隨機(jī)-第3章-信號(hào)分析

第二章隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析、確定性信號(hào)分析的不同與聯(lián)系：隨機(jī)信號(hào)分析的主要內(nèi)容：隨機(jī)過程的一般表述平穩(wěn)隨機(jī)過程過程窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶

過程平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2020/11/251引言信號(hào)：一般是時(shí)間的函數(shù)確定信號(hào)：可以用確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)周期信號(hào)和非周期信號(hào)能量信號(hào)和功率信號(hào)基帶信號(hào)和頻帶信號(hào)模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)隨機(jī)信號(hào)：具有隨機(jī)性，可用統(tǒng)計(jì)規(guī)律來描述通信過程中要發(fā)送的信號(hào)是不可預(yù)知的，因此具有隨機(jī)性，是隨機(jī)信號(hào)，但信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性具有規(guī)律性。噪聲和干擾是隨機(jī)的信號(hào)；無線信道特性（可理解為系統(tǒng)傳遞函數(shù)）也是隨化的。2020/11/252隨機(jī)過程：與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)，但任一時(shí)刻的取值不確定(隨

量)隨機(jī)過程可以看成對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)的時(shí)間過程的集合。如n(或無數(shù)）臺(tái)性能完全的輸出的噪聲波形，每個(gè)波形都是一個(gè)確定函數(shù)，為一個(gè)樣本，函數(shù)，各波形又各不相同。也可看成一個(gè)不同實(shí)驗(yàn)輸出不同的樣本函數(shù)。隨機(jī)過程是所有樣本函數(shù)的集合。2020/11/2531

隨機(jī)過程的一般表述(1)樣本函數(shù)：隨機(jī)過程的具體實(shí)現(xiàn)樣本空間：所有實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的全體所有樣本函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)特性構(gòu)成了隨機(jī)過程xiS

x1

(t)i~

(t

)2020/11/254隨機(jī)過程是隨

量概念的延伸，即隨量引入時(shí)間變量，成為隨機(jī)過程。每一個(gè)時(shí)刻，對(duì)應(yīng)每個(gè)樣本函數(shù)的取值{xi(t),i=1,2,…,n}是一個(gè)隨

量。固定時(shí)刻t1的隨

量計(jì)為ξ(t1)。隨機(jī)過程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨

量的集合。2020/11/2551

隨機(jī)過程的一般表述(2)分布函數(shù)與概率密度隨機(jī)過程ξ(t)在任意時(shí)刻t1是一個(gè)隨量ξ(t1)，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)與概率密度函數(shù)來表示一維分布函數(shù)F1

x1

,

t1

P1一維概率密度f1

x1

,

t1

F1

x1

,

t1

1x2020/11/256xn

;

t1

,

t2

,Fn

x1

,

x2

,

tn

P

t1

x1

,

t2

x2

, ,

tn

xn

n

維概率密度函數(shù)12nnn

1

2nxn

;

t1

,

t2

,fn

x1

,

x2

,

tn

x

;

t

,

t

,

t

F x

,

x

,x1x2

xn一維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)僅描述了隨機(jī)過程在任一瞬間的統(tǒng)計(jì)特性，進(jìn)而可以對(duì)任意固定的n個(gè)時(shí)刻進(jìn)行概率分布與概率密度的描述。n

維分布概率函數(shù)2020/11/257顯然n

越大，對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分。當(dāng)然實(shí)際上是根據(jù)需要來確定維數(shù)的。2020/11/258隨機(jī)過程的n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)往往不容易或不需要得到，常常用數(shù)字特征部分地表述隨機(jī)過程的主要特征。對(duì)于通信系統(tǒng)而言，隨機(jī)過程的數(shù)字特征就可以滿足需要，也會(huì)有明確定的物理含義，還可以測(cè)量。如通信信號(hào)的方差就是交流功率。1

隨機(jī)過程的一般表述(3)

1E

(t)

xf

x,

t

dx

a(t)隨機(jī)過程ξ(t)的數(shù)字特征ξ(t)的均值或數(shù)學(xué)期望t的引入說明隨

量、均值是時(shí)間的函數(shù)注意：ξ(t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)（也

無數(shù)個(gè)）樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。方差D

(t

)

E

(t

)

E

(t

)2

E

2

(t

)

a2

(t

)

2

(t

)注：均值和方差只與一維概率密度函數(shù)有關(guān)，它們反映了隨機(jī)過程各時(shí)刻的特征。2020/11/259自協(xié)方差函數(shù)B

t1

,

t2

E

(t1

)

a(t1

)

(t2

)

a(t2

)

R

t1

,

t2

a(t1

)a(t2

)注：若隨機(jī)過程的均值為0，則自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)完全相同；即使均值不為0，二者描述的隨機(jī)過程的特征也是一樣的。常用自相關(guān)函數(shù)。

1

211

2

2

1

2

1

2

1

2R t

,

t

E

(t

)

(tx

x

f x

,

x;t

,

t dx

dx

2

)

相關(guān)函數(shù)表征隨機(jī)過程的內(nèi)在聯(lián)系，即隨機(jī)過程任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨

量之間的關(guān)聯(lián)程度。自相關(guān)函數(shù)2020/11/2510

t1

,

t2

(t

)2020/11/25111若

t1

,t2

0，稱12相關(guān)系數(shù)1

隨機(jī)過程的一般表述(4)兩隨機(jī)過程的聯(lián)合分布函數(shù)和概率密度(n+m)維聯(lián)合分布函數(shù)

1'11

11mnnxn

;x

, ,

tFn

m

x1

,

P

t

x

;

t

y

,1111

n

1n

1mmn

1n

1mmf

x

,

x

;

t

,

t

;

y

,

y

;

t

'

,t

't

'n

mn

mF

x

,

x

;

t

,

t

;

y

,

y

;

t

'

,x1

xn

y1

ym(n+m)維聯(lián)合概率密度1n對(duì)于(n

m)維隨機(jī)向量

t1n,m,若有Fn

m

Fn

Fm

或fn

m

fn

fm

t

和

t

相互獨(dú)立2020/11/25121

隨機(jī)過程的一般表述(5)

1

21

2

2

1

1

2

21

2R t

,

t

E兩隨機(jī)過程的數(shù)字特征互相關(guān)函數(shù)

(t

)(t

)

1 2

x

y

f x

;t

;

y

;tdx

dy

B

t1

,

t2互協(xié)方差函數(shù)B

t1

,

t2

E

R

t1

,

t2

a

(t1

)a

(t2

)t1

,

t2

t

和

t

不相關(guān)2020/11/25132

平穩(wěn)隨機(jī)過程(1)狹義平穩(wěn)(嚴(yán)平穩(wěn))xn

;

t1

,

t2

,fn

x1

,

x2

,

tn

xn

;

t1

,

t2

,

fn

x1

,

x2

,

tn

，

n,一維分布與時(shí)間無關(guān)，二維分布只與時(shí)間間隔(t1

-t2

)有關(guān)f1

x1

;

t1

f1

x1

;

t1

f1

x1

,

t2f2

x1

,

x2

;

t1

,

t2

f2

x1

,

x2

;t1

f2

x1

,

x2

;

t1

t2

數(shù)字特征

22

E

(t

)

aD

(t

)

E

(t

)

a

21

1

R

t1

,

t1

R

B

t

,

t

R

a2廣義平穩(wěn)(寬平穩(wěn))E

(t)

a(2)

Rt1

,

t1

R

2020/11/25142

平穩(wěn)隨機(jī)過程(2)各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性、

德性)：隨機(jī)過程的任一實(shí)現(xiàn)，經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)隨機(jī)過程的數(shù)字特征，可以由其任一實(shí)現(xiàn)(樣本函數(shù))的數(shù)字特征來代表遍歷過程必定是平穩(wěn)過程，反之不然。

T

2T

2T

2T

21Tx(t

)dt1x(t

)

x(t

)dtT

limT

T

x(t

)x(t

)

limx

ta

x(t

)

R(

)

x(t

)

x(t

)遍歷時(shí)間平均代替統(tǒng)計(jì)平均思考：為什么要研究隨機(jī)平穩(wěn)隨機(jī)過程2020/11/25152

平穩(wěn)隨機(jī)過程(3)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)偶函數(shù)：R(

)有界性：R(

)

R(0)統(tǒng)計(jì)平均功率：E

2

t

R(0)直流功率：E

2

t

T

).R()

lim

E

E

t

E

t

交流功率：

2

R(0)

R()

E

2

t

=E[(t)]

E[(t+τ)]=

E2

[(t)]2020/11/2516

lim

R(

)

l2020/11/25172

平穩(wěn)隨機(jī)過程(4)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度(統(tǒng)計(jì)平均)

2

TE

FTT

P

(

)

E

P

(

)

lim

x

注：fT

tP

0維納

辛T

12P

dR

0

1

0

G

d2

G

2

f

df0

j

dP

(

)

R(

)e

(

)

jt

deP12R(

)

圖：功率信號(hào)與截?cái)嗪瘮?shù)2020/11/25182

平穩(wěn)隨機(jī)過程(5)

例.

t

Acos

0

t

,

0為常數(shù)，

0,

2

上均勻分布的隨 量.

計(jì)算其數(shù)字特征。a

t

E

A

Acos0

t

E

cos

Asin0t

E

sin

2020001212

Acos

tcos

d

Asin

tsin

d

A

E

cos0

t

cos

sin0

t

sin

0R

t1

,

t2

E

A

cos0

120

2

10

1

21cos

t

A

E

t

cos

t

t

2

2

2

AA22

2cos0cos0

t2

t1

0

其中τ=t2-t1

ξ(t)數(shù)學(xué)期望是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以ξ(t)是廣義平穩(wěn)過程。2020/11/2519其功率譜密度為：0

0

2

P

F

R

ξ(t)的時(shí)間平均值如下：T2T2cAcos(

t

)dt

0TT

a

lim

122cAcos(

tTTT

R(

)

lim

1T22020/11/2520T2222Tcos

2

c2

AcTA2

TT

limcos

dt

cos(2c

t

c

2

]dt結(jié)論：隨機(jī)相位余弦波是遍歷的。3

過程(1)定義：任意n

維概率密度是正態(tài)分布式

j

1

k

1

1

1

2

Bnn

2

1

2fn

x1

,

x2

,

exp

2

1

2

n

Bjk

j

B式中ak是均值，σ2是方差，│B│是規(guī)一化協(xié)方差矩陣的行列式。概率密度函數(shù)僅取決于各隨 量的均值、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)(相關(guān)系數(shù))2020/11/2521b1n211

b12

…b

1

…

b2nbn1

bn2…

1B

…………|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù) 式，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，見

(3.3－3)。3過程(2)2020/11/2522重要性質(zhì)：過程的n維分布只依賴各個(gè)隨

量的均值、方差和規(guī)一化協(xié)方差，因此只需研究它的數(shù)字特征就可以了。廣義平穩(wěn)

狹義平穩(wěn)各隨

量之間互不相關(guān)

統(tǒng)計(jì)獨(dú)立過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是過程。即過程，則系統(tǒng)輸出的也是

過線性系統(tǒng)的輸入是程。2020/11/25233

過程(3)一維正態(tài)分布2

2

x

a

2

1f

(

x)

exp

2

關(guān)于a

對(duì)稱：f

(a+x)=f

(a-x)在點(diǎn)a

處取極大值:1212f

(

x)dx

aa

f

(

x)dx

a f

x

左右平移

f

x

寬窄1

1

2

2

112

axf

x2020/11/25243

過程(4)概率積分函數(shù):

x

a

1(

x)

22xdzz2

exp

標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布:（a

=

0,σ=1)1f

(

x)

x2

exp

2

2

概率分布函數(shù):

F

(

x)

1xdz

2

2

z

a

22

e2020/11/2525誤差函數(shù)與互補(bǔ)誤差函數(shù)分別表示部下的面積密度函數(shù)曲線尾20x

ze

dz

2erf

(

x)

2erfc(

x)

1

erf

(

x)

2x

1誤差函數(shù):1u2Q(a)

2

a1

a

exp

2

du

2

erfc

2

Q函數(shù):2x

z2e

dz互補(bǔ)誤差函數(shù):Q函數(shù)也是一種表示曲線尾部下的面積的函數(shù)。2020/11/25262020/11/25274

窄帶隨機(jī)過程

(1)1.窄帶隨機(jī)過程定義:隨機(jī)過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度Δf<<fc，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號(hào)或噪聲必是窄帶的，如果這時(shí)的信號(hào)或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程。如用示波器觀察一個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形，則如圖2—4所示，它是一個(gè)頻率近似為fc，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。4

窄帶隨機(jī)過程

(2)￡fcOS(

f

)fffcf(a)tOS(

f

)緩慢變化的包絡(luò)[a(t)]頻率近似為

fc(b)注意慢變化的包絡(luò)與窄帶信號(hào)的關(guān)系2020/11/2528因此，窄帶隨機(jī)過程ξ(t)可用下式表示:ξ(t)=aξ(t)

cos［ωct+φξ(t)］,

aξ(t)≥0等價(jià)式為ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct其中：ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t)ξs(t)=aξ(t)

sinφξ(t)式中,aξ(t)及φξ(t)分別是ξ(t)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位，ξc(t)及ξs(t)分別稱為ξ(t)的同相分量和正交分量。4

窄帶隨機(jī)過程

(3)用同相分量和正交分量表示信號(hào)的形式很有用2020/11/25292020/11/2530同相分量和正交分量也是隨機(jī)過程，顯然它們的變化相對(duì)于載波cosωct的變化要緩慢得多。由前4式看出，ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，如果已知ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性。4

窄帶隨機(jī)過程

(4)2.設(shè)窄帶過程ξ(t)是平穩(wěn) 窄帶過程，且均值為零，

方差為c

s。下面將證明它的同相分量ξ

(t)和正交分量ξ

(t)也是零均值的平穩(wěn)

過程，而且與ξ(t)具有相同的方差。

1)數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望:E[ξ(t)]=E[ξc(t)]cosωct-E[ξs(t)]sinωct∵ξ(t)平穩(wěn)、均值為0，∴對(duì)任意t都有E[ξ(t)]=0可得：4

窄帶隨機(jī)過程

(5)22020/11/25312020/11/2532E［ξc(t)］=0;

E［ξs(t)］=02)自相關(guān)函數(shù)Rξ(t,

t+τ)=E［ξ(t)ξ(t+τ)］=E{[ξc(t)cosωct-ξs(t)

sinωct]·[ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ)sinωc(t+τ)]}=Rc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-Rcs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)-Rsc(t,

t+τ)

sinωctcosωc(t+τ)+Rs(t,

t+τ)

sinωctsinωc(t+τ)(3.5－7)4

窄帶隨機(jī)過程

(6)2020/11/2533式中Rc(t,

t+τ)=E［ξc(t)ξc(t+τ)］Rcs(t,

t+τ)=E［ξc(t)ξs(t+τ)］Rsc(t,

t+τ)=E［ξs(t)ξc(t+τ)］Rs(t,t+τ)=E［ξs(t)ξs(t+τ)］因?yàn)棣?t)是平穩(wěn)的，故有

Rξ(t,

t+τ)=R(τ)即(3.5－7)式與時(shí)間t無關(guān)，僅與τ有關(guān)。所以令t=0，(3.5－7)式還成立，變?yōu)椋?

窄帶隨機(jī)過程

(7)Rξ(τ)=Rc(t,t+τ)

cosωcτ-Rcs(t,t+τ)sinωcτ這時(shí)，顯然應(yīng)有Rc(t,t+τ)=Rc(τ)Rcs(t,t+τ)=Rcs(τ)所以，Rξ(τ)=Rc(τ)cosωcτ-Rcs(τ)

sinωcτ再取使cosωct=0的t值，令t=π/2ωcRξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ)2020/11/25344

窄帶隨機(jī)過程

(8)2020/11/2535其中應(yīng)有Rs(t,t+τ)=Rs(τ)Rsc(t,

t+τ)=Rsc(τ)由以上的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知，如果窄帶過程ξ(t)是平穩(wěn)的，則ξc(t)與ξs(t)也必將是平穩(wěn)的。進(jìn)一步分析有Rc(τ)=Rs(τ)

Rcs(τ)=-Rsc(τ)可見，同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有4

窄帶隨機(jī)過程

(9)2020/11/2536Rcs(τ)=Rsc(-τ)將上式代入式（2.5-12），可得Rsc(τ)=-Rsc(-τ)同理可推得Rcs(τ)=-Rcs(-τ)所以ξc(t)、ξs(t)的互相關(guān)函數(shù)Rsc(τ)、Rcs(τ)都是τ的奇函數(shù)，在τ=0Rsc(0)=Rcs(0)=04

窄帶隨機(jī)過程(10)于是得到Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0)即σ2ξ=σ2c=σ2s結(jié)論：ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差（因?yàn)榫禐?）。另外，因?yàn)?/p>

過程ξ(t)是平穩(wěn)的，所以ξ(t)在任意時(shí)刻的取值都是服從

分布的隨

量，

故有4

窄帶隨機(jī)過程

(11)2020/11/2537取t=t1=0

時(shí)，ξ(t1)=ξc(t1)取t=t2=π/(2ωc)時(shí)，ξ(t2)=ξs(t2)所以ξc(t1)，ξs(t2)也是隨量，從而ξc(t)、ξs(t)也是隨機(jī)過程。又，ξc(t)、ξs(t)在同一時(shí)刻的取值是互不相關(guān)的隨量，因而它們還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。重要結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是平穩(wěn)過程ξ(t)，它的過程，而且均值都為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的ξc和ξs是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。4

窄帶隨機(jī)過程

(12)2020/11/25383.由上面的分析可知，ξc和ξs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(ξc,ξs)=f(ξc)·f(ξs

)=1222

22

2

exp[

c s

]設(shè)aξ,φξ的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(aξ, φξ)，則利用概率論知識(shí)，(

,

)

c

s

(a

,

)量之間的關(guān)系f(aξ,

φξ)=f(ξc,

ξs)根據(jù)兩式在t時(shí)刻隨ξc=aξcosφξξs=aξsinφξ4

窄帶隨機(jī)過程

(13)2020/11/2539得到c

s(

,

)(a

,

)c

sa

a

c

s

aCosφξ

sinφξ-aξsinφξ

aξcosφξ=于是f(aξ,φξ)

=aξf(ξc,ξs)=2exp[]22(a

cos

)2

(a

sin

)2exp[

]2020/11/2540(a2a2222注意，這里aξ≥0,

而φξ在(0，2π)內(nèi)取值。再利用概率論中邊際分布知識(shí)將f(aξ,φξ)對(duì)φξ積分，可求得包絡(luò)aξ的一維概率密度函數(shù)為4

窄帶隨機(jī)過程

(14)0af

(a

)

2f

(a

,

)d

exp[2]d2a2a222

exp[],

a

0可見，aξ服從瑞利分布。同理，f(aξ,φξ)對(duì)aξ積分可求得相位φξ的一維概率密度函f(φξ)=a2001f

(a22

可見，φξ服從均勻分布。4

窄帶隨機(jī)過程

(15)2020/11/2541重要結(jié)論：一個(gè)均值為零，方差為σ2ξ的窄帶平穩(wěn)過程ξ(t)，其包絡(luò)aξ(t)的一維分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，aξ(t)與φξ(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即有下式成立：f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ)4

窄帶隨機(jī)過程

(16)2020/11/25424窄帶隨機(jī)過程(17)結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)過程，其同過程，而且均值都為零，方差也相同；在同一時(shí)刻上的同相分量與正交分量是不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。其包絡(luò)的一維分布是瑞利分布，而其相位的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，包絡(luò)和相位是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。2020/11/25435

正弦波加窄帶

過程(1)常用調(diào)制：正弦波作為載波加濾波器的作用：選擇信號(hào)、濾除噪聲輸出的是正弦已調(diào)信號(hào)與窄帶噪聲的混合波形2020/11/25445

正弦波加窄帶

過程(2)混合信號(hào)

r

t

cos

ct

nt

■

0,2

均勻分布sct

ns

t

sinctn表示方法1平穩(wěn)噪聲，均值為零r

t

Acos

nc

t

cosc

t

A

sin

ns

t

sinc

tzs

分布，同一時(shí)刻相互獨(dú)立s

zc

zc

t

,

zs

t

E

zc

t

Acos(3)2csD

z

t

t

Dn

t

D

z

12

22

2c

sf

z

,

z

z

Acos

2

z

Asin

2

exp

c

s

2020/11/25455

正弦波加窄帶過程(3)表示方法2r

t

z

t

cos

c

22cssz

tz

t

zc

t

z

t

z

t

t

arctg其中2f

(z)

Az

z2

2I12

2

z

exp

A,

z

00

2

廣義瑞利分布(萊斯分布)A=0，f

(z)~

瑞利分布A>>，f

(z)~

近似分布2020/11/25466

平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(1)輸出隨機(jī)過程的均值

oi

h

dE

t

E

t

0

h

d

ai

0輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度R

t,

t

Eo

oi

0

0oR

u

v

hu

hv

dudv

R

平穩(wěn)

2ooiP

H

P

F

R

x(t)i

t

y(t

)

x(t)

h(t)o

t

i2020/11/2547h(t)

iE

t

h

d0

i

a

H

02020/11/2548重要結(jié)論：輸出過程度功率譜密度是輸入過程度功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。6

平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(2)i

t

和o

t

的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度R

t,

t

Ei

o

i

R

i

i

oiP

H

P

i

o

F

R例.若輸入i

t

為白噪聲,即R

，則N02ioR

N0

h

N0

h

2

2o

(t

)

io0i

o1TT

(t

)

(t

)dt

Rh(t

)i

(t

)延遲0T

dt1T22020/11/2549N

0

h

6

平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)(3)

?

t

的自相關(guān)函數(shù)R

，求

t

和H

(

)

t

的相關(guān)特性.例.已知1

t?(t

)

(t

)

2?

H

P P R?

(

)

?1

R

RR?

?奇函數(shù)奇函數(shù)R?

0?

t

與?

t

同一時(shí)刻互不相關(guān)獨(dú)立i

t

正態(tài)隨機(jī)過程■o

t

正態(tài)隨機(jī)過程線性變換YXRXY

(

)

2020/11/2550

P

?

R

R?

7白噪聲和帶限白噪聲白噪聲n

(t)定義：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲，即—雙邊功率譜密度或(0

f

)

－單邊功率譜密度式中n0

－正常數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：對(duì)雙邊功率譜密度取反變換，得到相關(guān)函數(shù)：20nnP

(