導數(shù)的定義及幾何意義

導 數(shù)一.知識梳理1．導數(shù)的概念及幾何意義 .2．求導的基本方法①定義法：fx=limyfxxfxxxx0②公式法：c0（c為常數(shù)）;(xn)=nxn1(n∈N);(uv)=uv3．導數(shù)的應用①求曲線切線的斜率及方程；②研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；③研究函數(shù)的圖象形態(tài)、性狀；④導數(shù)在不等式、方程根的分布（個數(shù)）、解析幾何等問題中的綜合應用．二．基礎訓練1.(04湖北高考)函數(shù)fx ax3 x 1有極值的充要條件是 ( )A.a0B.a0C.a<0D.a02．（04江蘇高考）函數(shù)fxx33x1在閉區(qū)間3，0上的最大值、最小值分別是（）A.1，-1B.1，-17C.3，-17D.9，-193.(05南通示范高中聯(lián)考)a>3,則方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有A0個根B1個根C2個根qx=-2cosx個根D3(05南通四縣市聯(lián)考)設函數(shù)y=f(x)在其定義域上可導,若f(x)的圖象如圖所示,下列判斷:①f(x)在(-2,0)上是減函數(shù);②x=-1時,f(x)取得極小值;-2-112③x=1時,f(x)取得極小值;f(x)在(-1,1)上是減函數(shù),在(1,2)上是增函數(shù).其中正確的是1A①② B ②③ C ③④ D ②③④5.(05宿遷三模)函數(shù)f(x)=-x 3+3x2+ax+c在(-∞,1]上是單調(diào)減函數(shù),則a的最大值是A-3B-1C1D33+ax與y=bx2+c的圖象的6．（05湘.19）設t≠0，點P(t，0)是函數(shù)f(x)=x一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線．(I)用t表示a，b，c；(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)-g(x) 在(-l，3)上單調(diào)遞減，求 t的取值范圍．三．典型例題例1.（05全國Ⅱ.21）設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a．（I）求f(x) 的極值；（Ⅱ）當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線 y=f(x)與x軸僅有一個交點．例2(05蘇州一模)已知f(x)=x3+ax+b定義在區(qū)間[-1，1]上，且．f(0)=f(1)，設xl，x2∈[-1，1]，且x1≠x2．1)求證：|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|；)|<1．2)若0<x<x≤1，求證：|f(x1)-f(x2l2例3（03天津高考）已知拋物線C：yx22x：yx2a，如果直1和C2線L同時是C1和C2的切線，稱L是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段。①a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程。2②若C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。導數(shù)鞏固練習1.(05蘇,錫，常,鎮(zhèn)一模)已知函數(shù)f(x)=2x3-1x2+m(m為常數(shù))圖象上點A2處的切線與直線x-y+3=0的夾角為450,則點A的橫坐標為()A.0B.1C.0或1D.1或1662.(05南通一模)已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d在區(qū)間[-1,2]上是單調(diào)減函數(shù),那么()A.有最大值15B.有最大值-15C.有最小值15D.有最小值-1522223．（04蘇州一模）若函數(shù)fxx33xa在區(qū)間0,3上的最大值，最小值分別為M，N，則M-N的值為()A.2B.4C.18D.204．(04徐州一模)拋物線y=1x2+x+2與圓x2+y2=r2(r>0)的一個交點為P，且2它們在交點P處的切線互相垂直，則r的一個值是()(A)2(B)3(C)22(D)105.(05重慶高考)曲線y=x3在點(a,a3)(a≠0)處的切線與x軸,直線x=a所圍成的三角形的面積為1,則a=63fx=3x-1x+1x6.（05江西卷(7)）已知函數(shù)y=xf(x)圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)6fx=-x+0.7x-1x-2的圖象大致是()4332-11-55-1-1-212-212-5-2-112-22ABCD-47．(05閩-6.20)已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的圖象過點P(0，2)，且在點M(-l,f(-1)) 處的切線方程為 6x-y+7=0．求函數(shù)y=f(x)的解析式；(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間．8．已知函數(shù)f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c為常數(shù)).若f(x)在x=1和x=3處取的極值,試求b、c的值；(II) 若f(x)在x∈(-∞,x1)、(x2,+∞)上單調(diào)遞增且在 x∈(x1,x2)上單調(diào)遞減,又滿足x2-x1＞1,求證：b2＞2(b+2c)；在(2)的條件下,若t＜x1，試比較t2+bt+c與x1的大小,并加以證明.參考答案基礎訓練:1.C 2.C3.B4.C5.A6.解:(I) 因為函數(shù)f(x),g(x) 的圖象都過點(t,0), 所以f(t)=0 ，g(t)=0 。f(t)=0 ，即t3+at=0。因為t≠0,所以a=-t2;g(t)=0，即bt2+c=0，所以c=ab．又因為f(x),g(x) 在點(t，0)處有相同的切線，所以f(x)=g(x)．而f(x)=3x2+a, g(x)=2bx，所以3t2+a=2bt．將a=-t2，代入上式得b=t，,因此c=ab=-t3,故a=-t2，b=t，c=-t3。．(Ⅱ)y=f(x) -g(x)=x3-tx2-t2x+t3y=3x2-2tx-t 2=(3x+t)(x-t) ．當y=(3x+t)(x-t)<0 時，函數(shù)y=f(x)-g(x) 單調(diào)遞減．4由y<0，若t>0，則-t<x<t；若t<0，則t<x<-t.3 3由題意，函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-l，3)上單調(diào)遞減，則(-l，3)(-t，t)(t，-t)3或(-l，3)3所以t≥3或-t≥3．即t≤-9或t≥3.3又當-9<t<3時，函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-l，3)上不單調(diào)遞減．所以t的取值范圍為（-∞，-9]∪[3，+∞）典型例題：例1．分析：歷經(jīng)多年的高考命題實踐，對“導數(shù)”的考查已從“導數(shù)”的簡單應用，如求曲線切線的斜率、研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，拓展到利用導數(shù)研究不等式、函數(shù)圖象的性態(tài)、方程根的分布與個數(shù)等問題，問題(Ⅱ)即是利用導數(shù)研究函數(shù)圖象性態(tài)的問題，(Ⅱ)也可等價變形為一個方程根的分布（個數(shù)）問題：“當a在什么范圍內(nèi)取值時，方程f(x)=0有且僅有一個根”。解：(I) f(x)=3x2-2x-1．若f(x)=0，則x=-1或1，3當x變化時，f(x)，f(x)變化情況如下表：x(-∞，-1)-1(-1,1)1(1，∞)333+f(x)+0-0+f(x)增極大值減極小值增所以f(x)的極大值是f(-1)=5+a,極小值是f(1)=a-1．327(Ⅱ)函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,由此可知x取足夠大的正數(shù)時，有f(x)>0，x取足夠小的負數(shù)時有f(x)<0．所以曲線，y=f(x)與x軸至少有一個交點．結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知：當f(x)的極大值寺5+a<0，即a∈(-∞，-5)時，它的極小值也小于0，2727因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點，它在(1，+∞)上；5當f(x)的極小值a-1>0，即a∈(1，+∞)時，它的極大值也大于0，因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點，它在(-∞，-1)上．35所以當a∈(-∞，- )時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點．例2．分析：對于一些代數(shù)不等式，人們習慣運用基本不等式和不等式的基本性質(zhì)進行證明，但有時技巧性很強，增加了問題解決的難度．如果能憑借導數(shù)這個先進工具，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題，那么不等式的證明就會變得簡單明了．證:1)略;2)由f(O)=f(1) 知a=-1，所以f(x)=x3-x+b．設g(x)=x3-x，則g(x)=3x2-1由g(x)>0得x<-3或x>3，33所以g(x)在(0，3)上遞減，在[3,1]上遞增．33當x∈(0,1)時,g(x)min=g(3)=-23，且g(0)=g(1)=0，39-23≤g(x)≤0．9當0<xl<x2≤1時，有|f(x1)-f(x2)|=|g(x1)-g(x2)||g(x1)|+|g(x2)|<232=43<199例3．分析：傳統(tǒng)的解析幾何中涉及切線的問題，常規(guī)的處理辦法是用“△”法來解決的，但有時計算量較大，容易出錯．如果能靈活運用導數(shù)的幾何意義去解決，則問題的解決往往變得簡單，清楚．解：⑴yx22x的導數(shù)為y2x2曲線C1在點Px1,x122x1的切線方程是yx122x12x12xx16即y2x12xx2①1yx2a的導數(shù)y2x曲線C2在點Qx2,x22a的切線方程是yx22a2x2xx2即y2x2xx22a②如果直線L是過P和Q的公切線，則①②都是L的方程，所以x1212x2，消x2得2x122x11a0x1x2a若4421a0即a1時，解得x1122此時點P與Q重合，即當a1時，C1和C2有且僅有一條公切線為2x1。4⑵證明：由⑴可知，當 a 1時，C1和C2有兩條公切線，設一條公切線2上切點為Px1,y1,Qx2,y2，其中P在C1上，Q在C2上，則有x1 x2 1 ，y1 y2 x12 2x1 x22 a x12 x1 x1 12 a 1 a ，所以線段PQ的中點為 1, 1 a ，同理，另一條公切線PQ的中點也是 1,1a，2 2 2 2所以公切線段PQ和PQ互相平分。鞏固練習1.C 2.B 3.C 4 ．C 5. ±1 6.c7．解：(I)由f(x)的圖象經(jīng)過P(0，2)，知d=2，所以f(x)=x3+bx2+cx+2，f(x)=3x2+2bx+c．由在M(-l,f(-1)) 處的切線方程是 6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0 ．即f(-1)=l ，f(1)=6．7∴32bc6解得b=c=-3．故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2．1bc21(Ⅱ)2，令=O，解得x=1-，x=l+f(x)=3x-6x-3f(x)2212當x<1-2，或x>l+2時，f(x)>0；當1-2<x<l+2時，f(x)<0.故f(x)=x3-3x2-3x+2在(一∞，1- 2)內(nèi)是增函數(shù)，在(1- 2，l+ 2)內(nèi)是減函數(shù)，在(1+ 2，+∞)內(nèi)是增函數(shù)．8．(I)f /(x)=x2+(b-1)x+c,據(jù)題意知,1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的兩根,∴1-b=1+3=4,c=1×3=3,即b=-3,c=3由題意知,當x∈(-∞,x1)、(x2,+∞)時,f/(x)＞0；當x∈(x1,x2)時,f/(x)＜0.所以x、x2的兩根,則x+x=1-b,xx=c.是方程x+(b-1)x+c=0112122∴b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=[1-(x1+x2)2]-2[1-(x1