2018年高中數(shù)學(xué) 黃金100題系列 第23題 函數(shù)中存在性與恒成立問題 理

第23題函數(shù)中存在性與恒成立問題函數(shù)的內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識體系的核心，也是歷年高考的一個熱點．在新課標下的高考越來越注重對學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它主要涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用．近幾年的數(shù)學(xué)高考和各地的模考聯(lián)考中頻頻出現(xiàn)存在性與恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但它們大都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識密不可分．解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)的存在性與恒成立問題常用以下幾種方法：①函數(shù)性質(zhì)法；②分離參數(shù)法；③主參換位法；④數(shù)形結(jié)合法等.恒成立：關(guān)于x的不等式f(x)M0對于x在某個范圍內(nèi)的每個值不等式都成立，就叫不等式在這個范圍內(nèi)恒成立．若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在最小值f(x)和最大值f(x)，則：minmaxTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"不等式f(x)>a在區(qū)間D上恒成立of(x)>a；min\o"CurrentDocument"不等式f(x)二a在區(qū)間D上恒成立of(x)>a；min\o"CurrentDocument"不等式f(x)<b在區(qū)間D上恒成立of(x)<b；max不等式f(x)<b在區(qū)間D上恒成立of(x)<b；max若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上不存在最大(小)值，且值域為(m，n)，貝g：①不等式f(x)>a(或f(x)>a)在區(qū)間D上恒成立om>a；②不等式f(x)<b(或f(x)<b)在區(qū)間D上恒成立on<b.、函數(shù)性質(zhì)法【例1】1)已知函數(shù)f(x)二x2-2ax+1,g(x)=-，其中a>0,x豐0.對任意xe[1,2]，都有

x2)已知兩函數(shù)f(x)二x22)已知兩函數(shù)f(x)二x2(1)x

g(x)=--mk2丿對任意xet),2],存在xe1,2],使得f(x)>gG),1212求實數(shù)m的取值范圍.【分析】1)根據(jù)題意條件中的x是同一值，故不難想到將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)-g(x)>0恒成立，在通過分離變量，從而可創(chuàng)設(shè)出新函數(shù)，再求出此函數(shù)的最值來解決問題．2)根據(jù)題意在本題所給條件中不等式的兩邊它們的自變量x不一定是同一數(shù)值，故可分別對在兩個不同區(qū)間內(nèi)的函數(shù)f⑴和g(x)分別求出它們的最值，再根據(jù)只需滿足f.(x)>g(x)即可求解minmax【解析】1)、由X1—2ax+1——>0=>a<X成立：x2^+1,-Uh只需滿足嗣的最小值大于唄可.對嗆2缶求導(dǎo)，吩2蕓簾…7故飆X)在Xe[L2]是増函數(shù)，心刈=沁)=十所以的取值范圍是2)、對任意xwb,2〕，存在xw1,2〕，使得f(x)>g(x)1212"—m在h，2〕上的最小值4—m不大于f(x)二x2在b，2〕上的最小值0,即4-m<0，所以m>4點評】在解決函數(shù)存在性與恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，即構(gòu)造函數(shù)法，然后利用相關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題，同時注意在一個含多個變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更加面目更加清晰明了，一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù)．此法關(guān)鍵在函數(shù)的構(gòu)造上，常見于兩種一分為二或和而為一，另一點充分利用函數(shù)的圖象來分析，即體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想．【例2】若不等式2x-1>m(x2-1)對滿足-2<m<2的所有m都成立，求x的范圍.【分析】我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：m(x2—1)—(2x—1)<0來求解.【解析】②若f(X)值域為［m,n］，則不等式f(x)>a恒成立oa<m；若f(x)值域為(m,n］則不等式f(x)>a恒⑷解析：由題中條件可得f(x)的值域A二［0,4］,g(x)的值域B二［-a,ln3-a］，若對任意x,xg［0,2］,12恒有f(x)>g(x)，即f(x)>g(x)，即0>ln3-a，所以a>ln3.12minmax點評：⑶與⑷雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別，⑶中不等式的左右兩端函數(shù)的自變量相同，而⑷中不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，xi,x2的取值在［°，2］上具有任意性.⑸解析：對任意xg[0,2]，若存在xg[0,2]，使得f(x)>g(x)，即f(x)>g(x)，由⑷可知即2112maxmax4>ln3—a，所以a>—4+ln3.點評：設(shè)g(x)的最大值為M，對任意x2G［0'2］，/⑴>gW)的條件fW)>M，于是問題轉(zhuǎn)化為存在xg[0,2]，使得f(x)>M，因此只需f(x)的最小值大于M即f(x)>g(x)11maxmax⑹解析：對任意xg［0,2］，若存在xg［0,2］，使得f(x)二g(x)，則B匸A，所以｛—"'°4即2ii2Iln3—a<4—4+In3<a<0點評：因為對f(x)值域內(nèi)的任一元素在定義域內(nèi)必存在自變量與其對應(yīng)，所以對任意xg［0,2］，若存在2xG［0,2］，使得f(x)二g(x)的充要條件是g(x)在f(x)的值域內(nèi)，因此，g(x)的值域是f(x)的值域1122的子集．⑺解析：若存在西円E［Q2］,使得?貝WOOmn二目㈤■亦即4A—4,所以口>-4-點評：請將⑷、⑸、⑺仔細對比，1■本味任意與存在的區(qū)別一⑻解析：若存在x「x2使得f(xi)二g(x2)，則Ap|BH0,???a+3<3,??.實數(shù)a的取值圍是(—^,0］.【例12】設(shè)函數(shù)f(x)二alnx+x2-bx,agR且a豐1.曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為0．求b的值；若存在xg［1,+8),使得f(x)<_)，求a的取值范圍.a—1

【分析】(1)根據(jù)條件曲線y=f(x)在點G,f(1))處的切線的斜率為o,可以將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b的方程，進而求得b的值：廣(x)二-+(1-a)x-b，f(l)=0na+(1-a)—b=0nb=1；(2)根據(jù)題意xaa分析可得若存在xg[1,+^)，使得不等式f(x)<成立，只需>f(x)即可，因此可通過探求a-1a-1minf(x)的單調(diào)性進而求得f(x)的最小值，進而得到關(guān)于a的不等式即可，而由(1)可知x斷f(x)的單調(diào)性，從而可以解得a的取值范圍是C邁-1,邁-1￡(1,+8).-，因此需對a的取值范圍進行分類討論并判f(xx斷f(x)的單調(diào)性，從而可以解得a的取值范圍是C邁-1,邁-1￡(1,+8).-，因此需對a的取值范圍進行分類討論并判2【解析】(門fr(x)=-+(l-a)x-b?X由曲線y=/(x)在點(匕才⑴)處的切線的斜率為0,得f(1)=0,即a+(l-a)-i=0,i=lj4分(2)由(1)可得，打英)=g1ujc+乎云一兀斗(1*1=S上巴=1^匹旦，XXX令f(￡)=o，得西=1,勺=亠,而?=1—d1—a1—a①當時，^-<1,在山⑷)上，/-(x)>0,子仗)為増函數(shù)，(/?L=/(1)=^-1=^令號即宀加―ie解得—龐—isc血—1?1a②當一<a<1時，>1，21-ax(a\1,T—k1-a丿1—aa(a),+8k1-a丿f，(x)—0+f(x)□極小值□

(f(x))minaa(f(x))min=aIn++>—1—a2(1—a丿a—1a—1不合題意，無解，10分aa符合題意，③當a>1時，顯然有f(x)<0,>0?.不等式f(x)<恒成立,符合題意，a—1a—1綜上，a的取值范圍是0、遼-1,邁-1￡(1,+8).【點評】解決函數(shù)中存在性問題常見方法有兩種：一是直接法同上面所講恒成立；二是間接法，先求其否定(恒成立)，再求其否定補集即可解決.它的邏輯背景：原命題為"VxgM,P(x)"的否定為"3xgM,「P(x)"；原命題為"3xgM,P(x)"的否定為“VxgM,「P(x)".處理的原則就是：不熟系問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題.跟蹤練習(xí)】1.【2018屆甘肅省會寧縣第一中學(xué)高三上第一次月考】'不等式「」八川")在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()A.m>iB.0〈m〈1C.m>0D.m>1【答案】C【解析】不等式x+m>0在R上恒成立???△=(-1尸-加<0,解得2?A是充要條件，故A錯誤；因為Q淮不出05<1,故B錯誤；c.■/2±>皿〉0、反之不能推出,故匚正確；D.Tm〉1m>，所以m>1是“不等^八一八心"°在R上恒成立”的充分不必要條件，故D錯誤;故選C.2.【20182.【2018屆湖南省衡陽市衡陽縣第四中學(xué)高三9月月考】已知函數(shù)f(x)=C+x)(x2+ax+b)，若對VxgR，均有f(x)=f(2—x),則f(x)的最小值為()935C.—2A?——B.D.0416【答案】A

【解析】由題意可知函數(shù)fW的對稱軸為滬1,顯然f(D2f(-由對稱性知f(2)=f(3)-0,所以.X1+￡Dl+Z>=(x—2)(x—3)a——5:b=6?打x)二+可(壬—5x+6),艮卩fGO=(V—2x)(云—2兀一3),不妨令t=^-2x>-lf函數(shù)加=住—3),/>-1,所以當2—|,時y取最小值一扌；選A.3.【2017屆“超級全能生”浙江省高三3月聯(lián)考】已知在(—8,1]上遞減的函數(shù)f(x)=x2-2tx+1，且對任意的X,xe[o,t+1],總有f(x)—f(x)<2，則實數(shù)t的取值范圍為()A.-\/2]B.1,\[2]C.l-2,3]D.H,2]【答案】B【解析】由題育與劉在〔TO』上遞減得f>l,由對任育的耳花e[(U+1],總有|/(^)-/(^)|<2,11>-<bb得，即因此皿裁,選圧11>-<bb4.【2018屆山東省荷澤第一中學(xué)高三上第一次月考】對任意實魏力定義運算"?”：a0b=^I”「二(「—l)g(■!+「)，若函數(shù)丁m債恰有三個零點，則實數(shù)*的取值范圍是()A.〔；'」：：B.°」C.；口)；D.[一2」；答案】D=$+4丸G(_8,_2]U[3,+8)【解析】由題意可得，畫圖f(0)=-1,f(-2)=2，由圖可知,1<—,<k<1,選D.已知八也心，若對任意的八1屮，不等式已知八也心，若對任意的八1屮，不等式5．【2017屆浙江省臺州市高三4月調(diào)研】「八恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是（）7T57TA．12J12nnB7T57TA．12J12nnB「C．【答案】A【解析】fCQ=(cos&4-sin64-1)jcs4-(2sin&+1)^+sinS>0、cos&4-sin94-1>O'恒成立，fCO在f(-“>0COS&>0[-佝恒成立，只需滿足｛孚咒丁二曲吐&翻,故選丸空空—)>o鈕2日>-fi136.【2018屆江西省六校高三上第五次聯(lián)考】定義在用上的偶函數(shù)匚門，其導(dǎo)函數(shù)為「〔門，若對任意的實數(shù)'，都有dmm恒成立，則使「譏門w"1成立的實數(shù)'的取值范圍為（）A.：''''八1；B.（-8,-1）U（1,+QC.（-1，1）D.（-1，0）U（0,1）【答案】B

【解析】當忑>()時，由2f(x)+xfy(x)-2<0可知：兩邊同乘以.直得：2xf(x)+x2f7(z)-21<^0設(shè)：S(x)=X2f(瓦)-E2則『(x)=2xf(x)+xEfy(x)-2x0；恒成立：二匡(耳)在(0；?°)單調(diào)遞減,由X2f(X)-f(1)<X2-1.°.X2f(X)-X2<f(1)-1即g(X)vg(1)即x>1；當xVO時，函數(shù)是偶函數(shù)，同理得：XV-1綜上可知：實數(shù)X的取值范圍為(-g,-1)U(1,+8),故選：B.7.【2018屆江西省橫峰中學(xué)、鉛山一中、德興一中高三上學(xué)期第一次月考】已知a,b￡(0,1)，不等式ax2+x+bax2+x+b>0對于切實數(shù)x恒成立，又存在xo￡R，使吒+xo+a二0成立,則+化的最小值1-a1-bA.10邁3C.4+邁D.4邁答案】B【解析】由不等式ax2+【解析】由不等式ax2+x+b>0對于切實數(shù)x恒成立，得{a>0A=1-4ab<0由存在x0￡R，使bx2+x+a=0成立，得A=1-4ab>0，所以ab二-，且a,b￡(0,1),TOC\o"1-5"\h\z004\o"CurrentDocument"1218a1242+=+=2++=2++，^令1-a1-b1-a4a-11-a4a-14-4a4a-1fG)=fG)=2+右+47-1占<x<1廣(x)=8x2+8x一7(1-x)2(4x-1)2當f'(x)=0，解得x=，選B.-x2+x,x<18.【2017屆江西省高三4月聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)={logx,x>i，若對任意的x￡R，不等式3f(x)<5m-m2恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為()4A.-1,4B.A.-1,4B.C.-2,4【答案】B—JfT+X—JfT+XaXS1【解析】易知函數(shù)/(x)={]ogxx>1在區(qū)間上單調(diào)遞増，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在—處取得最犬時所法時中-心解得扛6故選良9.【2017江西師大附屬中學(xué)十月模擬】已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,aeR,g(x)=ex-x-1,「3)D.3_-—,+8-8,-——L2J2_1A.[-1,0)B.[-1,0〕C.若對于任意的X1e(0,+J,x2eR，不等式f1A.[-1,0)B.[-1,0〕C.【答案】B【解析】要使對于任意的xe(0,+a),xeR，不等式f(x)<g(x)恒成立，1212只需當xe(0,+a),xeR時，有f(x)<g(x)12maxmin由g'(x)=ex-1知，當x<0時，g'(x)<0；當x>0時，g'(x)>0，所以g(x)=g(0)=0min⑴當a>0時，易知當xTW時，易矢f(x)TW,不滿足xe(0,+a),xeR時，有12f(x)<g(x)，故a>0不成立；maxmin⑵當a=0時，f(x)=-x+lnx，此時，此時f'(x)=—1+丄=x+1，當0<x<1時，xx/(x)>0，當x>1時，f'(x)<0，所以f(x)=f(1)=-1<0，成立；max⑶當X。時，由門滬業(yè)_(加_1)+亠加亠如+?+1=(—)(2*1)易機XXX當f\x)>03當孟Al時，/(x)<0,所以/爲(力=/(1)=方一(2g+1)由托也〔力咗0,知“一(加+1)咗0,解得?>-1綜上可知一1蘭口藝0.故選E【名師點睛】把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題是解決本題的關(guān)鍵，同時需注意對a進行分類討論.10.【2018山西第一次五校聯(lián)考】已知九>0,若對任意的xe(0,+a),不等式eX-Xlnx>0恒成立，則九的最大值為()eeTOC\o"1-5"\h\zA.eB.3C.D.—23【答案】A【解析】令(尤)=M,易得于(力與互為反函數(shù)=>/{jc)與g〔￡)關(guān)于直線尹=兀對￡I1稱二>原命題等價于M>x>Alnx在上恒成立.記h(x)=e2A1(x)=—-1=0=>x=久In久=>xe(0,/bA),用(兀)<0;xe(/bAa+□□),h'(x)>0=>虬如(x)=7:(AhA)=召也—AlnA=A—AlnA>0=>A<e記e(X)=藍一沁，同理可得綜上久的最大值為召，故選』.【點睛】本題的關(guān)鍵步驟有：觀察發(fā)現(xiàn)f(x)與g(x)互為反函數(shù)；將原命題等價轉(zhuǎn)化為eX>x>Xlnx在(0,+a)上恒成立；利用導(dǎo)數(shù)工具求h(x)=eX-x的最小值，從而求得九<e；11.【2018河北石家莊二中八月高三模擬】已知對Vxg(0,+8),不等式lnx+1>m--恒成立，則—的xn最大值是()A.1B.-1C.eD.-e【答案】C【解析】不n等式lnx+1>m-可化為ln+n-1m+—>,令F(x)二x+l-m+n，則xxxFQ二--nx-n二，所以當x二n時，F(xiàn)()￡n+n2-，—即xx2x2minm2+lnn2+lnn-1-lnnln+1一—>08<2所以n<,令G(n)=,則令G(n)==0nnnn212一1—2+lnn可得n二，故G(n)==e,即一<<e,應(yīng)選答案C.emax1nnenn【名師點睛】解答本題的思路是將不等式lnx+1>m-—可化為lnx+1-m+—>0,,然后再構(gòu)造函數(shù)xx

F(x)二lnx+1-m+—，并對其進行求導(dǎo)，求出函數(shù)F(x)二lnx+1-m+—的最小值為Inn+2-m，即xx2+lnnm2+lnnmlnn+2—m—0，然后求出目標函數(shù)G(—)=的最大值為e，即一<<e，所以求出一的最————大值是e．12.【2018河南南陽一中高三上學(xué)期第二次考試】已知函數(shù)f(x)=kx2+lnx，若f(x)<0在f(x)定義域內(nèi)恒成立，則k的取值范圍是()r1)r11]ri)r1)A.B.—C.—8,———D.—,+81eJ、2eeJI2eJIe丿答案】C【解析】即函數(shù)的定義域_-.A^+kx<0在(Q燉)上恒成N1.——-X1+lnx-2x中_1即"-竽在0燉)上恒成立，令￡仗)=-竽，_上仗)=—,令g@)=2巴1=0,解得x=^Je?當0<x<^時，g"(兀)cQg(葢)單調(diào)遞；肌當葢A掐時,4XLJLJ^V)>0^V)>0^W單調(diào)遞増，二￡1如(葢)=￡(狂)=殊—以的取值范圍是【方法點晴】本題主要考查“分離常數(shù)”在解題中的應(yīng)用、函數(shù)的定義域及利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法：①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；②利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式f'(x)<0或f'(x)—0恒成立問題求參數(shù)范圍，本題是利用方法①求解的.13.【2017上海普陀區(qū)高三二?！吭O(shè)a<0，若不等式sin2x+(a—l)cosx+a2—1—0對于任意的xgR恒成立，則a的取值范圍是【答案】a<—2【解析】因為不等式對1?￡+(4—l)cosx+/—1土0對于任意的xeR恒成立，所以不等式—cos2x+(a—l)cosx+a2王0對于任育的丸ER恒成立；令/=cosx:即f1—(a—1)/—a1藝0對于任意的妊［一1』恒成立，因為a<0,所以弓—$則l-(o-l)-o2<0,即/+□—2",解得o<-2或?>1(舍”故答案為?<-2.【方法點晴】本題主要考查三角函數(shù)的有界性以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)a>f(x)恒成立(a>f(x)可)或a<f(x)恒成立(a<f(x)即可)；②數(shù)形結(jié)maxmin合(y=f(x)圖象在y=g(x)上方即可)；③討論最值f(x)>0或f(x)<0恒成立；④討論參minmax數(shù).本題是利用方法③求得a的最大值.14.【2018屆河南南陽一中高三8月測試】若正實數(shù)x,y滿足x+2y+4=4xy，且不等式(x+2y)a2+2a+2xy-34>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.答案】-8,-31[?,+812丿【解析】試題分析：由已知可得(4xv-4>J+2fl+2^-34>0,^2xi<2^+l)>4^-2^+34恒成立,即xy>2^~^17恒成立，y4xv=x+2y+4>2^+4解得屈車任即刖"，所以豬氣葺1解得日乞一3或口3扌15.【2018河南洛陽高三期中考試】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,cgR).若函數(shù)f(x)在x=一1和x=2處取得極值，求a,b的值；在(1)的條件下，當xg［-2,3］時，f(x)>2c恒成立，求c的取值范圍.=一3【答案】(1){"2；(2)(—8,-10).b=-6【解析】試題分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)/f（x）,利用r（-i）=o,且m解方程組可求得｛a=~2；b=-6（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)_/（兀）的單調(diào)性，可得函數(shù)/（刃在xe[-23]時，?。ㄜ疲┑淖钚≈禐镾只需c-10>2c即可求亡的取值范圍.試題解析：（1）由題可得，廣（x）=3x2+2ax+b,???函數(shù)f（x）在x=-1和x=2處取得極值，—1,2是方程3x2—2ax+b=0的兩根,-1+2=—2a33ra=——???{],???{2；-1x2=-b=—632)由(2)由(1)知f(x)=x3f(x)=3x2—3x—6,當x變化時，f（x）,f（x）隨x的變化如下表:x-2(—2,—1)-1(-1,2)2(2,3)3/,(x)+0—0+f(x)c—2增7c+—2減c—10增9c+—2.?.當xg[—2,3]時，f（x）的最小值為c—10，要使f（x）>2c恒成立，只要c—10>2c即可,?c<—10，.:C的取值范圍為（一8,—10）.116.【2018河北衡水中學(xué)高三上學(xué)期二調(diào)考試】已知函數(shù)f（x）=lnx--ax2，aeR.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）<（a—1）x—1恒成立，求整數(shù)a的最小值.答案】（1）見解析（2）2

【解析】試題分析：⑴先確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)后得根據(jù)□正員進行討論，可得函JC數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）中可通過井離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化成盤/（號+：+1）在區(qū)間（①収）內(nèi)恒成立求解，令x+2xE（藍）=2（號+：+1）,結(jié)合函數(shù)霧點存在定理可求得貞兀）的最值.x+2x試題解析：（1）函數(shù)才（力的定義域為（Qp）?由題意得f'（x}=—-ax=^—^-?當必0時，f'（x}>0?則于（英）在區(qū)間（0燉）內(nèi)單調(diào)遞増;當“0時，由廣（劉=0,當Q<jc<￡時,f'（x）>0fy（x）單調(diào)遞増，當心￡時，f'（x）<o??。握{(diào)遞減.所以當?<0時，?。ㄈ懀┑膯握{(diào)遞増區(qū)間為（①衛(wèi)），無單調(diào)遞減區(qū)間，當?>0時，才仗）的單調(diào)遞増區(qū)間為當?>0時，才仗）的單調(diào)遞増區(qū)間為、單調(diào)遞減區(qū)間為1(2)由lnx-ax2<(a-l)x-1,2得2(1nx+x+1)<a(2x+x2),小2（lnx+x+1）因為x>0，所以原命題等價于a>x2+2x

令g(x令g(x)=2(1nx+x+1)則g'(x)二—2(x+l)(21nx+x)Cx2+2x)則g'(x)二令h(x)=21nx+x,則h(x)在區(qū)間(0,+a)內(nèi)單調(diào)遞增,=—21n2+J。，h(1)=10,2丿所以存在唯一的xoe匚,1,使得h(x°)=21nx0+x0=°，2丿且當0<x<x。時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當x>xQ時，^1(x)<0,g(￡)單調(diào)遞誠,所以■當丸=兀時，g(兀)有極犬值、也為最犬值、且S(兀)=(聳了——-=—［+2=—兀+2兀％(花+可Xq所沁丄又兀所以■￡e(L2),所以心2,因為門EZ,故整數(shù)口的最小值為2.【名師點睛】本題屬于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題.第一問中要合理確定對a進行分類的標準；第二問利用分離參數(shù)的方法解題，但在求函數(shù)g(x)的最值時遇到了導(dǎo)函數(shù)零點存在但不可求的問題，此時的解法一般要用到整體代換，即由h(x)=21nx+x=0可得21nx=x，在解題時將1nx進行代換以使問題得以求解.00000017.【2018西藏林芝市第一中學(xué)高三9月月考】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a豐0，xeR).1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(—1)=0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，f(x)>x+k在區(qū)間［—3,—1］上恒成立，試求k的取值范圍.答案】(1)f(x)—x2+2x+1，單調(diào)遞減區(qū)間為(—a,—1］，單調(diào)遞增區(qū)間為［―1,+8)；⑵k的取值范圍為(—8,1).【解析】試題分析：〔1)由函數(shù)尹(力的最小值為蘆(-1)=0,可知函數(shù)的最值和對稱軸方程，布列方程,即可求得于(力的解析式；(2)/(x)>x+i在區(qū)間［-3=-1］上恒成立轉(zhuǎn)化為/+耳+1A丘在區(qū)間［-3,-1］上恒成立,求出二次函數(shù)的最小值,即可得到丘的取值范圍?試題解析：(1)由題意得f(—1)—a—b+1—0,a豐0，且—一——1,a—1，b—2，.:f(x丿—x2+2x+1,單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,—1］，單調(diào)遞增區(qū)間為［—1,+8).(2)f(x)>x+k在區(qū)間［—3,—1］上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2+x+1>k在區(qū)間［—3,—1］上恒成立.設(shè)g(x)—x2+x+1，xG［—3,—1］，則g(x丿在［—3,—1］上遞減,.g(x)—g(—1)—1，min???k<1，即k的取值范圍為(—8,1).18.【2018重慶一中高三9月月考】已知二次函數(shù)f(x)—ax2+bx+5(xeR丿滿足以下要求：①函數(shù)f(x)的值域為h,+8):②f(—2+x)=f(—2—x)對xe尺恒成立.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；【解析】試題分析：(1)已知條件提供了二次函數(shù)才(刃的對稱軸與最小值，因此二次函數(shù)解析式可配方為頂點式y(tǒng)(Jc)=d(x+舟)+5—?從而列出關(guān)于40的方程組，從而解得4上，得解析式；(2)皿(力=云:;+1是分式函數(shù)，由于分母是一次的，分母是二次的，可用換元法設(shè)2葢+1屛?；笠椎煤瘮?shù)的單調(diào)性，從而得值域.試題解析：/b￥牙1(1)'：f(x\=ax^+bx+5=ax+——+5———V7I2□丿也又t/(-2+x)=/(-2-x)/.對稱軸為x=-2=-A2a值域為仏燉)-^>0且5—〒=14a-a=lb=斗，貝＞JM/(x)=x2+4x+5f(xL4x2+4x+1TOC\o"1-5"\h\z(2)M(x丿==x+1x+1??x小2].?.令t=x+1，則tu[2,3](11)2+4(t-1)+1=t2+212=t_2*2ttt蟲[蟲[2,3]所求值域為:所求值域為:[34]19.【2018浙江溫州模擬】已知二次函數(shù)1"e'ZU」"'心，對任意實數(shù)「，不等式2x<f(Q<-(%+l)22恒成立，(I)求口1;的取值范圍;‘'1，恒有求實數(shù)"的取值范圍.【答案】(I)iT間；仃I)^【解析】【試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)條件，借助不等式恒成立建立固數(shù)