高中數(shù)學必修四人教版112弧度制10課件

1.1.2弧度制1.1.2弧度制回顧問：我們是用什么單位來度量角的？1o的角是怎樣規(guī)定的？(2)規(guī)定周角的1/360叫做1度的角。(1)用度作單位來度量角的單位制叫做角度制。單位為“度”（即“o”）不能省略回顧問：我們是用什么單位來度量角的？1o的角是怎樣規(guī)定的？(一、弧度制新知探究

我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角?！盎《取背Ｓ谩皉ad”表示。設弧AB的長為:r若=r,則∠AOB==1弧度若=2r,則∠AOB=r=2radr=若=3r,則∠AOB=3radr=rOAB一、弧度制新知探究我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角

思考：若圓心角∠AOB表示一個順時針方向旋轉(zhuǎn)的角，且它所對的弧的長為3r,則∠AOB的弧度數(shù)的絕對值是？弧度數(shù)是？lr=3l=3rOABr-3弧度即∠AOB=－lr=－3rad︱∠AOB︳=思考：若圓心角∠AOB表示一個順時針方向旋轉(zhuǎn)的角，且它所對1.定義：我們規(guī)定，正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，任一已知角α的弧度數(shù)的絕對值：︱α︱=lr其中：

l——以角α為圓心角所對的弧長

r——α角所在圓的半徑這種用“弧度”做單位來度量角的制度，叫做弧度制。1.定義：︱α︱=lr其中：l——以角α為圓心角所對的弧

弧度數(shù)的計算公式可以用弧長與其半徑的比值來表示，那么一個角的弧度數(shù)與所在的圓的半徑之間存在一定的聯(lián)系么？若存在，請闡述是什么關系？若不存在，說明理由。問題1：結(jié)論：當圓心角一定時，它所對的弧長與半徑的比值是一定的，與所在圓的半徑大小無關?；《葦?shù)的計算公式可以用弧長與其半徑的比值來表示，那么一個2.弧度制與角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”為單位的度量角的單位制，角度制是以“度”為單位來度量角的單位制；1弧度≠1o；

（2）1弧度是弧長等于半徑長的圓弧所對的圓心角的大小，而1度是圓周所對的圓心角的大??；2.弧度制與角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”為單位（3）弧度制是十進制，它的表示是用一個實數(shù)表示，而角度制是六十進制；（4）以弧度和度為單位的角，都是一個與半徑無關的定值。（3）弧度制是十進制，它的表示是用一個實數(shù)表示，而角度制是六二、弧度與角度的換算

思考：1.若弧是一個整圓，其圓心角的弧度數(shù)是多少？

2.若弧是一個半圓，其圓心角的弧度數(shù)是多少？2πrad若l=2πr,則∠AOB=lr=若l=πr,則∠AOB=lr=πrad360°=2π弧度180°=π弧度l=2πrO（B）r二、弧度與角度的換算思考：1.若弧是一個整圓，其圓心角的問題2：180°=π弧度由公式你可推算出：1°等于多少弧度么？1弧度又等于多少度呢？180°=1°×1801°=——弧度≈0．01745弧度180π1弧度=（——）°≈57．30°=57°18′π180結(jié)論：問題2：180°=π弧度由公式例題1.（1）把67°30′化成弧度。（2）把—π

弧度化成度。53解：

解：

練習:

(1)把112o30′化成弧度（用π表示）。(2)把化為角度。例題1.（1）把67°30′化成弧度。（2）把

例2.請寫出一些特殊角的弧度數(shù)

注:

1.用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”二字或“rad”

通常省略不寫，但用“度”（°）為單位不能省。

2.用弧度為單位表示角時，通常寫成“多少π”的形式,

如無特別要求，不用將π化成小數(shù)。度

0o30o45o60o90o120o135o150o180o270o360o弧度數(shù)例2.請寫出一些特殊角的弧度數(shù)注:1.用弧度銳角：{θ|0°＜θ＜90°}直角：{θ|θ=90°}鈍角：{θ|90°＜θ＜180°}平角：{θ|θ=180°}0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}小于90°角：{θ|θ＜90°}例3：請用弧度制表示下列角度所在區(qū)間。銳角：{θ|0°＜θ＜90°}例3：請用弧度制表示下列角度所探究：你能根據(jù)角度制下的弧長公式和扇形面積公式換算出弧度制下的弧長公式和扇形面積公式么？弧長公式：l=nπR/180扇形面積公式：角度制：弧度制：弧長公式：l=αR扇形面積公式：s=?αR=?lR2三.弧長及扇形面積探究：你能根據(jù)角度制下的弧長公式和扇形面積公式換算出弧度制下

用弧度制表示弧長及扇形面積公式：

弧長等于弧所對的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值與半徑的積.①弧長公式：由公式：比公式簡單.用弧度制表示弧長及扇形面積公式：弧長等于弧所對的②扇形面積公式其中l(wèi)是扇形弧長，R是圓的半徑。證明：設扇形所對的圓心角為no(αrad)，則又αR=l，所以②扇形面積公式其中l(wèi)是扇形弧長，R是圓的半徑。證明：設扇證明2：因為圓心角為1rad的扇形面積是而弧長為l的扇形的圓心角的大小是rad.所以它的面積是證明2：因為圓心角為1rad的扇形面積是而弧長為l的扇形的解：因為60o=,所以l=α·r=×50≈52.5.例4.扇形AOB中，所對的圓心角是60o，半徑是50米，求的長l（精確到0.1米）?！蠥B⌒AB答：的長約為52.5米.⌒AB解：因為60o=,所以l=α·r=×例5.在半徑為R的圓中，240o的中心角所對的弧長為

，面積為2R2的扇形的中心角等于

弧度。解：（1）240o=，根據(jù)l=αR，得（2）根據(jù)S=lR=αR2，且S=2R2.所以α=4.例5.在半徑為R的圓中，240o的中心角所對的弧長為例6.與角－1825o的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是＿＿＿，合＿＿＿弧度。解：－1825o=－5×360o－25o，

所以與角－1825o的終邊相同，且絕對值最小的角是－25o.合例6.與角－1825o的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是＿例7.已知一半徑為R的扇形，它的周長等于所在圓的周長，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？解：周長=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.所以扇形的中心角是2(π－1)rad.合()o扇形面積是例7.已知一半徑為R的扇形，它的周長等于所在圓的周長，那么1.圓心角α所對弧長與半徑的比是一個僅與角α大小有關的常數(shù),所以作為度量角的標準.2.角度是一個量,弧度數(shù)表示弧長與半徑的比,是一個實數(shù),這樣在角集合與實數(shù)集之間就建立了一個一一對應關系.正角零角負角正實數(shù)零負實數(shù)小結(jié)1.圓心角α所對弧長與半徑的比是一個僅與角α大小有關的常數(shù),弧度制角度制度量單位弧度(10進制)度(60進制,1=60,1′=60)單位規(guī)定把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。周角的1/360叫做1度的角。換算關系

基本關系導出關系

弧度制角度制度量單位弧度(10進制)度(60進制,1=601.1.2弧度制1.1.2弧度制回顧問：我們是用什么單位來度量角的？1o的角是怎樣規(guī)定的？(2)規(guī)定周角的1/360叫做1度的角。(1)用度作單位來度量角的單位制叫做角度制。單位為“度”（即“o”）不能省略回顧問：我們是用什么單位來度量角的？1o的角是怎樣規(guī)定的？(一、弧度制新知探究

我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角?！盎《取背Ｓ谩皉ad”表示。設弧AB的長為:r若=r,則∠AOB==1弧度若=2r,則∠AOB=r=2radr=若=3r,則∠AOB=3radr=rOAB一、弧度制新知探究我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角

思考：若圓心角∠AOB表示一個順時針方向旋轉(zhuǎn)的角，且它所對的弧的長為3r,則∠AOB的弧度數(shù)的絕對值是？弧度數(shù)是？lr=3l=3rOABr-3弧度即∠AOB=－lr=－3rad︱∠AOB︳=思考：若圓心角∠AOB表示一個順時針方向旋轉(zhuǎn)的角，且它所對1.定義：我們規(guī)定，正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，任一已知角α的弧度數(shù)的絕對值：︱α︱=lr其中：

l——以角α為圓心角所對的弧長

r——α角所在圓的半徑這種用“弧度”做單位來度量角的制度，叫做弧度制。1.定義：︱α︱=lr其中：l——以角α為圓心角所對的弧

弧度數(shù)的計算公式可以用弧長與其半徑的比值來表示，那么一個角的弧度數(shù)與所在的圓的半徑之間存在一定的聯(lián)系么？若存在，請闡述是什么關系？若不存在，說明理由。問題1：結(jié)論：當圓心角一定時，它所對的弧長與半徑的比值是一定的，與所在圓的半徑大小無關?；《葦?shù)的計算公式可以用弧長與其半徑的比值來表示，那么一個2.弧度制與角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”為單位的度量角的單位制，角度制是以“度”為單位來度量角的單位制；1弧度≠1o；

（2）1弧度是弧長等于半徑長的圓弧所對的圓心角的大小，而1度是圓周所對的圓心角的大??；2.弧度制與角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”為單位（3）弧度制是十進制，它的表示是用一個實數(shù)表示，而角度制是六十進制；（4）以弧度和度為單位的角，都是一個與半徑無關的定值。（3）弧度制是十進制，它的表示是用一個實數(shù)表示，而角度制是六二、弧度與角度的換算

思考：1.若弧是一個整圓，其圓心角的弧度數(shù)是多少？

2.若弧是一個半圓，其圓心角的弧度數(shù)是多少？2πrad若l=2πr,則∠AOB=lr=若l=πr,則∠AOB=lr=πrad360°=2π弧度180°=π弧度l=2πrO（B）r二、弧度與角度的換算思考：1.若弧是一個整圓，其圓心角的問題2：180°=π弧度由公式你可推算出：1°等于多少弧度么？1弧度又等于多少度呢？180°=1°×1801°=——弧度≈0．01745弧度180π1弧度=（——）°≈57．30°=57°18′π180結(jié)論：問題2：180°=π弧度由公式例題1.（1）把67°30′化成弧度。（2）把—π

弧度化成度。53解：

解：

練習:

(1)把112o30′化成弧度（用π表示）。(2)把化為角度。例題1.（1）把67°30′化成弧度。（2）把

例2.請寫出一些特殊角的弧度數(shù)

注:

1.用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”二字或“rad”

通常省略不寫，但用“度”（°）為單位不能省。

2.用弧度為單位表示角時，通常寫成“多少π”的形式,

如無特別要求，不用將π化成小數(shù)。度

0o30o45o60o90o120o135o150o180o270o360o弧度數(shù)例2.請寫出一些特殊角的弧度數(shù)注:1.用弧度銳角：{θ|0°＜θ＜90°}直角：{θ|θ=90°}鈍角：{θ|90°＜θ＜180°}平角：{θ|θ=180°}0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}小于90°角：{θ|θ＜90°}例3：請用弧度制表示下列角度所在區(qū)間。銳角：{θ|0°＜θ＜90°}例3：請用弧度制表示下列角度所探究：你能根據(jù)角度制下的弧長公式和扇形面積公式換算出弧度制下的弧長公式和扇形面積公式么？弧長公式：l=nπR/180扇形面積公式：角度制：弧度制：弧長公式：l=αR扇形面積公式：s=?αR=?lR2三.弧長及扇形面積探究：你能根據(jù)角度制下的弧長公式和扇形面積公式換算出弧度制下

用弧度制表示弧長及扇形面積公式：

弧長等于弧所對的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值與半徑的積.①弧長公式：由公式：比公式簡單.用弧度制表示弧長及扇形面積公式：弧長等于弧所對的②扇形面積公式其中l(wèi)是扇形弧長，R是圓的半徑。證明：設扇形所對的圓心角為no(αrad)，則又αR=l，所以②扇形面積公式其中l(wèi)是扇形弧長，R是圓的半徑。證明：設扇證明2：因為圓心角為1rad的扇形面積是而弧長為l的扇形的圓心角的大小是rad.所以它的面積是證明2：因為圓心角為1rad的扇形面積是而弧長為l的扇形的解：因為60o=,所以l=α·r=×50≈52.5.例4.扇形AOB中，所對的圓心角是60o，半徑是50米，求的長l（精確到0.1米）。⌒AB⌒AB答：的長約為52.5米.⌒AB解：因為60o=,所以l=α·r=×例5.在半徑為R的圓中，240o的中心角所對的弧長為

，面積為2R2的扇形的中心角等于

弧度。解：（1）240o=，根據(jù)l=αR，