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文檔簡(jiǎn)介
第二章隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析、確定性信號(hào)分析的不同與聯(lián)系:隨機(jī)信號(hào)分析的主要內(nèi)容:隨機(jī)過程的一般表述平穩(wěn)隨機(jī)過程過程窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶
過程平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2020/11/251引言信號(hào):一般是時(shí)間的函數(shù)確定信號(hào):可以用確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)周期信號(hào)和非周期信號(hào)能量信號(hào)和功率信號(hào)基帶信號(hào)和頻帶信號(hào)模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)隨機(jī)信號(hào):具有隨機(jī)性,可用統(tǒng)計(jì)規(guī)律來描述通信過程中要發(fā)送的信號(hào)是不可預(yù)知的,因此具有隨機(jī)性,是隨機(jī)信號(hào),但信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性具有規(guī)律性。噪聲和干擾是隨機(jī)的信號(hào);無線信道特性(可理解為系統(tǒng)傳遞函數(shù))也是隨化的。2020/11/252隨機(jī)過程:與時(shí)間有關(guān)的函數(shù),但任一時(shí)刻的取值不確定(隨
量)隨機(jī)過程可以看成對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)的時(shí)間過程的集合。如n(或無數(shù))臺(tái)性能完全的輸出的噪聲波形,每個(gè)波形都是一個(gè)確定函數(shù),為一個(gè)樣本,函數(shù),各波形又各不相同。也可看成一個(gè)不同實(shí)驗(yàn)輸出不同的樣本函數(shù)。隨機(jī)過程是所有樣本函數(shù)的集合。2020/11/2531
隨機(jī)過程的一般表述(1)樣本函數(shù):隨機(jī)過程的具體實(shí)現(xiàn)樣本空間:所有實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的全體所有樣本函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)特性構(gòu)成了隨機(jī)過程xiS
x1
(t)i~
(t
)2020/11/254隨機(jī)過程是隨
量概念的延伸,即隨量引入時(shí)間變量,成為隨機(jī)過程。每一個(gè)時(shí)刻,對(duì)應(yīng)每個(gè)樣本函數(shù)的取值{xi(t),i=1,2,…,n}是一個(gè)隨
量。固定時(shí)刻t1的隨
量計(jì)為ξ(t1)。隨機(jī)過程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨
量的集合。2020/11/2551
隨機(jī)過程的一般表述(2)分布函數(shù)與概率密度隨機(jī)過程ξ(t)在任意時(shí)刻t1是一個(gè)隨量ξ(t1),其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)與概率密度函數(shù)來表示一維分布函數(shù)F1
x1
,
t1
P1一維概率密度f1
x1
,
t1
F1
x1
,
t1
1x2020/11/256xn
;
t1
,
t2
,Fn
x1
,
x2
,
tn
P
t1
x1
,
t2
x2
, ,
tn
xn
n
維概率密度函數(shù)12nnn
1
2nxn
;
t1
,
t2
,fn
x1
,
x2
,
tn
x
;
t
,
t
,
t
F x
,
x
,x1x2
xn一維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)僅描述了隨機(jī)過程在任一瞬間的統(tǒng)計(jì)特性,進(jìn)而可以對(duì)任意固定的n個(gè)時(shí)刻進(jìn)行概率分布與概率密度的描述。n
維分布概率函數(shù)2020/11/257顯然n
越大,對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分。當(dāng)然實(shí)際上是根據(jù)需要來確定維數(shù)的。2020/11/258隨機(jī)過程的n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)往往不容易或不需要得到,常常用數(shù)字特征部分地表述隨機(jī)過程的主要特征。對(duì)于通信系統(tǒng)而言,隨機(jī)過程的數(shù)字特征就可以滿足需要,也會(huì)有明確定的物理含義,還可以測(cè)量。如通信信號(hào)的方差就是交流功率。1
隨機(jī)過程的一般表述(3)
1E
(t)
xf
x,
t
dx
a(t)隨機(jī)過程ξ(t)的數(shù)字特征ξ(t)的均值或數(shù)學(xué)期望t的引入說明隨
量、均值是時(shí)間的函數(shù)注意:ξ(t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù),它表示隨機(jī)過程的n個(gè)(也
無數(shù)個(gè))樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。方差D
(t
)
E
(t
)
E
(t
)2
E
2
(t
)
a2
(t
)
2
(t
)注:均值和方差只與一維概率密度函數(shù)有關(guān),它們反映了隨機(jī)過程各時(shí)刻的特征。2020/11/259自協(xié)方差函數(shù)B
t1
,
t2
E
(t1
)
a(t1
)
(t2
)
a(t2
)
R
t1
,
t2
a(t1
)a(t2
)注:若隨機(jī)過程的均值為0,則自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)完全相同;即使均值不為0,二者描述的隨機(jī)過程的特征也是一樣的。常用自相關(guān)函數(shù)。
1
211
2
2
1
2
1
2
1
2R t
,
t
E
(t
)
(tx
x
f x
,
x;t
,
t dx
dx
2
)
相關(guān)函數(shù)表征隨機(jī)過程的內(nèi)在聯(lián)系,即隨機(jī)過程任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨
量之間的關(guān)聯(lián)程度。自相關(guān)函數(shù)2020/11/2510
t1
,
t2
(t
)2020/11/25111若
t1
,t2
0,稱12相關(guān)系數(shù)1
隨機(jī)過程的一般表述(4)兩隨機(jī)過程的聯(lián)合分布函數(shù)和概率密度(n+m)維聯(lián)合分布函數(shù)
1'11
11mnnxn
;x
, ,
tFn
m
x1
,
P
t
x
;
t
y
,1111
n
1n
1mmn
1n
1mmf
x
,
x
;
t
,
t
;
y
,
y
;
t
'
,t
't
'n
mn
mF
x
,
x
;
t
,
t
;
y
,
y
;
t
'
,x1
xn
y1
ym(n+m)維聯(lián)合概率密度1n對(duì)于(n
m)維隨機(jī)向量
t1n,m,若有Fn
m
Fn
Fm
或fn
m
fn
fm
t
和
t
相互獨(dú)立2020/11/25121
隨機(jī)過程的一般表述(5)
1
21
2
2
1
1
2
21
2R t
,
t
E兩隨機(jī)過程的數(shù)字特征互相關(guān)函數(shù)
(t
)(t
)
1 2
x
y
f x
;t
;
y
;tdx
dy
B
t1
,
t2互協(xié)方差函數(shù)B
t1
,
t2
E
R
t1
,
t2
a
(t1
)a
(t2
)t1
,
t2
t
和
t
不相關(guān)2020/11/25132
平穩(wěn)隨機(jī)過程(1)狹義平穩(wěn)(嚴(yán)平穩(wěn))xn
;
t1
,
t2
,fn
x1
,
x2
,
tn
xn
;
t1
,
t2
,
fn
x1
,
x2
,
tn
,
n,一維分布與時(shí)間無關(guān),二維分布只與時(shí)間間隔(t1
-t2
)有關(guān)f1
x1
;
t1
f1
x1
;
t1
f1
x1
,
t2f2
x1
,
x2
;
t1
,
t2
f2
x1
,
x2
;t1
f2
x1
,
x2
;
t1
t2
數(shù)字特征
22
E
(t
)
aD
(t
)
E
(t
)
a
21
1
R
t1
,
t1
R
B
t
,
t
R
a2廣義平穩(wěn)(寬平穩(wěn))E
(t)
a(2)
Rt1
,
t1
R
2020/11/25142
平穩(wěn)隨機(jī)過程(2)各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性、
德性):隨機(jī)過程的任一實(shí)現(xiàn),經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)隨機(jī)過程的數(shù)字特征,可以由其任一實(shí)現(xiàn)(樣本函數(shù))的數(shù)字特征來代表遍歷過程必定是平穩(wěn)過程,反之不然。
T
2T
2T
2T
21Tx(t
)dt1x(t
)
x(t
)dtT
limT
T
x(t
)x(t
)
limx
ta
x(t
)
R(
)
x(t
)
x(t
)遍歷時(shí)間平均代替統(tǒng)計(jì)平均思考:為什么要研究隨機(jī)平穩(wěn)隨機(jī)過程2020/11/25152
平穩(wěn)隨機(jī)過程(3)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)偶函數(shù):R(
)有界性:R(
)
R(0)統(tǒng)計(jì)平均功率:E
2
t
R(0)直流功率:E
2
t
T
).R()
lim
E
E
t
E
t
交流功率:
2
R(0)
R()
E
2
t
=E[(t)]
E[(t+τ)]=
E2
[(t)]2020/11/2516
lim
R(
)
l2020/11/25172
平穩(wěn)隨機(jī)過程(4)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度(統(tǒng)計(jì)平均)
2
TE
FTT
P
(
)
E
P
(
)
lim
x
注:fT
tP
0維納
辛T
12P
dR
0
1
0
G
d2
G
2
f
df0
j
dP
(
)
R(
)e
(
)
jt
deP12R(
)
圖:功率信號(hào)與截?cái)嗪瘮?shù)2020/11/25182
平穩(wěn)隨機(jī)過程(5)
例.
t
Acos
0
t
,
0為常數(shù),
0,
2
上均勻分布的隨 量.
計(jì)算其數(shù)字特征。a
t
E
A
Acos0
t
E
cos
Asin0t
E
sin
2020001212
Acos
tcos
d
Asin
tsin
d
A
E
cos0
t
cos
sin0
t
sin
0R
t1
,
t2
E
A
cos0
120
2
10
1
21cos
t
A
E
t
cos
t
t
2
2
2
AA22
2cos0cos0
t2
t1
0
其中τ=t2-t1
ξ(t)數(shù)學(xué)期望是常數(shù),自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān),所以ξ(t)是廣義平穩(wěn)過程。2020/11/2519其功率譜密度為:0
0
2
P
F
R
ξ(t)的時(shí)間平均值如下:T2T2cAcos(
t
)dt
0TT
a
lim
122cAcos(
tTTT
R(
)
lim
1T22020/11/2520T2222Tcos
2
c2
AcTA2
TT
limcos
dt
cos(2c
t
c
2
]dt結(jié)論:隨機(jī)相位余弦波是遍歷的。3
過程(1)定義:任意n
維概率密度是正態(tài)分布式
j
1
k
1
1
1
2
Bnn
2
1
2fn
x1
,
x2
,
exp
2
1
2
n
Bjk
j
B式中ak是均值,σ2是方差,│B│是規(guī)一化協(xié)方差矩陣的行列式。概率密度函數(shù)僅取決于各隨 量的均值、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)(相關(guān)系數(shù))2020/11/2521b1n211
b12
…b
1
…
b2nbn1
bn2…
1B
…………|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù) 式,bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù),見
(3.3-3)。3過程(2)2020/11/2522重要性質(zhì):過程的n維分布只依賴各個(gè)隨
量的均值、方差和規(guī)一化協(xié)方差,因此只需研究它的數(shù)字特征就可以了。廣義平穩(wěn)
狹義平穩(wěn)各隨
量之間互不相關(guān)
統(tǒng)計(jì)獨(dú)立過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是過程。即過程,則系統(tǒng)輸出的也是
過線性系統(tǒng)的輸入是程。2020/11/25233
過程(3)一維正態(tài)分布2
2
x
a
2
1f
(
x)
exp
2
關(guān)于a
對(duì)稱:f
(a+x)=f
(a-x)在點(diǎn)a
處取極大值:1212f
(
x)dx
aa
f
(
x)dx
a f
x
左右平移
f
x
寬窄1
1
2
2
112
axf
x2020/11/25243
過程(4)概率積分函數(shù):
x
a
1(
x)
22xdzz2
exp
標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布:(a
=
0,σ=1)1f
(
x)
x2
exp
2
2
概率分布函數(shù):
F
(
x)
1xdz
2
2
z
a
22
e2020/11/2525誤差函數(shù)與互補(bǔ)誤差函數(shù)分別表示部下的面積密度函數(shù)曲線尾20x
ze
dz
2erf
(
x)
2erfc(
x)
1
erf
(
x)
2x
1誤差函數(shù):1u2Q(a)
2
a1
a
exp
2
du
2
erfc
2
Q函數(shù):2x
z2e
dz互補(bǔ)誤差函數(shù):Q函數(shù)也是一種表示曲線尾部下的面積的函數(shù)。2020/11/25262020/11/25274
窄帶隨機(jī)過程
(1)1.窄帶隨機(jī)過程定義:隨機(jī)過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出,即是窄帶過程。所謂窄帶系統(tǒng),是指其通帶寬度Δf<<fc,且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中,大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的,通過窄帶系統(tǒng)的信號(hào)或噪聲必是窄帶的,如果這時(shí)的信號(hào)或噪聲又是隨機(jī)的,則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程。如用示波器觀察一個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形,則如圖2—4所示,它是一個(gè)頻率近似為fc,包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。4
窄帶隨機(jī)過程
(2)£fcOS(
f
)fffcf(a)tOS(
f
)緩慢變化的包絡(luò)[a(t)]頻率近似為
fc(b)注意慢變化的包絡(luò)與窄帶信號(hào)的關(guān)系2020/11/2528因此,窄帶隨機(jī)過程ξ(t)可用下式表示:ξ(t)=aξ(t)
cos[ωct+φξ(t)],
aξ(t)≥0等價(jià)式為ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct其中:ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t)ξs(t)=aξ(t)
sinφξ(t)式中,aξ(t)及φξ(t)分別是ξ(t)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位,ξc(t)及ξs(t)分別稱為ξ(t)的同相分量和正交分量。4
窄帶隨機(jī)過程
(3)用同相分量和正交分量表示信號(hào)的形式很有用2020/11/25292020/11/2530同相分量和正交分量也是隨機(jī)過程,顯然它們的變化相對(duì)于載波cosωct的變化要緩慢得多。由前4式看出,ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性可由aξ(t),φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之,如果已知ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t),ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性。4
窄帶隨機(jī)過程
(4)2.設(shè)窄帶過程ξ(t)是平穩(wěn) 窄帶過程,且均值為零,
方差為c
s。下面將證明它的同相分量ξ
(t)和正交分量ξ
(t)也是零均值的平穩(wěn)
過程,而且與ξ(t)具有相同的方差。
1)數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望:E[ξ(t)]=E[ξc(t)]cosωct-E[ξs(t)]sinωct∵ξ(t)平穩(wěn)、均值為0,∴對(duì)任意t都有E[ξ(t)]=0可得:4
窄帶隨機(jī)過程
(5)22020/11/25312020/11/2532E[ξc(t)]=0;
E[ξs(t)]=02)自相關(guān)函數(shù)Rξ(t,
t+τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]=E{[ξc(t)cosωct-ξs(t)
sinωct]·[ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ)sinωc(t+τ)]}=Rc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-Rcs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)-Rsc(t,
t+τ)
sinωctcosωc(t+τ)+Rs(t,
t+τ)
sinωctsinωc(t+τ)(3.5-7)4
窄帶隨機(jī)過程
(6)2020/11/2533式中Rc(t,
t+τ)=E[ξc(t)ξc(t+τ)]Rcs(t,
t+τ)=E[ξc(t)ξs(t+τ)]Rsc(t,
t+τ)=E[ξs(t)ξc(t+τ)]Rs(t,t+τ)=E[ξs(t)ξs(t+τ)]因?yàn)棣?t)是平穩(wěn)的,故有
Rξ(t,
t+τ)=R(τ)即(3.5-7)式與時(shí)間t無關(guān),僅與τ有關(guān)。所以令t=0,(3.5-7)式還成立,變?yōu)椋?
窄帶隨機(jī)過程
(7)Rξ(τ)=Rc(t,t+τ)
cosωcτ-Rcs(t,t+τ)sinωcτ這時(shí),顯然應(yīng)有Rc(t,t+τ)=Rc(τ)Rcs(t,t+τ)=Rcs(τ)所以,Rξ(τ)=Rc(τ)cosωcτ-Rcs(τ)
sinωcτ再取使cosωct=0的t值,令t=π/2ωcRξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ)2020/11/25344
窄帶隨機(jī)過程
(8)2020/11/2535其中應(yīng)有Rs(t,t+τ)=Rs(τ)Rsc(t,
t+τ)=Rsc(τ)由以上的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知,如果窄帶過程ξ(t)是平穩(wěn)的,則ξc(t)與ξs(t)也必將是平穩(wěn)的。進(jìn)一步分析有Rc(τ)=Rs(τ)
Rcs(τ)=-Rsc(τ)可見,同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù),而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),應(yīng)有4
窄帶隨機(jī)過程
(9)2020/11/2536Rcs(τ)=Rsc(-τ)將上式代入式(2.5-12),可得Rsc(τ)=-Rsc(-τ)同理可推得Rcs(τ)=-Rcs(-τ)所以ξc(t)、ξs(t)的互相關(guān)函數(shù)Rsc(τ)、Rcs(τ)都是τ的奇函數(shù),在τ=0Rsc(0)=Rcs(0)=04
窄帶隨機(jī)過程(10)于是得到Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0)即σ2ξ=σ2c=σ2s結(jié)論:ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差(因?yàn)榫禐?)。另外,因?yàn)?/p>
過程ξ(t)是平穩(wěn)的,所以ξ(t)在任意時(shí)刻的取值都是服從
分布的隨
量,
故有4
窄帶隨機(jī)過程
(11)2020/11/2537取t=t1=0
時(shí),ξ(t1)=ξc(t1)取t=t2=π/(2ωc)時(shí),ξ(t2)=ξs(t2)所以ξc(t1),ξs(t2)也是隨量,從而ξc(t)、ξs(t)也是隨機(jī)過程。又,ξc(t)、ξs(t)在同一時(shí)刻的取值是互不相關(guān)的隨量,因而它們還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。重要結(jié)論:一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是平穩(wěn)過程ξ(t),它的過程,而且均值都為零,方差也相同。此外,在同一時(shí)刻上得到的ξc和ξs是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。4
窄帶隨機(jī)過程
(12)2020/11/25383.由上面的分析可知,ξc和ξs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(ξc,ξs)=f(ξc)·f(ξs
)=1222
22
2
exp[
c s
]設(shè)aξ,φξ的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(aξ, φξ),則利用概率論知識(shí),(
,
)
c
s
(a
,
)量之間的關(guān)系f(aξ,
φξ)=f(ξc,
ξs)根據(jù)兩式在t時(shí)刻隨ξc=aξcosφξξs=aξsinφξ4
窄帶隨機(jī)過程
(13)2020/11/2539得到c
s(
,
)(a
,
)c
sa
a
c
s
aCosφξ
sinφξ-aξsinφξ
aξcosφξ=于是f(aξ,φξ)
=aξf(ξc,ξs)=2exp[]22(a
cos
)2
(a
sin
)2exp[
]2020/11/2540(a2a2222注意,這里aξ≥0,
而φξ在(0,2π)內(nèi)取值。再利用概率論中邊際分布知識(shí)將f(aξ,φξ)對(duì)φξ積分,可求得包絡(luò)aξ的一維概率密度函數(shù)為4
窄帶隨機(jī)過程
(14)0af
(a
)
2f
(a
,
)d
exp[2]d2a2a222
exp[],
a
0可見,aξ服從瑞利分布。同理,f(aξ,φξ)對(duì)aξ積分可求得相位φξ的一維概率密度函f(φξ)=a2001f
(a22
可見,φξ服從均勻分布。4
窄帶隨機(jī)過程
(15)2020/11/2541重要結(jié)論:一個(gè)均值為零,方差為σ2ξ的窄帶平穩(wěn)過程ξ(t),其包絡(luò)aξ(t)的一維分布是瑞利分布,相位φξ(t)的一維分布是均勻分布,并且就一維分布而言,aξ(t)與φξ(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,即有下式成立:f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ)4
窄帶隨機(jī)過程
(16)2020/11/25424窄帶隨機(jī)過程(17)結(jié)論:一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)過程,其同過程,而且均值都為零,方差也相同;在同一時(shí)刻上的同相分量與正交分量是不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。其包絡(luò)的一維分布是瑞利分布,而其相位的一維分布是均勻分布,并且就一維分布而言,包絡(luò)和相位是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。2020/11/25435
正弦波加窄帶
過程(1)常用調(diào)制:正弦波作為載波加濾波器的作用:選擇信號(hào)、濾除噪聲輸出的是正弦已調(diào)信號(hào)與窄帶噪聲的混合波形2020/11/25445
正弦波加窄帶
過程(2)混合信號(hào)
r
t
cos
ct
nt
■
0,2
均勻分布sct
ns
t
sinctn表示方法1平穩(wěn)噪聲,均值為零r
t
Acos
nc
t
cosc
t
A
sin
ns
t
sinc
tzs
分布,同一時(shí)刻相互獨(dú)立s
zc
zc
t
,
zs
t
E
zc
t
Acos(3)2csD
z
t
t
Dn
t
D
z
12
22
2c
sf
z
,
z
z
Acos
2
z
Asin
2
exp
c
s
2020/11/25455
正弦波加窄帶過程(3)表示方法2r
t
z
t
cos
c
22cssz
tz
t
zc
t
z
t
z
t
t
arctg其中2f
(z)
Az
z2
2I12
2
z
exp
A,
z
00
2
廣義瑞利分布(萊斯分布)A=0,f
(z)~
瑞利分布A>>,f
(z)~
近似分布2020/11/25466
平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(1)輸出隨機(jī)過程的均值
oi
h
dE
t
E
t
0
h
d
ai
0輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度R
t,
t
Eo
oi
0
0oR
u
v
hu
hv
dudv
R
平穩(wěn)
2ooiP
H
P
F
R
x(t)i
t
y(t
)
x(t)
h(t)o
t
i2020/11/2547h(t)
iE
t
h
d0
i
a
H
02020/11/2548重要結(jié)論:輸出過程度功率譜密度是輸入過程度功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。6
平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(2)i
t
和o
t
的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度R
t,
t
Ei
o
i
R
i
i
oiP
H
P
i
o
F
R例.若輸入i
t
為白噪聲,即R
,則N02ioR
N0
h
N0
h
2
2o
(t
)
io0i
o1TT
(t
)
(t
)dt
Rh(t
)i
(t
)延遲0T
dt1T22020/11/2549N
0
h
6
平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(3)
?
t
的自相關(guān)函數(shù)R
,求
t
和H
(
)
t
的相關(guān)特性.例.已知1
t?(t
)
(t
)
2?
H
P P R?
(
)
?1
R
RR?
?奇函數(shù)奇函數(shù)R?
0?
t
與?
t
同一時(shí)刻互不相關(guān)獨(dú)立i
t
正態(tài)隨機(jī)過程■o
t
正態(tài)隨機(jī)過程線性變換YXRXY
(
)
2020/11/2550
P
?
R
R?
7白噪聲和帶限白噪聲白噪聲n
(t)定義:功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲,即—雙邊功率譜密度或(0
f
)
-單邊功率譜密度式中n0
-正常數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù):對(duì)雙邊功率譜密度取反變換,得到相關(guān)函數(shù):20nnP
(
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