忽略它與其他屋架之間的聯(lián)系之后，單獨(dú)分離出來，可視為平面結(jié)構(gòu)。第4章平面力系的簡化與平衡方程平面任意力系：力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)，且任意分布。屋架：忽略它與其他屋架之間的聯(lián)系之后，單獨(dú)分離出來，可視為平面結(jié)構(gòu)。屋架：忽略它與其他屋架之間的聯(lián)系之后，單獨(dú)分離出來，可視為平力系向任意一點(diǎn)O的簡化應(yīng)用力的等效平移定理，將平面一般力系中的各個(gè)力（以三個(gè)力為例）全部平行移到作用面內(nèi)某一給定點(diǎn)O

。從而這力系被分解為一個(gè)平面匯交力系和一個(gè)平面力偶系。這種等效變換的方法稱為力系向給定點(diǎn)O的簡化。點(diǎn)O稱為簡化中心。

A3OA2A1F1F3F2M1OM2M3==MoOF’R第4章平面力系的簡化與平衡方程§4-1平面任意力系向一點(diǎn)的簡化主矢和主矩力系向任意一點(diǎn)O的簡化應(yīng)用力的等效平移定理匯交力系F1、F2、F3的合成結(jié)果為一作用在點(diǎn)O的力FR

。這個(gè)力矢FR’稱為原平面任意力系的主矢。FR=F1+F2+F3=ΣFi

附加力偶系的合成結(jié)果是一個(gè)作用在同一平面內(nèi)的力偶

Mo，稱為原平面任意力系對(duì)簡化中心O

的主矩。Mo=Mo(F1)+Mo(F2)+Mo(F3)=ΣMo(Fi)因此，平面任意力系向任意一點(diǎn)的簡化結(jié)果為一個(gè)主矢FR

和一個(gè)主矩M，這個(gè)結(jié)果稱為平面任意力系的一般簡化結(jié)果。第4章平面力系的簡化與平衡方程一般情形，平面任意力系向作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O簡化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶。此力等于該力系的主矢（力系中各力的矢量和），作用線通過簡化中心O

。此力偶的矩等于該力系對(duì)于點(diǎn)O的主矩（力系中各力對(duì)簡化中心的矩的代數(shù)和）。匯交力系F1、F2、F3的合成結(jié)果為一作幾點(diǎn)說明：

1、一般情況下，平面任意力系等效于一力和一力偶。

主矢一般不與原力系等效，不是原力系的合力；附加力偶系的合力偶M，一般不與原力系等效，不是原力系的合力偶。2、平面任意力系的主矢大小和方向與簡化中心位置無關(guān)。

主矢等于各力的矢量和，由力系中各力矢量和確定，故與主矢簡化中心的選擇無關(guān)。對(duì)于給定的力系，選取不同的簡化中心，所得主矢相同。2、平面任意力系的主矩大小和轉(zhuǎn)向與簡化中心O位置有關(guān)。

主矩等于各力對(duì)簡化中心的矩的代數(shù)和，選取不同的點(diǎn)作為簡化中心，各力的力臂將有改變，各力對(duì)簡化中心的矩也有改變，所以，一般情況下，主矩與簡化中心的選擇位置有關(guān)。對(duì)于給定的力系，選取不同的簡化中心，所得主矩一般不同。

因此，在說到力系的主矩時(shí)，一定要指明是力系對(duì)于哪一點(diǎn)的主矩。第4章平面力系的簡化與平衡方程幾點(diǎn)說明：第4章平面力系的簡化與平衡方程第4章平面力系的簡化與平衡方程力系的主矢可以用解析的方法求得。力系的主矩可以直接用力系中各力對(duì)簡化中心O之矩的代數(shù)和求出；第4章平面力系的簡化與平衡方程力系的主矢可以用解析的方主矢的解析計(jì)算：主矢，主矢方向角的正切可按力多邊形規(guī)則作圖求得或用解析法計(jì)算。第4章平面力系的簡化與平衡方程式中Fxi，F(xiàn)yi是力Fi在x軸和y軸上的投影。α,β分別代表主矢F’R與x和y軸正向的夾角。教材符號(hào)訂正：公式(4-3，5)F‘R撇號(hào)主矢的解析計(jì)算：主矢，主矢方向角的正切可按力多邊形規(guī)則作圖求主矩Mo計(jì)算：主矩的解析計(jì)算：第4章平面力系的簡化與平衡方程其中xi，yi為力Fi作用點(diǎn)的坐標(biāo)。OA(xi,yi)yFiFxiFyix主矩Mo計(jì)算：主矩的解析計(jì)算：第4章平面力系的簡化與例4.1在邊長為a＝1m的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，作用有F1、F2、F3、F4等四個(gè)力。已知F1＝40N，F(xiàn)2＝60N，F(xiàn)3＝60N，F(xiàn)4＝80N。試求該力系向點(diǎn)A簡化的結(jié)果。第4章平面力系的簡化與平衡方程解：選坐標(biāo)系。求力系主矢F’R。例4.1在邊長為a＝1m的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，作用有F第4章平面力系的簡化與平衡方程α,β為主矢與x和y軸正向夾角。可以用α＋β＝90進(jìn)行校核。力系相對(duì)于簡化中心A的主矩計(jì)算如下，負(fù)號(hào)表明力偶為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。第4章平面力系的簡化與平衡方程α,β為主矢與x和y軸正第4章平面力系的簡化與平衡方程應(yīng)用力向一點(diǎn)簡化的方法分析固定端支座的約束反力。固定端或插入端支座：一物體的一端完全固定在另一·物體上，這種約束稱為～。如電線桿，外伸陽臺(tái)，機(jī)加工刀具固定架，工件卡盤等。固定端支座對(duì)物體的作用，是在接觸面上作用了一群約束力。在平面問題中，這些力為一平面任意力系，如圖b所示。第4章平面力系的簡化與平衡方程應(yīng)用力向一點(diǎn)簡化的方法分第4章平面力系的簡化與平衡方程將這群力向作用平面內(nèi)的點(diǎn)A簡化得到一個(gè)力FA和一個(gè)力偶MA。圖c。一般情況下這個(gè)力的大小和方向均為未知量?？捎脙蓚€(gè)未知分力來代替。因此，在平面力系情況下，固定端A處的約束作用力可簡化為兩個(gè)約束力FAx，F(xiàn)Ay和一個(gè)矩為MA的約束力偶。第4章平面力系的簡化與平衡方程將這群力向作用平面內(nèi)的點(diǎn)第4章平面力系的簡化與平衡方程比較固定端支座與固定鉸鏈支座的約束性質(zhì)可見，固定端支座除了限制物體在水平方向和鉛直方向移動(dòng)外，還能限制物體在乎面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，除了約束力FAx，F(xiàn)Ay外，還有矩為MA的約束力偶。而固定鉸鏈支座沒有約束力偶，因?yàn)樗荒芟拗莆矬w在平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)。第4章平面力系的簡化與平衡方程比較固定端支座與固定鉸§4-2平面任意力系簡化結(jié)果的討論平面任意力系向簡化中心o簡化，一般得一力和一力偶。可能出現(xiàn)的情況有四種：1．主矢不為零，主矩為零附加力偶系的合力偶矩為零，原力系只與一個(gè)力等效，力系簡化為一合力，此合力的矢量即為力系的主矢F’R，合力作用線恰好通過簡化中心o。第4章平面力系的簡化與平衡方程§4-2平面任意力系簡化結(jié)果的討論1．主矢不為零，主矩為2．主矢、主矩均不為零力系等效于一作用于簡化中心o的力F’R和一力偶矩為Mo的力偶。由力的平移定理知，一個(gè)力可以等效地變換成為一個(gè)力和一個(gè)力偶，那么，反過來，也可將一力和一力偶等效地變換成為一個(gè)力。即，當(dāng)主矢和主矩均不為零時(shí)，可簡化為一合力。合力FR與主矢F’R具有相同的大小和方向。合力作用線不再通過簡化中心o，而是位于主矢F’R的一側(cè)，使得合力FR對(duì)o點(diǎn)的矩與主矩Mo具有相同的正負(fù)號(hào)，且合力FR與主矢F’R間的距離d可由下式確定：第4章平面力系的簡化與平衡方程2．主矢、主矩均不為零第4章平面力系的簡化與平衡方程第4章平面力系的簡化與平衡方程平面任意力系合力矩定理證明任選簡化中心O，上式普遍成立。由此可得出前面學(xué)過的合力矩定理。

平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任意一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。Mo是該力系對(duì)于點(diǎn)O的主矩，等于力系中各力對(duì)簡化中心O的矩的代數(shù)和。由圖易見，合力FR對(duì)點(diǎn)O的矩為第4章平面力系的簡化與平衡方程平面任意力系合力矩定理證第4章平面力系的簡化與平衡方程例4.2求例4.1中所給定的力系的合力作用線。在前面己求出力系向點(diǎn)A簡化的結(jié)果，且主矢和主矩都不等于零。這說明力系可簡化為一合力FR。且FR＝F’R。關(guān)鍵問題是要確定出合力FR的作用線在坐標(biāo)系中的位置。即與x軸的交點(diǎn)K的坐標(biāo)xK。第4章平面力系的簡化與平衡方程例4.2求例4.1第4章平面力系的簡化與平衡方程設(shè)想將合力FR沿作用線移至K點(diǎn)，分解為兩個(gè)分力FRx和FRy。力系向點(diǎn)A簡化的主矩為MA，根據(jù)合力矩定理。式中負(fù)號(hào)表明K點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)A的左側(cè)。第4章平面力系的簡化與平衡方程設(shè)想將合力FR沿作用線移3．主矢為零，主矩不為零各力向簡化中心等效平移后，所得匯交力系是平衡力系，原力系與附加力偶系等效。原力系簡化為一合力偶，該力偶的矩就是原力系相對(duì)于簡化中心O的主矩Mo。此種情況下，主矩與簡化中心的位置無關(guān)，向不同點(diǎn)簡化，所得主矩相同。第4章平面力系的簡化與平衡方程3．主矢為零，主矩不為零第4章平面力系的簡化與平衡方程4．主矢與主矩均為零

這種情況下，平面任意力系是一個(gè)平衡力系。

總之，對(duì)不同的平面任意力系進(jìn)行簡化．綜合后結(jié)果只有三種可能：(1)合力；(2)合力偶；(3)平衡。第4章平面力系的簡化與平衡方程4．主矢與主矩均為零第4章平面力系的簡化與平衡方程平面任意力系的解析平衡條件平面任意力系的一般簡化結(jié)果為一個(gè)主矢FR’和一個(gè)主矩Mo

。當(dāng)物體平衡時(shí)，主矢和主矩必須同時(shí)為零。由主矢FR’

=0，得：由主矩Mo

=0，得：第4章平面力系的簡化與平衡方程§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程平面任意力系的解析平衡條件平面任意力系的一般平面任意力系的主矢和主矩同時(shí)為零F’R＝0，Mo=0是平面任意力系平衡的充要條件。平面任意力系下的解析平衡條件為：力系中所有各力在兩個(gè)任選坐標(biāo)軸中每一軸上的投影代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和等于零。即必須滿足下式。其中O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)。

三者必須同時(shí)為零才能平衡，三個(gè)平衡條件互相獨(dú)立，對(duì)于一個(gè)研究對(duì)象可以求解三個(gè)未知力，且最多求解三個(gè)未知力。第4章平面力系的簡化與平衡方程方程組：兩個(gè)投影方程＋一個(gè)取矩方程，稱為一矩式平衡方程。平面任意力系的主矢和主矩同時(shí)為零F’R＝0，Mo=0是平面任應(yīng)用平衡條件求解未知力的步驟為：1、確定研究對(duì)象，畫受力圖；2、由平衡條件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。第4章平面力系的簡化與平衡方程應(yīng)用平衡條件求解未知力的步驟為：第4章平面力系的簡化與例1

已知q=2KN/m，求圖示結(jié)構(gòu)A支座的反力。解：取AB桿為研究對(duì)象畫受力圖。由∑FX=0：由∑Fy=0：由∑MA=0（∑MB=0也可以

）

：第4章平面力系的簡化與平衡方程例1已知q=2KN/m，求圖示結(jié)構(gòu)A支座的反例2

求圖示結(jié)構(gòu)的支座反力。解：取AB桿為研究對(duì)象畫受力圖。由∑FX=0：由∑Fy=0：由∑MA=0：第4章平面力系的簡化與平衡方程例2求圖示結(jié)構(gòu)的支座反力。解：取AB桿為研究對(duì)象畫由∑Fy=0：由∑MA=0：由∑FX=0：例3

求圖示結(jié)構(gòu)的支座反力。解：取整個(gè)結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象畫受力圖。第4章平面力系的簡化與平衡方程由∑Fy=0：由∑MA=0：由∑FX例

圖示構(gòu)件的A端為固定端，B端自由，求在已知外力的作用下，固定端A的約束力。第4章平面力系的簡化與平衡方程例圖示構(gòu)件的A端為固定端，B端自由，求在已知外力的作用第4章平面力系的簡化與平衡方程解:(1)取分離體，作受力圖。取構(gòu)件AB為分離體，其上除作用有已知主動(dòng)力外，固定端約束力為FAx、FAy和約束力偶MA。

(2)列平衡方程，求解未知量。取坐標(biāo)軸如圖所示。一般選取未知力交點(diǎn)為矩心，力求減少每一平衡方程中未知力的數(shù)目。否則．平衡方程中的項(xiàng)數(shù)增多，需要求解聯(lián)立方程。因?yàn)榱ε荚谌魏屋S上的投影為零，所以投影方程為FAx＝F，F(xiàn)Ay=2F，MA=2.5Fa第4章平面力系的簡化與平衡方程解:(1)取分離體，作例起重機(jī)重Pl＝10kN，可繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)；起重機(jī)的掛鉤上掛一重為P2=40kN的重物。如圖所示。起重機(jī)的重心C到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為1.5m、其他尺寸如圖所示。求在止推軸承A和軸承B處的約束力。第4章平面力系的簡化與平衡方程分析：以起重機(jī)（可看作剛架結(jié)構(gòu)）為研究對(duì)象，它所受的主動(dòng)力有P1和P2。根據(jù)對(duì)稱性，約束力和主動(dòng)力都位于同一平面內(nèi)。止推軸承A處有兩個(gè)約束力FAx，F(xiàn)Ay，軸承B處只有一個(gè)與轉(zhuǎn)軸垂直的約束力FB，約束力方向如圖所示。剛結(jié)點(diǎn)例起重機(jī)重Pl＝10kN，可繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)；起重機(jī)的第4章平面力系的簡化與平衡方程取坐標(biāo)系如圖所示，列平面任意力系的平衡方程，即FAy=50kN,FB=-31

kN,FAx=31kNFB為負(fù)值，說明它的方向與假設(shè)的方向相反，即應(yīng)指向左。第4章平面力系的簡化與平衡方程取坐標(biāo)系如圖所示，列平面二矩式平衡方程的形式其中矩心A和B兩點(diǎn)連線不能與x軸垂直。右端方程組也是平而任意力系平衡的充要條件，作為平衡的必要條件，是十分明顯的。那么充分性如何呢？力系滿足條件

ΣMA=0，說明該力系不可能簡化為一個(gè)力偶，只能是通過點(diǎn)A的一合力，或者平衡。若力系同時(shí)又滿足條件ΣMB=0，則該力系只能簡化成通過A、B兩點(diǎn)的合力。當(dāng)力系又滿足ΣFx＝0(或ΣFy＝0)，其中x(或y)軸不與A、B兩點(diǎn)連線垂直，則由右圖可知，合力FR這必定為零，這就排除了力系有合力的可能性。由此斷定，當(dāng)二矩式的三個(gè)方程同時(shí)滿足時(shí)，力系一定是平衡力系。但須注意，二矩式作為平衡的必要與充分條件是有附加要求的。如果x軸垂直矩心A、B兩點(diǎn)的連線，即便三個(gè)方程式被滿足，力系仍可能有通過兩個(gè)矩心的合力，而不一定是平衡力系。這時(shí)，三個(gè)方程不是相互獨(dú)立的。第4章平面力系的簡化與平衡方程xOFRAB二矩式平衡方程的形式第4章平面力系的簡化與平衡方程xO三矩式平衡方程的形式其中A、B、C三點(diǎn)不能共線。第4章平面力系的簡化與平衡方程三矩式平衡方程的形式第4章平面力系的簡化與平衡方程第4章平面力系的簡化與平衡方程平面任意力系的平衡方程匯總：

A、B的連線不和x軸相垂直。A、B、C三點(diǎn)不共線。一矩式二矩式三矩式第4章平面力系的簡化與平衡方程平面任意力系的平衡方程匯求解技巧盡量取未知力的交點(diǎn)為矩心，力求減少每一平衡方程中未知力的數(shù)目。否則，不但平衡方程中的項(xiàng)數(shù)增多，而且導(dǎo)致求解聯(lián)立方程，增大計(jì)算工作量。根據(jù)求解方便，還可以采用平面任意力系的二矩式和三矩式形式的平衡方程。第4章平面力系的簡化與平衡方程求解技巧第4章平面力系的簡化與平衡方程aαcbBFACQDQEl補(bǔ)充例題學(xué)習(xí).PPTaαcbBFACQDQEl補(bǔ)充例題學(xué)習(xí).PPT

5．平面力系的特殊情況平面一般力系是平面力系的一般情況。平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系都可以看成平面一般力系的特殊情況，它們的平衡方程都可以從平面一般力系平衡方程得到。第4章平面力系的簡化與平衡方程5．平面力系的特殊情況第4章平面力系的簡化與平衡方程例

十字交叉梁用三個(gè)鏈桿支座固定，如圖所示。求在水平力F的作用下各支座的約束力。第4章平面力系的簡化與平衡方程例十字交叉梁用三個(gè)鏈桿支座固定，如圖所示。求在水平力F第4章平面力系的簡化與平衡方程解：(1)取分離體，作受力圖。取十字交叉梁為分離體，其上受主動(dòng)力F、約束力FA、FB、FC的作用。

(2)列平衡方程，求解未知力。用二矩式平衡方程求解：分別以反力FC和FB的交點(diǎn)L和點(diǎn)B為矩心，列平衡方程如果投影方程選用x軸方向合力為0，就違背了二矩式平衡方程的附加條件，方程中不包含F(xiàn)B，故不能求出FB的值。第4章平面力系的簡化與平衡方程解：(1)取分離體，作第4章平面力系的簡化與平衡方程用三矩式平衡方程求解：取L、K、A三點(diǎn)為矩心，列平衡方程第4章平面力系的簡化與平衡方程用三矩式平衡方程求解：§4-4平面平行力系平面平行力系是指其各力作用線在同一平面內(nèi)并相互平行的力系，選擇Oy軸與力系中的各力平行，則各力在x軸上的投影恒為零，平衡方程只剩下兩個(gè)獨(dú)立的方程。式中A、B兩點(diǎn)連線不與各力作用線平行。平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能求解兩個(gè)未知量。第4章平面力系的簡化與平衡方程§4-4平面平行力系式中A、B兩點(diǎn)連線不與各力作用線例塔式起重機(jī)如圖所示。機(jī)架自重P=700kN，作用線通過塔架軸線。最大起重量W=200kN，最大吊臂長為12m，平衡塊重為Q，它到塔架軸線的距離為6m。為保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)都不翻倒，試求平衡塊的重量Q應(yīng)為多大。第4章平面力系的簡化與平衡方程例塔式起重機(jī)如圖所示。機(jī)架自重P=700kN，作用線通過解(一)取分離體，作受力圖。取起重機(jī)為分離體，其上作用有主動(dòng)力P、W、Q。約束反力為兩個(gè)軌道的反力NA和NB。這些力組成平行力系。(2)列平衡方程，求解未知力。

從受力圖上看，NA、NB和Q三個(gè)力都是未知的，獨(dú)立的平衡方程只有兩個(gè)，求解時(shí)需利用塔架翻倒條件建立補(bǔ)充方程。當(dāng)起重機(jī)滿載時(shí)，起重機(jī)最大起吊重量W＝200kN，這時(shí)，平衡塊的作用是不使塔架繞B輪翻倒。研究即將翻倒尚未翻例的臨界平衡狀態(tài)，則有補(bǔ)充方程N(yùn)A

=0。在該平衡狀態(tài)下求得的力Q值，是滿載時(shí)使塔架不翻倒的最小值，用Qmin來表示。列平衡方程第4章平面力系的簡化與平衡方程解(一)取分離體，作受力圖。第4章平面力系的簡化當(dāng)起重機(jī)空載時(shí)，W＝0。這時(shí)平衡塊不能過重，以免使起重機(jī)繞A輪翻倒。研究即將倒尚未翻倒的臨界平衡狀態(tài)，有補(bǔ)充方程N(yùn)B=0。在這個(gè)平衡狀態(tài)下求得的Q值，是空載時(shí)使塔架不翻倒的最大值，用Qmax來表示。列平衡方程從對(duì)空載和滿載兩種臨界平衡狀態(tài)的研究得知，為使起重機(jī)在正常工作狀態(tài)下不翻倒，平衡塊重量的取值范圍是：

75kN＜Q＜350kN

在工程實(shí)踐中，意外因素的影響是難免的，為保障安全工作，應(yīng)用中需要把理論計(jì)算的取值范圍適當(dāng)?shù)乜s小。第4章平面力系的簡化與平衡方程當(dāng)起重機(jī)空載時(shí)，W＝0。這時(shí)平衡塊不能過重，以免使起重機(jī)繞物體系的平衡與靜不定問題的概念一、幾個(gè)概念：1、物體系——由若干個(gè)物體通過約束組成的系統(tǒng)2、外力——物體系以外任何物體作用于該系統(tǒng)的力3、內(nèi)力——物體系內(nèi)部各物體間相互作用的力二、物體系平衡方程的數(shù)目：由n個(gè)物體組成的物體系，總共有不多于3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程。

工程中，如組合構(gòu)架、三鉸拱等結(jié)構(gòu)，都是由幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)。當(dāng)物體系平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個(gè)物體都處于平衡狀態(tài)，因此對(duì)于每一個(gè)受平面任意力系作用的物體．均可寫出三個(gè)平衡方程。如物體系由n個(gè)物體組成，則共有3n個(gè)獨(dú)立方程。當(dāng)系統(tǒng)中有的物體受平面匯交力系或平面平行力系作用時(shí)，則系統(tǒng)平衡方程數(shù)目相應(yīng)減少。物體系的平衡與靜不定問題的概念一、幾個(gè)概念：物體系的平衡與靜不定問題的概念三、靜定與靜不定（超靜定）概念：當(dāng)系統(tǒng)中的未知量數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目時(shí)，則所有未知數(shù)都能由平衡方程求出，這類問題稱為靜定問題。在工程實(shí)際中，有時(shí)為了提高結(jié)構(gòu)的剛度和堅(jiān)固性，常增加多余約束，因面使這些結(jié)構(gòu)的未知量的數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，未知量就不能全部由平衡方程求出，這樣的問題稱為超靜定或靜不定問題。對(duì)于超靜定問題，必須考慮物體因受力作用而產(chǎn)生的變形，加列某些補(bǔ)充方程后，才能使方程的數(shù)目等于未知量的數(shù)目。超靜定問題已超出剛體靜力學(xué)的范圍．須在材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)中研究。

1、靜定問題——當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目等于或少于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)的問題。2、靜不定問題——當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)，不能求出全部未知量的問題。物體系的平衡與靜不定問題的概念三、靜定與靜不定（超靜定）概念物體系的平衡與靜不定問題的概念靜定與靜不定結(jié)構(gòu)問題例子靜定靜不定靜不定靜不定物體系的平衡與靜不定問題的概念靜定與靜不定結(jié)構(gòu)問題例子靜定靜平面匯交力系，平面平行力系，平面任意力系平面匯交力系，平面平行力系，平面物體系的平衡與靜不定問題的概念梁由兩部分鉸接組成，每部分有3個(gè)平衡方程，共有6個(gè)平衡方程。未知量：3個(gè)約束力和1個(gè)約束力偶＋鉸鏈C處的2個(gè)未知力，共計(jì)6個(gè)。因此，靜定。若將B處的滾動(dòng)支座改為固定鉸支，則系統(tǒng)共有7個(gè)未知數(shù)，因此系統(tǒng)將是超靜定的。物體系的平衡與靜不定問題的概念梁由兩部分鉸接組成，每部分有3§4-5

物體系統(tǒng)的平衡問題

物體系統(tǒng)：

在工程中常常將若干構(gòu)件通過某種連接方式組成機(jī)構(gòu)或結(jié)構(gòu)，用以傳遞運(yùn)動(dòng)或承受荷載。這些機(jī)構(gòu)或結(jié)構(gòu)統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)。（前面第2章中介紹過）進(jìn)行力學(xué)計(jì)算時(shí)，首先要對(duì)物體系統(tǒng)和系統(tǒng)中的單個(gè)構(gòu)件進(jìn)行受力分析。以上討論的都是單個(gè)物體的平衡問題。對(duì)于物體系統(tǒng)的平衡問題，其要點(diǎn)在于如何正確選擇研究對(duì)象，一旦確定了研究對(duì)象，則計(jì)算步驟與單個(gè)物體的計(jì)算步驟完全一樣。下面舉例講解如何正確選擇研究對(duì)象的問題。第4章平面力系的簡化與平衡方程§4-5物體系統(tǒng)的平衡問題第4章平面

一個(gè)研究對(duì)象最多有三個(gè)平衡條件，因此研究對(duì)象上最多只能有三個(gè)未知力。注意到BC桿有三個(gè)未知力，而AB

桿未知力超過三個(gè)，所以應(yīng)先取BC桿為計(jì)算對(duì)象，然后再取AB桿為計(jì)算對(duì)象。例4求圖示結(jié)構(gòu)的支座反力。解：第4章平面力系的簡化與平衡方程一個(gè)研究對(duì)象最多有三個(gè)平衡條件，因此研究對(duì)象上最多只由∑FX=0：由∑Fy=0：由∑MB=0：BC桿：第4章平面力系的簡化與平衡方程由∑FX=0：由∑Fy=0：由∑MB由∑FX=0：由∑Fy=0：由∑MA=0：AB桿：注意作用與反作用關(guān)系，所以：第4章平面力系的簡化與平衡方程由∑FX=0：由∑Fy=0：由∑MA例5求圖示三鉸拱的支座反力。由∑Fy=0：由∑MA=0：取整體為研究對(duì)象，畫受力圖：解：由∑FX=0：第4章平面力系的簡化與平衡方程例5求圖示三鉸拱的支座反力。由∑Fy=0：由∑MC=0：取右半部分為研究對(duì)象，畫受力圖：將FBX

代入式：即：得：第4章平面力系的簡化與平衡方程由∑MC=0：取右半部分為研究對(duì)象，畫受力圖：將F例

由折桿AC和BC鉸接組成的廠房剛架結(jié)構(gòu)如圖所示，求固定銨支座B的約束力。第4章平面力系的簡化與平衡方程分析：作出整體和各局部(構(gòu)件AC和BC)受力圖，如圖所示。待求未知力FBx,FBy出現(xiàn)在圖a和圖c上，可斷定將從這兩個(gè)受力圖上求得待求未知力。觀察圖a，其上有四個(gè)未知力：FAx,Fay，

FBx,FBy。三個(gè)獨(dú)立的平衡方程不可能求出四個(gè)未知力。對(duì)三個(gè)力匯交點(diǎn)A寫取矩方程可求出待求力FBy。觀察圖c，其中也有四個(gè)未知力：F‘Cx,F’Cy，F(xiàn)Bx,FBy。對(duì)圖c只能寫出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，不可能求出四個(gè)未知力。但若能從其他受力圖上先求出這四個(gè)未知力中的某一個(gè)后，則另外三個(gè)未知力就可全部求出。本題需要分兩步求解。先從受力圖a上求出FBy，再從受力圖c上求出FBx。例由折桿AC和BC鉸接組成的廠房剛架結(jié)構(gòu)如圖所示，求固定銨解作出整體和各局部(構(gòu)件AC和BC)受力圖，如圖所示。第一步：取整體為分離體，其受力圖見圖a，列平衡方程第二步；取BC構(gòu)件為分離體，其受力見圖c，列平衡方程第4章平面力系的簡化與平衡方程解作出整體和各局部(構(gòu)件AC和BC)受力圖，如圖所示。第例

如圖所示結(jié)構(gòu)由桿件AB、BC、CD、圓輪O、軟繩和重物E組成。圓輪與桿CD用鉸鏈連接，圓輪半徑r=l／2。物E重為W，其他構(gòu)件不計(jì)自重。求固定端A的約束力。第4章平面力系的簡化與平衡方程例如圖所示結(jié)構(gòu)由桿件AB、BC、CD、圓輪O、軟繩和重物第4章平面力系的簡化與平衡方程解：作出整體和各局部的受力圖a、b、c。BC桿為二力桿，不必作出受力圖。輪O和重物E不必單獨(dú)作出受力圖，將它們與聯(lián)結(jié)滑輪的構(gòu)件CD放在一起作受力圖。分析：待求量FAx、FAy

、MA出現(xiàn)在圖a和圖b上，可斷定將從這兩個(gè)受力圖上求得待求量。觀察圖a，其上有五個(gè)未知量。只有從其他受力圖上求出固定鉸支座D的約束力后才能從圖a上求出待求量。觀察圖b，其上有四個(gè)未知量。只有從其他受力圖上求出圓柱鉸鏈B的約束力FB，就可從圖b求出待求量。因?yàn)閺膱Da和圖b上都不能直接解出待求量，再來觀察圖c。其上有三個(gè)未知力：FC、FDx,FDy，可寫出三個(gè)平衡方程，解出這三個(gè)未知力。FC=FB。第4章平面力系的簡化與平衡方程解：作出整體和各局部的受第4章平面力系的簡化與平衡方程本題有兩種求解方案：一是從圖c上求出FC，再從圖b上求出A端反力；另一是從圖c上求出FDx、FDy：再從圖a上求出A端反力。第一方案需用四個(gè)平衡方程，第二方案需用五個(gè)平衡方程。分兩步求解：第一步；取桿件CD、圓輪、繩索及重物組成的體系為分離體，列平衡方程求出FC第二步，取桿件AB為分離體，受力圖b，列平衡方程求出待求量第4章平面力系的簡化與平衡方程本題有兩種求解方案：一是例

圖所示結(jié)構(gòu)由折桿AB和BC鉸接組成。按圖示尺寸和荷載求固定鉸支座A的約束力。第4章平面力系的簡化與平衡方程分析：

作整體和各局部的受力圖a、b、c所示。桿件上的均布荷載用其合力FRl和FR2表示，且FRl=FR2=qa。例圖所示結(jié)構(gòu)由折桿AB和BC鉸接組成。按圖示尺寸和荷載求第4章平面力系的簡化與平衡方程如從整體受力圖a上求支座A的約束力，需事先求出鏈桿支座D或B的反力；如從桿AB受力圖b上求支座A的約束力，需要事先求出鉸C處的約束力FCx,FCy。兩方案都可行。第一步：取構(gòu)件CD為分離體，受力圖。列平衡方程解出FD第4章平面力系的簡化與平衡方程如從整體受力圖a上求支第4章平面力系的簡化與平衡方程第二步：取整體為分離體，受力圖a。列x軸平衡方程求出FAx為求反力FAy，可選反力FB和FD的作用線的交點(diǎn)K為矩心，平衡方程第4章平面力系的簡化與平衡方程第二步：取整體為分離體，物體系平衡問題求解思路和注意事項(xiàng)總結(jié)

(1)選擇合適的研究對(duì)象應(yīng)該針對(duì)問題的具體條件和要求，構(gòu)思合理的解題思路。要在了解整體和各局部受力情況的基礎(chǔ)上，恰當(dāng)選取分離體，恰當(dāng)選擇平衡方程。列方程時(shí)，要選擇適當(dāng)?shù)耐队拜S和矩心，盡量使不需要求的未知量不出現(xiàn)在所列的方程中。第4章平面力系的簡化與平衡方程物體系平衡問題求解思路和注意事項(xiàng)總結(jié)第4章平面力系的簡(2)正確地進(jìn)行受力分析物體間作用力方向無法判定時(shí)，可先假定，求解結(jié)果為正說明假設(shè)方向一致，結(jié)果為負(fù)說明假設(shè)方向相反。對(duì)于作用力與反作用力，可先假定其中之一，另一個(gè)按照相反方向施加。(3)正確區(qū)分內(nèi)力和外力

(4)注意應(yīng)用平衡概念考察整體與局部受力狀態(tài)物體系是由多個(gè)物體所組成，求解過程中一般都要選取兩次以上的分離體，才能解出所要求的未知量。第4章平面力系的簡化與平衡方程(2)正確地進(jìn)行受力分析第4章平面力系的簡化與平衡第4章平面力系的簡化與平衡方程求解靜定物體系的平衡問題時(shí)，可以選每個(gè)物體為研究對(duì)象，列出全部平衡方程，然后求解：也可先取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，列出平衡方程，這樣的方程因不包含內(nèi)力，式中未知量較少，解出部分未知量后，再從系統(tǒng)中選取某些物體作為研究對(duì)象，列出另外的平衡方程．直至求出所有的未知量為止。在選擇研究對(duì)象和列平衡方程時(shí)，應(yīng)使每一個(gè)平衡方程中的未知量個(gè)數(shù)盡可能少，最好是只含有一個(gè)未知量，以避免求解聯(lián)立方程。第4章平面力系的簡化與平衡方程求解靜定物體系的平衡問物體系的平衡問題補(bǔ)充例題例

下圖所為鋼結(jié)構(gòu)拱架，拱架由兩個(gè)相同的鋼架AC和BC鉸接，吊車梁支承在鋼架的D,E上。設(shè)兩鋼架各重為P=60kN，吊車梁重為Pl=20kN，其作用線通過點(diǎn)C；載荷為P2=10kN；風(fēng)力F=10kN。尺寸如圖所示。D，E兩點(diǎn)在力P的作用線上。求固定鉸支座A和B的約束力。物體系的平衡問題補(bǔ)充例題例下圖所為鋼結(jié)構(gòu)拱架，拱架由兩個(gè)物體系的平衡問題補(bǔ)充例題解：(1)選整個(gè)拱架為研究對(duì)象。拱架在主動(dòng)力P，P1，P2，F(xiàn)和鉸鏈A，B的約束力FAx，F(xiàn)Ay，F(xiàn)Bx，F(xiàn)By作用下平衡，受力如圖a所示。列出平衡方程：以上三個(gè)方程包含四個(gè)未知數(shù)，欲求得全部解答，必須再補(bǔ)充方程。物體系的平衡問題補(bǔ)充例題解：(1)選整個(gè)拱架為研究對(duì)象。物體系的平衡問題補(bǔ)