高考數(shù)學易錯題學生版匯編

易錯點01集合與運算易錯點【01】對描述法表示集合的理解不透徹而出錯用描述法表示集合，一定要注意兩點：1、一定要清楚符號“{x|x的屬性}”表示的是具有某種屬性的x的全體，而不是部分；2、一定要從代表元素入手，弄清代表元素是什么。易錯點【02】混淆數(shù)集和點集的表示使用特征法表示集合時，首先要明確集合中的代表元素是什么，比如，=1\*GB3①{y|y=x2+1};=2\*GB3②{(x,y)|y=x2+1}，這兩個集合中的代表元素的屬性表達式都和y=x2+1有關，但由于代表元素符號形式不同，因而表示的集合也不一樣。=1\*GB3①代表的數(shù)集，=2\*GB3②代表的是點集。易錯點【03】忽視集合中元素的互異性在學習集合的相關概念時，對含有參數(shù)的集合問題都容易出錯，盡管知道集合眾元素是互異的，也不會寫出{3，3}這樣的形式，但當字母x出現(xiàn)時，就會忽略x=3的情況，導致集合中出現(xiàn)相同元素。易錯點【04】忽略空集的存在空集是一個特殊而又重要的結，它不含任何元素，記為?。在解隱含有空集參與的集合問題時，非常容易忽略空集的特殊性而出錯。特別是在求參數(shù)問題時，會進行分類討論，討論過程中非常容易忘記空集的存在，導致最終答案出錯。易錯點【05】利用數(shù)軸求參數(shù)時忽略端點值在求集合中參數(shù)的取值范圍時，要特別注意該參數(shù)在取值范圍的邊界處能否取等號，最穩(wěn)妥的辦法就是把端點值帶入原式，看是否符合題目要求。要注意兩點：1、參數(shù)值代入原集合中看是否滿足集合的互異性；2、所求參數(shù)能否取到端點值。易錯點【06】混淆子集和真子集而錯集合之間的關系類問題涉及到參數(shù)時，需要分類討論，分類討論時非常容易忽略兩個集合完全相等這種情況，認為子集就是真子集，最終導致參數(shù)求錯或者集合的關系表達不準確。易錯點【07】求參數(shù)問題時，忘記檢驗而出錯根據(jù)條件求集合的中的參數(shù)時，一定要帶入檢驗，看是否滿足集合的“三性”中互異性，同時還要檢驗是否滿足題干中的其他條件?？键c一：列舉法+列舉法，補集1.（2021年全國新高考2卷）設集合，則A. B. C. D.2．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）已知全集，集合，則（）A． B． C． D．3.（2021年天津卷）設集合，則A. B. C. D.4．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅱ））已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，則（）A．{?2，3} B．{?2，2，3} C．{?2，?1，0，3} D．{?2，?1，0，2，3}考點二：列舉法+描述法，交集1．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）設集合，則（）A． B． C． D．2．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學試題）設集合，，則（）A． B． C． D．3．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ））已知集合則（）A． B．C． D．4.(2019全國Ⅲ理)已知集合，則（）考點三：描述法+描述法，交集1．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）設集合，則（）A． B．C． D．2．（2021年浙江卷）設集合，則（）. A． B． C． D．3．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅰ））設集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．44．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅱ））已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，則A∩B=（）A． B．{–3，–2，2，3）C．{–2，0，2} D．{–2，2}考點四：點集，集合元素的個數(shù)1．【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)1】已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．62．（2017新課標Ⅲ）已知集合，，則中元素的個數(shù)為A．3B．2C．1D．03．(2018全國卷Ⅱ)已知集合，則中元素的個數(shù)為（）A．9 B．8 C．5 D．44．【2011廣東，理1】已知集合A=為實數(shù)，且，B=為實數(shù)，且，則AB的元素個數(shù)為 A．4 B．3 C．2 D．1錯1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知集合,，則=（）A．B．C．D．3．設集合=，=，則=（）A．｛1｝B．｛2｝C．｛0，1｝D．｛1，2｝4．已知集合,,則=（）A． B．C． D．5．已知集合，則A． B． C． D．6．設集合，則ST=（）A．[2，3]B．（，2][3,+）C．[3,+）D．（0，2][3,+）7．已知集合，，則（）A．B．C．D．8．已知集合，則（）A． B．9．已知集合,,則（）A．B．C．D．10．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，，則的子集共有（）A．2個B．4個C．6個D．8個

易錯點02常用邏輯用語易錯點1：混淆命題的否定與否命題命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個不同的概念.命題p的否定是否定命題所作的判斷.而“否命題”是對“若p則q”形式的命題而言.既要否定條件也要否定結論.易錯點2：充分條件、必要條件顛倒致誤對于兩個條件A和B.如果AB成立.則A是B的充分條件.B是A的必要條件;如果BA成立.則A是B的必要條件.B是A的充分條件;如果AB.則A.B互為充分必要條件.解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性.所以在解決這類問題時一定要根據(jù)充分條件和必要條件的概念作出準確的判斷.易錯點3：“或”“且”“非”理解不準致誤命題p∨q真p真或q真.命題p∨q假p假且q假(概括為一真即真);命題p∧q真p真且q真.命題p∧q假p假或q假(概括為一假即假);?p真p假.?p假p真(概括為一真一假).求參數(shù)取值范圍的題目.也可以把“或”“且”“非”與集合的“并”“交”“補”對應起來進行理解.通過集合的運算求解.考點一：命題的真假判斷1．（2020新課標III理16）關于函數(shù)．=1\*GB3①的圖像關于軸對稱；=2\*GB3②的圖像關于原點對稱；=3\*GB3③的圖像關于對稱；=4\*GB3④的最小值為．其中所有真命題的序號是．2．（2020年高考全國Ⅱ卷文理16）設有下列四個命題：：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內．：過空間中任意三點有且僅有一個平面．：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．：若直線平面，直線平面，則．則下述命題中所有真命題的序號是．① ② ③ ④3.(2018北京)能說明“若對任意的都成立，則在上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是__________．4.（2019全國Ⅲ文11）記不等式組表示的平面區(qū)域為D.命題；命題.下面給出了四個命題① ② ③ ④這四個命題中，所有真命題的編號是①③ B．①② C．②③ D．③④考點二：充分必要性的判斷1．（2021年全國甲卷理7）等比數(shù)列的公比為，前項和為．設甲：．乙：是遞增數(shù)列，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲不是乙的充分條件也不是必要條件2.(2021年浙江卷）已知非零向量，則“”是“”的（）. A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3.(2021年北京卷）設函數(shù)的定義域為[0,1],則“函數(shù)在[0,1]上單調遞增”是“函數(shù)在[0,1]上的最大值為”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2020年高考天津卷2）設，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點三：特征命題與全稱命題1.（2021年全國乙卷理3）已知命題；命題，則下列命題中為真命題的是A. B.C.D.2．（2015新課標）設命題：，，則為（）A．B．C．D．3.（2014新課標1）不等式組的解集記為.有下面四個命題：：，：,：，：.其中真命題是（）A.，B.，C.，D.，4.（2014福建）命題“”的否定是A．B．C．D．錯1．已知命題：函數(shù)在R為增函數(shù)，：函數(shù)在R為減函數(shù)，則在命題：，：，：和：中，真命題是（）A．，B．，C．，D．，2．已知空間中不過同一點的三條直線，則“在同一平面”是“兩兩相交”的 （）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3.設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是（）A．α內有無數(shù)條直線與β平行 B．α內有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面4.命題“對任意，都有”的否定為A．對任意，都有B．不存在，都有C．存在，使得D．存在，使得5．設，集合是奇數(shù)集，集合是偶數(shù)集，若命題：，則A．：B．：C．：D．：6.命題“，”的否定是A．， B．，C．， D．，7．已知，均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題（）其中真命題是A．B．C．D．8．函數(shù)在處導數(shù)存在，若，是的極值點，則（）A．是的充分必要條件B．是的充分條件，但不是的必要條件C．是的必要條件，但不是的充分條件D．既不是的充分條件，也不是的必要條件9．設有下面四個命題：若復數(shù)滿足QUOTE，則QUOTE；：若復數(shù)滿足，則QUOTE；：若復數(shù)，滿足，則QUOTEz1=z2；：若復數(shù)QUOTE，則QUOTEz∈R．其中的真命題為（）A．，B．，C．，D．，10.α、β是兩個平面，m、n是兩條直線，有下列四個命題：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.（4）如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有。(填寫所有正確命題的編號）

易錯點03函數(shù)概念與基本函數(shù)易錯點1：求解與函數(shù)有關的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則；研究與函數(shù)有關的問題時，一定要先明確函數(shù)的定義域是什么，才能進行下一步工作。易錯點2：判斷函數(shù)奇偶性時，易忽略檢驗函數(shù)定義域是否關于原點對稱；判斷奇偶性的方法是在定義域關于原點對稱的前提下，根據(jù)與的關系得到結論；更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪易錯點3：根據(jù)定義證明函數(shù)的單調性時，規(guī)范格式是什么？(取值,作差,判正負)；判斷單調性的關鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調性的性質和復合函數(shù)“同增異減”性得到結論.易錯點4：指對型函數(shù)比較大小要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調性如：一次函數(shù)的單調性取決于一次項系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調性決定于二次項系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1），特別在解決涉及指、對復合函數(shù)的單調性問題時要樹立分類討論的數(shù)學思想（對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）.易錯點5：用函數(shù)圖象解題時作圖不準“數(shù)形結合”是重要思想方法之一，以其準確、快速、靈活及操作性強等諸多優(yōu)點頗受數(shù)學學習者的青睞。但我們在解題時應充分利用函數(shù)性質，畫準圖形，不能主觀臆造，導致圖形“失真”，從而得出錯誤的答案。易錯點6：在涉及指對型函數(shù)的單調性有關問題時，沒有根據(jù)性質進行分類討論的意識和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件；要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調性如：一次函數(shù)的單調性取決于一次項系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調性決定于二次項系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1），特別在解決涉及指、對復合函數(shù)的單調性問題時要樹立分類討論的數(shù)學思想（對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）；易錯點7：抽象函數(shù)的推理不嚴謹致誤；所謂抽象函數(shù)問題，是指沒有具體地給出函數(shù)的解析式，只給出它的一些特征或性質。解決這類問題常涉及到函數(shù)的概念和函數(shù)的各種性質，因而它具有抽象性、綜合性和技巧性等特點;解決抽象函數(shù)的方法有：換元法、方程組法、待定系數(shù)法、賦值法、轉化法、遞推法等；更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪考點一：函數(shù)的單調性和奇偶性1．(2021年高考全國甲卷理科)設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則()A． B． C． D．2．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A． B． C． D．3．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．(2021年高考全國乙卷理科)設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ()A． B． C． D．5. （2021新高考2卷）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A B. C. D.6．（2021年上海卷）以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)() A． B． C． D．考點二：指對型函數(shù)比較大小更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪1. （2021年天津卷5）設，則a，b，c的大小關系為A. B. C. D.2.（2021年新高考2卷7）已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.3．（2020年全國2卷11）若，則 A． B． C． D．4．（2021年全國1卷理12）若，則 A． B． C． D．5．（2019全國Ⅲ理11）設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調遞減，則A．B．C．D．6.（2015年全國2卷12）設函數(shù)f’(x)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的x的取值范圍是（）A.B.C.D.考點三、函數(shù)的圖像與性質1. （2021年天津卷3）函數(shù)的圖像大致為A. B.C. D.2.（2019全國Ⅲ理7）函數(shù)在的圖像大致為B．C．D．3．（2021年浙江卷7）已知函數(shù)，則圖象為右圖的函數(shù)可能是（）. A． B． C． D．4．（2021年全國甲卷16）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)為_____________.★5.（2015年全國2卷）如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x．將動點P到A、B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖像大致為（）★6.（2014年全國1卷）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示為的函數(shù)，則=在[0,]上的圖像大致為（）考點四、分段函數(shù)1．（2021年浙江卷12）已知，函數(shù)若則． 2．（2015新課標Ⅱ）設函數(shù)，則A．3B．6C．9D．123.（2017新課標Ⅲ）設函數(shù)則滿足的的取值范圍是_______．4．(2014新課標)設函數(shù)則使得成立的的取值范圍是_____．5. （2021年天津卷9）設，函數(shù)，若在區(qū)間內恰有6個零點，則a的取值范圍是更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪A. B.C. D.6.(2018全國卷Ⅰ)已知函數(shù)，．若存在2個零點，則a的取值范圍是（）A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）1.函數(shù)在單調遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）.A．[-2,2]QUOTE[?2,2]B．[-1,2]QUOTE[?1,1]C．[0,4]QUOTE[0,4]D．[1,3]QUOTE[1,3]2．設函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．是偶函數(shù)B．||是奇函數(shù)C．||是奇函數(shù)D．||是奇函數(shù)3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調遞增的函數(shù)是()A．B．C．D．4.已知，，，則（）A.B.C.D.5.若，則（）A.B.C.D.6．設函數(shù)，則A．3B．6C．9D．127.函數(shù)在的圖像大致為B．C．D．8.偶函數(shù)的圖像關于直線對稱，，則=___9．函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標之和等于________.更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪10．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．

易錯點04導數(shù)及其應用易錯點1：導數(shù)與函數(shù)的單調性導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．易錯點2：導數(shù)與函數(shù)的極（最）值求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。易錯點3：對“導函數(shù)值正負”與“原函數(shù)圖象升降”關系不清楚討論函數(shù)的單調區(qū)間可化歸為求解導函數(shù)正或負的相應不等式問題的討論．易錯點4：導數(shù)與函數(shù)的零點研究函數(shù)圖像的交點、方程的根、函數(shù)零點，歸根到底是研究函數(shù)的性質，如單調性、極值等。用導數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，借助零點村子性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉化為函數(shù)圖像的交點問題，利用數(shù)形結合來解決?？键c一：含參函數(shù)的單調性1．（2018·全國1卷）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；2．（2017·全國2卷）已知函數(shù)，且．(1)求；3．（2017·全國3卷）已知函數(shù)．(1)若，求的值；4．（2016·全國1卷）已知函數(shù)QUOTEfx=x?2ex+a(x?1)（I）求a的取值范圍；5．（2019·全國3卷）已知函數(shù)，討論的單調性；考點二：零點問題★1．（2017新課標Ⅲ）已知函數(shù)有唯一零點，則A．B．C．D．13.（2019全國Ⅱ理20（1））已知函數(shù),討論的單調性，并證明有且僅有兩個零點；4．(2016年全國Ⅰ)已知函數(shù)QUOTEfx=x?2ex+a(x?1)（I）求a的取值范圍；5．（2017新課標Ⅰ）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)若QUOTEf(x)有兩個零點，求的取值范圍．6.（2019全國Ⅰ理20（2））已知函數(shù)，為的導數(shù)．證明：有且僅有2個零點．考點三、導數(shù)與函數(shù)的極值1.(2021·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3－2x,x2＋a)。(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，求f(x)的單調區(qū)間，以及最大值和最小值。2.(2021·全國甲卷)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\f(xa,ax)(x>0)。(1)當a＝2時，求f(x)的單調區(qū)間；(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍。3.(2021·全國乙卷)設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設函數(shù)．證明:．4.（2021年新課標1卷）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.1．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，分別解答下面兩題：（i）若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍；（ii）若，是兩個不相等的正數(shù)，，求證：．2．已知函數(shù)，．（1）若在處取得極值，求的值；（2）設，試討論函數(shù)的單調性；（3）當時，若存在實數(shù)，滿足，求證：．3．已知函數(shù)，，當時，恒成立．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若正實數(shù)、滿足，證明：．4．已知函數(shù)，．（1）討論的單調性；（2）當時，正實數(shù)，滿足，證明：．5．已知函數(shù)，，，令．（1），研究函數(shù)的單調性；（2）若關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；（3），正實數(shù)，滿足，證明：．6．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調減區(qū)間；（2）若，正實數(shù)，滿足，證明：．7．設函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調遞增，求的值；（2）當時，①證明：函數(shù)有兩個極值點，，且隨著的增大而增大；②證明：．8．已知函數(shù)．（1）若在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若在處的切線斜率是，證明有兩個極值點，且．9．已知函數(shù).（1）函數(shù)是否存在極小值?若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由；（2）若，求證：10．已知函數(shù)（為常數(shù)）．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，設函數(shù)的兩個極值點，（）滿足，求的最小值．

易錯點05比較大小在每年的高考數(shù)學卷中,“比較大小”是一類熱點問題.考生們經常找不到解答問題的方法，亂猜導致丟分.易錯點1：比較大小時，對指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，和冪函數(shù)的性質記憶模糊導致失誤。常用的指對數(shù)變換公式：（1）（2）（3）（4）換底公式：進而有兩個推論：（令）易錯點2：混淆對數(shù)的符號如何快速判斷對數(shù)的符號---八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負”（1）如果底數(shù)和真數(shù)均在（0，1）中，或者均在（1，+∞）中，那么對數(shù)的值為正數(shù)；（2）如果底數(shù)和真數(shù)一個在（0，1）中，一個在（1，+∞）中，那么對數(shù)的值為負數(shù).易錯點3：沒有選中合適的中間量利用特殊值作“中間量”：在指對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“-1，0,1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟（在兵法上可稱為“分割包圍，各個擊破”，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計.題組一1.(2016全國III)已知，，，則（）A.B.C.D.2.（2013新課標）設，，，則（）A.B.C.D.題組二3.（2019全國Ⅰ理3）已知，，，則A．B．C．D．4．（2021·天津高考真題）設，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．題組三5.(2016全國I)若，則（）A.B.C.D.6．（2017新課標Ⅰ）設為正數(shù)，且，則（）A．B．C． D．7．(2018全國卷Ⅲ)設，則()A． B．C．D．題組四8．（2019全國Ⅲ理11）設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調遞減，則A．B．C．D．9.（20152）設函數(shù)f’(x)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的x的取值范圍是（）A.B.C.D.1．已知實數(shù)x，y滿足，則以下結論錯誤的是（）A． B． C． D．2．設，則（）A． B． C． D．3．設，則（）A．B．C．D．4．實數(shù)a，b，c滿足，則（）A． B． C． D．5．已知，，，則（）A． B． C． D．6．已知，c＝sin1，則a，b，c的大小關系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b7．已知，，，則（）A． B． C． D．8．已知，，，則a、b、c的大小順序為（）A． B． C． D．9．已知，，，則、、的大小關系為（）A． B． C． D．10．已知定義在R上的函數(shù)滿足當時，不等式恒成立，若，，，則a，b，c的大小關系為（）．A．B．C．D．

易錯點06求數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項公式主要以考查由遞推公式求通項公式與已知前n項和或前n項和與第n項的關系式求通項為重點，特別是數(shù)列前項和與關系的應用，難度為中檔題，題型為選擇填空小題或解答題第1小題，同時要注意對數(shù)列單調性與周期性問題的復習與訓練.易錯點1：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關系式，求an時應注意分類討論的應用，特別是在利用an＝Sn－Sn－1進行轉化時，要注意分n＝1和n≥2兩種情況進行討論，學生特別是容易忽視要檢驗n＝1是否也適合an.?易錯點2：在等比數(shù)列求和公式中要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論.易錯點3：在解答數(shù)列問題時，及時準確地“數(shù)清”數(shù)列的項數(shù)是必不可少的，在數(shù)項數(shù)時，要把握數(shù)列的項的構成規(guī)律，找準數(shù)列的通項公式的特點并找準項數(shù)．如果把數(shù)列的項數(shù)弄錯了，將會前功盡棄．易錯點4：對等差、等比數(shù)列的性質理解錯誤。?等差數(shù)列的前n項和在公差不為0時是關于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)。一般地，有結論“若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”;在等差數(shù)列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差數(shù)列。解決這類題目的一個基本出發(fā)點就是考慮問題要全面，把各種可能性都考慮進去，認為正確的命題給以證明，認為不正確的命題舉出反例予以駁斥。在等比數(shù)列中公比等于-1時是一個很特殊的情況，在解決有關問題時要注意這個特殊情況。??題組一:公式法已知或根據(jù)題目的條件能夠推出數(shù)列為等差或等比數(shù)列，根據(jù)通項公式或進行求解.1.（2019全國1理9）記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A． B． C． D．2．(2018北京)設是等差數(shù)列，且，，則的通項公式為___．3．（2014新課標1）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根．則=_________.4.（2013新課標1）已知等差數(shù)列的前項和滿足，．則=_________.題組二:已知數(shù)列的前項和的解析式，求.5.數(shù)列的前項和為，則_________________.6.數(shù)列滿足，則__________.題組三:Sn與an的關系式法已知數(shù)列的前項和與通項的關系式，求.7.(2015新課標Ⅰ)為數(shù)列的前項和，若，則=________.8.(2014新課標1)已知數(shù)列QUOTEan的前n項和QUOTE，QUOTE，其中，則=__________.9．(2018全國卷Ⅰ)記為數(shù)列的前項和，若，則_____．題組四:累加法當數(shù)列中有，即第項與第項的差是個有“規(guī)律”的數(shù)時，就可以用這種方法.10.已知，求通項.11.設數(shù)列滿足，則=_______；12.（2015新課標Ⅱ）設是數(shù)列的前n項和，且，，則________．1．在等差數(shù)列中，已知，則（）A．4 B．8 C．3 D．62．已知等差數(shù)列，公差為，且、、成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．3．若數(shù)列是等差數(shù)列，a1=1，，則a5=（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前項和，，，則（）A．31 B．63 C．127 D．2555．設數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．6．已知等比數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．7．設數(shù)列的前項和為，且，則（）A． B． C． D．8．若數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．9．若數(shù)列的前n項和(n∈N*)，則=（）A．20 B．30 C．40 D．5010．已知數(shù)列的前n項和，若，則數(shù)列的前n項和是（）A． B． C． D．

易錯點07數(shù)列求和、數(shù)列綜合應用高考數(shù)列求和部分重點考查裂項相消法和錯位相減法，多為解答題第二問，難度為中檔.易錯點1：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關系式，求an時應注意分類討論的應用，特別是在利用an＝Sn－Sn－1進行轉化時，要注意分n＝1和n≥2兩種情況進行討論，學生特別是容易忽視要檢驗n＝1是否也適合an.?易錯點2已知數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關系式，求an時應注意分類討論的應用，特別是在利用an＝Sn－Sn－1進行轉化時，要注意分n＝1和n≥2兩種情況進行討論，學生特別是容易忽視要檢驗n＝1是否也適合an.?易錯點3：用裂項相消法求和時,注意裂項后的系數(shù)以及搞清未消去的項易錯點4：利用錯位相減法求解數(shù)列的前n項和時，應注意兩邊乘以公比后，對應項的冪指數(shù)會發(fā)生變化，為避免出錯，應將相同冪指數(shù)的項對齊，這樣有一個式子前面空出一項，另外一個式子后面就會多了一項，兩式相減，除第一項和最后一項外，剩下的n－1項是一個等比數(shù)列．易錯點5：含有字母的數(shù)列求和,常伴隨著分類討論.易錯點6：數(shù)列中的最值錯誤。數(shù)列的通項公式、前n項和公式都是關于正整數(shù)的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點，或即使考慮了n為正整數(shù)，但對于n取何值時，能夠取到最值求解出錯。在關于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸遠近而定。?題組一、利用常用求和公式求和1.（2019全國3理14）記為等差數(shù)列的前項和，若，，則．2．（2019?新課標Ⅰ，理9）記為等差數(shù)列的前項和．已知，，則A． B． C． D．3.（2019全國1理14）記為等比數(shù)列的前項和．若，，則．4．（2017新課標Ⅲ）等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若成等比數(shù)列，則前6項的和為_____.5.（2018全國卷Ⅲ）等比數(shù)列中，．記為的前項和．若，=________．6．(2018全國卷Ⅰ)記為數(shù)列的前項和，若，則_____．題組二、裂項法求和7.（2017新課標Ⅱ）等差數(shù)列的前項和為，，，則．8.（2015新課標Ⅰ）已知,設，數(shù)列的前n項和=______.9.（2011新課標）已知,設數(shù)列的前n項和=___________.10.（2013新課標1）已知等差數(shù)列的前項和滿足，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．題組三、錯位相減法求和11．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．12．(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項和．13．(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)設數(shù)列{an}滿足a1=3，．(1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．14.（2014新課標1）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根．(Ⅰ)求的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．題組四、分組法求和15.（2012新課標）數(shù)列滿足，則的前項和為.16．（2016年全國II）為等差數(shù)列的前n項和，且，．記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，．題組五、數(shù)列中的最值17．（2018全國卷Ⅱ）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．(1)求的通項公式；(2)求，并求的最小值．18．（2019?新課標Ⅰ，文18）記為等差數(shù)列的前項和，已知．（1）若，求的通項公式；（2）若，求使得的的取值范圍．19．（2018?新課標Ⅱ，理（文）17）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值．20.（2013新課標2）等差數(shù)列的前項和為，已知，，則的最小值為。1．已知數(shù)列滿足，，記的前n項和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n的值為（）A．61 B．62 C．63 D．642．“斐波那契數(shù)列”又稱“兔子”數(shù)列，是由意大利數(shù)學家里昂那多斐波那契發(fā)現(xiàn)的，該數(shù)列滿足：，，（，），若，則其前2022項和為（）A．G B． C．-G D．3．已知數(shù)列為的前項和，其中，則（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20224．等比數(shù)列，，，成公差不為0的等差數(shù)列，，則數(shù)列的前10項和（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列，滿足，則等于（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列是首項與公差均為1的等差數(shù)列，則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的首項為2，前n項和為，，.若數(shù)列的前n項和為，則滿足成立的n的最小值為______.8．等差數(shù)列中，，，若數(shù)列的前n項和為，則___________.9．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求的通項公式以及；(2)若數(shù)列，求數(shù)列的前項和.10．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)證明：是等比數(shù)列．(2)設，求數(shù)列的前n項和.

易錯點08三角函數(shù)與解三角易錯點1：解三角函數(shù)的定義此類題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.所以要求考生要熟記公式，并懂得靈活應用。易錯點2：三角函數(shù)圖象變換函數(shù)圖象的平移變換解題策略：（1）對函數(shù)y=sinx，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的圖象，無論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|φ|個單位，都是相應的解析式中的x變?yōu)閤±|φ|，而不是ωx變?yōu)棣豿±|φ|.（2）注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應用誘導公式化為同名函數(shù)再平移.易錯點3：由三角函數(shù)圖像求解析式結合圖象及性質求解析式y(tǒng)=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法（1）求A，B，已知函數(shù)的最大值M和最小值m，則.（2）求ω，已知函數(shù)的周期T，則.（3）求φ，常用方法有：=1\*GB3①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時，A，ω，B已知)．=2\*GB3②確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口，具體如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點中距原點最近的交點)為ωx＋φ=0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx＋φ=；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ=π；“第四點”(即圖象的“谷點”)為ωx＋φ=；“第五點”為ωx＋φ=2π.易錯點4：給值（式）求角（值）解三角函數(shù)的給值求值問題的基本步驟（1）先化簡所求式子或所給條件；（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系；（3）將已知條件代入所求式子，化簡求值．易錯點5：三角形中邊角關系此類題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三角形周長最大值的求解問題；求解周長最大值的關鍵是能夠在余弦定理構造的等式中，結合基本不等式構造不等關系求得最值.更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪題組一、三角函數(shù)的定義1.（2020?全國2卷）若α為第四象限角，則（）A.cos2α＞0B.cos2α＜0C.sin2α＞0D.sin2α＜02．（2014新課標Ⅰ）若，則（）A．B．C．D．3．（2011新課標）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=（）A．B．C．D．題組二、三角函數(shù)的圖像與變換4．(2021年高考全國乙卷理科)把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪()A． B．5．（2017新課標Ⅰ）已知曲線：，：，則下面結論正確的是()A．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移QUOTE個單位長度，得到曲線D．把上各點的橫坐標縮短到原來的QUOTE倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移QUOTE個單位長度，得到曲線6．（2016全國II）若將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為A．B．C．D．7．（2016年全國III）函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移_____________個單位長度得到．題組三、由三角函數(shù)圖像求解析式更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪8．(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)設函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為 ()A． B． C． D．9.（2020?新全國1山東）（多選題）下圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的部分圖像，則sin(ωx＋φ)＝（）A.B.C.D.10．（2015新課標Ⅱ）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調遞減區(qū)間為（）．，B．，C．，D．，題組四、給值（式）求值（角）11．(2021年高考全國甲卷理科)若，則 ()A． B． C． D．12．(2018全國卷Ⅲ)若，則（）A． B． C． D．13.（2019全國Ⅱ理10）已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，則sinα=A．B．C． D．14．（2016年全國II）若，則（）A．B．C．D．題組五、三角形中的邊角關系15.（2020?全國3卷）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，則cosB＝（）A.B.C.D.16．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)的內角的對邊分別為，若的面積為，則 ()A． B． C． D．17.（2021年上海卷第18題）在中，已知（1）若，求的面積；（2）若，求的周長.18.（2021年天津卷）在，角所對的邊分別為，已知，．（1）求a的值；（2）求的值；更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪（3）求的值．1．設函數(shù)，則（）A．在單調遞增，其圖象關于直線對稱B．在單調遞增，其圖象關于直線對稱C．在單調遞減，其圖象關于直線對稱D．在單調遞減，其圖象關于直線對稱2．已知>0，，直線=和=是函數(shù)圖像的兩條相鄰的對稱軸，則=（）A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D．eq\f(3π,4)3．設函數(shù)，則下列結論錯誤的是（）A．的一個周期為B．的圖像關于直線對稱C．的一個零點為D．在單調遞減4．已知，函數(shù)在單調遞減，則的取值范圍是()A． B． C． D．5．已知函數(shù)為的零點，為圖像的對稱軸，且在單調，則的最大值為（）A．11

B．9

C．7

D．56.已知銳角的內角的對邊分別為，，，，則（）A． B． C． D．7.的內角的對邊分別為，若，，，則．8.若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個取值為________．9.的內角的對邊分別為.若，則的面積為__________.10.已知在中，，．（1）求；（2）①；②的周長為；③的面積為．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

易錯點09平面向量平面向量是高中數(shù)學的重要內容，是解決實際問題強有力的工具，是近年來高考的熱點之一．對向量問題的考查，往往與不等式、解析幾何、數(shù)列、平面幾何等知識結合起來．本文通過對近十年全國新課標卷試題進行分析、匯總，希望同學們能夠對平面向量的考向、考法、考試題型、難易程度有更加清晰的認識，避免走彎路，錯路，以提高復習的效率．易錯點1：忽略零向量；更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪易錯點2：利用向量的數(shù)量積計算時，要認真區(qū)別向量與實數(shù)a·b；易錯點3：利用向量的數(shù)量積計算時，判斷向量夾角的大小時要牢記“起點相同”；(1)求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.易錯點4：向量數(shù)量積的幾何意義中的叫做在方向上的正射影的數(shù)量，它是一個數(shù)量，它可正，可負，也可以為0，要注意區(qū)分.易錯點5：向量數(shù)量積>0并不等價于向量與的夾角為銳角；易錯點6：三點共線問題1.若A、B、C三點共線，且,則2.中確定方法（1）在幾何圖形中通過三點共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程，可考慮兩邊對同一向量作數(shù)量積運算，從而得到關于的方程，再進行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標化，從而得到關于的方程，再進行求解3.(1)證明向量共線：對于非零向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a=λb，則a與b共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使，則A，B，C三點共線．【注】證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.易錯點7：向量與三角形的綜合(1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應邊成比例等性質，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果.題組1：線性運算1（2018年新課標1卷）在ΔABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up5(→))=()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→))2．(2015高考數(shù)學新課標1理科)設D為QUOTEABC所在平面內一點，則 ()A． B．C． D．3.（2014新課標1）設分別為的三邊的中點，則A．B．C．D．4.(2013新課標2理科)已知正方形的邊長為,為的中點,則．題組2：共線定理的應用5．（2021新高考1卷）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，有且僅有一個點，使得平面6．（2020年江蘇卷）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP＝9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．7．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為 ()A． B． C． D．題組3:共線向量的坐標運算8．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，則．更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪9．(2015高考數(shù)學新課標2理科)設向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)_________．題組4：垂直向量10．(2021年高考全國乙卷理科)已知向量，若，則__________．11．(2020年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________．題組5：向量的數(shù)量積運算11．（2021上海卷）如圖，正方形的邊長為3，求________．12. （2021新高考2卷）已知向量滿足，，則________.題組6：求夾角13．(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知向量a，b滿足，，，則 ()A． B． C． D．14．(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅰ卷理科)已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為 ()A．B．C．D．15．(2019年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知，為單位向量，且，若，則___________．16．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知向量,,則 ()A． B． C． D．題組6：求向量的模17．(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)設為單位向量，且，則______________．18．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科)已知向量,的夾角為,,,則__________．題組8：求最值更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪19.（2020?新全國1山東）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范用是（）A.B.C.D.20.（2017新課標2卷）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小是_____.1．在平行四邊形中，，則（）A．-5 B．-4 C．-3 D．-22．正方形中，P，Q分別是邊的中點，，則（）A． B． C． D．3．如圖，平面四邊形中，，．則（）A． B． C． D．34．已知向量、滿足，，若，則（）A． B． C． D．5．已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B．8 C．10 D．126．如圖，在中，，，若，則（）A． B． C． D．7．已知向量，滿足，，，則（）A．5 B．7 C． D．8．已知向量，向量，則與的夾角大小為（）A．30° B．60° C．120° D．150°9．已知，，，，則_______更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪10．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD上的動點，以MN為邊作等邊，使得點A，P位于直線MN的兩側，則的最小值為______．易錯點10不等式易錯點1：線性規(guī)劃求線性目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.易錯點2：基本不等式均值不等式（當僅當a=b時取等號）注意：①一正二定三相等；②變形：（當僅當a=b時取等號）易錯點3：絕對值不等式(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟：①求零點；②劃區(qū)間、去絕對值號；③分別解去掉絕對值的不等式；④取每個結果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值．(2)用圖象法、數(shù)形結合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法．易錯點4：柯西不等式(1)使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形，化為符合它的結構形式，當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明．(2)利用柯西不等式求最值的一般結構為(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(eq\f(1,a\o\al(2,1))＋eq\f(1,a\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,a\o\al(2,n)))≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應注意等號成立的條件．題組1線性規(guī)劃1．（2021浙江卷）若實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是（）. A． B． C． D．2．（2021年全國乙卷文）若，滿足約束條件則的最小值為A．18B．10C．6D．43．（2021上海卷）已知，，則的最大值為___________．4.（2020?全國1卷）若x，y滿足約束條件則z＝x＋7y的最大值為______題組2基本不等式5．（2021年全國乙卷文）下列函數(shù)最小值為4的是（）A． B．C． D．6．（2020年新全國1山東）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，則（）A. B.C. D.7.（2020年天津卷）已知，且，則的最小值為_____．8.（2020年江蘇卷）已知，則的最小值是_______．題組3含絕對值不等式9.（2021年全國甲卷）已知函數(shù)，.畫出和的圖像.若，求的取值范圍.10.（2021年全國乙卷）已知函數(shù).（1）當時，求不等式≥的解集；（2）若，求的取值范圍.11．（2020全國Ⅰ文理22）已知函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）求不等式的解集．12．（2020江蘇23）設，解不等式．題組4格西不等式13．（2021年浙江卷）已知平面向量，，滿足，，，．記平面向量在，方向上的投影分別為，，在方向上的投影為，則的最小值是．14．（2019全國I文理23）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．1.下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.2．若，，則一定有A．B．C．D．3．已知，，，則的最小值為（）A．20 B．24 C．25 D．284．若實數(shù)、滿足不等式組，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．設，滿足約束條件，則的取值范圍是A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]6.(多選題）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，則（）A. B.C. D.7.若滿足約束條件，則的最小值為____________.8.設，，，則的最小值為__________.9．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范圍．10．設均為正數(shù)，且，證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．

易錯點11球球是最常見的一種幾何體,在近幾年高考題中與球有關的問題頻繁出現(xiàn)。在此類問題中,既可以考查球的表面積、體積及距離等基本量的計算,又可以考查球與多面體的相切接,同時也能很好地考查同學們的畫圖能力、空間想象能力、推理論證能力。考查形式多以選擇題和填空題出現(xiàn)。易錯點1：公式記憶錯誤更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪易錯點2：多面體與幾何體的結構特征不清楚導致計算錯誤易錯點3：簡單的組合體畫不出適當?shù)慕孛鎴D致誤題組一：以三視圖為背景1．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是EQ\F(28π,3)，則它的表面積是 () A.B.C.D.2．(2015高考數(shù)學新課標1理科)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為，則=A．1 B．2 C．4 D．8題組二，以棱（圓）柱為載體3.(2010)設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________.4．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在直徑為的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為 ()A． B． C． D．題組三：以棱（圓）錐為載體5．(2021年高考全國甲卷理科)已如A． B．C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為 ()A． B． C． D．6.（2021天津卷）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為A. B. C. D.7.（2020年全國1卷）已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.8．(2020年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)已知△ABC是面積為等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為 ()A． B． C．1 D．9．(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為_________．題組四：與最值相關10．(2015高考數(shù)學新課標2理科)已知是球的球面上兩點，,為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為 ()A． B． C． D．11．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)設是同一個半徑為的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 ()A． B． C． D．12．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)在封閉的直三棱柱內有一個體積為的球,若,,,,則的最大值是 ()A． B． C． D．1．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何模型.如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）.已知這個牟合方蓋與正方體內切球的體釈之比為，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（）更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A．200π B．100π C． D．503．已知是以為斜邊的直角三角形，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．4．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某個多面體的三視圖，若該多面體的所有頂點都在球的表面上，則球的表面積是（）A． B． C． D．5．已知邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕進行折疊，使折后的，則過，，，四點的球的表面積為（）A． B． C． D．6．在四邊型中（如圖1所示），，，，將四邊形沿對角線折成四面體（如圖2所示），使得，則四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為的正三角形，三棱錐的體積為，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．在體積為的直三棱柱中，為等邊三角形，且的外接圓半徑為，則該三棱柱外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．在三棱錐中，，，若該三棱錐的體積為，則其外接球表面積的最小值為（）更多免費資源，關注公眾號拾穗者的雜貨鋪A． B． C． D．10．已知三棱錐的頂點在底面的射影為的垂心，若的面積為的面積為的面積為，滿足，當?shù)拿娣e之和的最大值為8時，則三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．

易錯點12立體幾何中的垂直與平行在立體幾何中，點、線、面之間的位置關系，特別是線面、面面的平行和垂直關系，是高中立體幾何的理論基礎，是高考命題的熱點與重點之一，一般考查形式為小題(位置關系基本定理判定)或解答題(平行、垂直位置關系的證明)，難度不大。立體幾何中平行與垂直的易錯點易錯點1：線面平行的判定定理和性質定理在應用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談；面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為＂一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行＂而導致證明過程跨步太大。易錯點2：有關線面平行的證明問題中，對定理的理解不夠準確，往往忽視三個條件中的某一個。易錯點3：線面平行的判定定理和性質定理在應用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談；面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為＂一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行＂而導致證明過程跨步太大；題組一：基本性質定理1．（2021年浙江卷）已知正方形，分別是的中點，則（）. A．直線與直線垂直，直線平面 B．直線與直線平行，直線平面 C．直線與直線相交，直線平面 D．直線與直線平行，直線平面 2．（2021新高考1卷多選題）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，有且僅有一個點，使得平面3.（2019全國Ⅲ理8）如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則（）A．BM=EN，且直線BM、EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM=EN，且直線BM、EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線4.（2019全國Ⅱ理7）設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內有無數(shù)條直線與β平行 B．α內有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面題組二：線面平行5. （2021天津卷）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．（1）求證：平面；6．（2017新課標Ⅱ）如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面三角形，，，是的中點．證明：直線∥QUOTECE//平面；7.（2019全國Ⅰ理18）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；題組三線線垂直8.（2021全國甲卷理）已知直三棱柱中，側面為正方形，分別為和的中點，為棱上的點，．（1）證明：；9.（2021全國甲卷理）已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，側面AA1(1)略(2)已知D為棱A1B110．（2021新高考1卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點．（1）證明：；11．(2021浙江卷)如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點，，． （1）證明：； （2）求直線與平面所成角的正弦值．題組四：線面垂直12．（2016全國II）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，，，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，，EF交BD于點H．將沿折到的位置，．（=1\*ROMANI）證明：平面ABCD；13．(2018全國卷Ⅱ)如圖，在三棱錐中，，，為的中點．(1)證明：平面；14.（2019全國Ⅱ理17）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；題組五：面面垂直15.（2021新高考2卷）在四棱錐中，底面是正方形，若，，，（1）證明：平面平面；16（2019全國Ⅲ理19）圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；17．（2018全國卷Ⅰ）如圖，四邊形為正方形，，分別為，的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．(1)證明：平面平面；18．（2018全國卷Ⅲ）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．(1)證明：平面平面；1．已知平面，直線，滿足，，則“∥”是“∥”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“∥”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3．如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點．證明：∥平面；4．如圖，直三棱柱中，分別是的中點，（Ⅰ）證明：//平面；5．如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點．證明：∥平面；6．如圖，四棱錐中，⊥底面，，，，為線段上一點，，為的中點．證明平面；7．如圖，三棱柱中，，，=60°．證明；8．如圖，在四棱錐中，∥，且．QUOTE∠BAP=∠CDP=90°證明：平面⊥平面；9．如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，．證明：平面⊥平面；10.如圖，四邊形為菱形，，是平面同一側的兩點，⊥平面，⊥平面，=2，⊥．證明：平面⊥平面；

易錯點13多面體的表面積和體積多面體，因其具有考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象的素養(yǎng)的特性，越來越引起出題專家組的青睞。易錯點1：基礎知識不扎實對立幾中一些常見結論要做到了然于胸，如：關于三棱錐中頂點在底面三角形上的射影問題的相關條件和結論要在理解的基礎上加以熟記；（2）在思維受阻時，要養(yǎng)成回頭看條件的習慣，問一問自己條件是否都用了呢？易錯點2：平面化處理意識不強，簡單的組合體畫不出適當?shù)慕孛鎴D致誤易錯點3：“想圖、畫圖、識圖、解圖”能力的欠缺，多面體與幾何體的結構特征不清楚導致計算錯誤?易錯點4：空間想象能力欠缺題組一：側面積與表面積1．（2020年全國三卷）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是 A． B． C． D．2．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為________.3．（2016年全國III）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為A．B．C．90D．81題組二：體積4．（2017新課標Ⅱ）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為A．B．C．D．5．（2015新課標）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為A．B．C．D．6.（2019全國Ⅲ理16）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐O—EFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為___________.7.（2019年新課標2卷）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有個面，其棱長為．題組三：圓柱和圓錐中的問題8．（2016全國II）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A．20πB．24πC．28πD．32π9．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學試題）已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐