高二數(shù)學下學期期末考試分類匯編拋物線方程新人教A版

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）A． B． C．8 D．-8【答案】A【解析】由題意得：，解得：.故選：A2．（2022·全國·高二課時練習）若動點滿足，則點M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【解析】由題意，動點滿足，即，即動點到定點的距離等于動點到定直線的距離，又由點不在直線上，根據(jù)拋物線的定義，可得動點的軌跡為以為焦點，以的拋物線.故選：D.3．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知動點到直線的距離與定點的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以，軌跡方程為，故選：D類型二拋物線幾何性質(zhì)應用4．（2022·貴州·遵義航天高級中學高二階段練習（理））已知拋物線的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】，設，，，則，得，由拋物線定義得故選：D5．（2022·四川·威遠中學校高二階段練習）已知拋物線的焦點為F，定點，點P是拋物線上一個動點，則的最小值為（

）．A．3 B．4 C．5 D．8【答案】C【解析】由題意可判斷在拋物線內(nèi)部，如圖示，作垂直于拋物線的準線，垂足為E，則,故,過A作拋物線準線的垂線，如圖中虛線位置，交拋物線于點，則當P點位于時，即A,P,E三點共線時，取得最小值，最小值為，故選:C.6．（2022·重慶·西南大學附中高二階段練習）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A，B處的兩條切線所圍成的三角形（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，具有以下性質(zhì)：①P點必在拋物線的準線上；②；③．已知直線與拋物線交于A，B點，若，則拋物線的“阿基米德三角形”頂點的縱坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，直線經(jīng)過拋物線的焦點，由題意，設，，聯(lián)立，得，所以，，，解得，∴，當時，，所以直線PF方程為：，因為為“阿基米德三角形”，所以點P必在拋物線的準線上，所以點，由拋物線對稱性可知，當時，，故選：B．類型三：齊次化解決定點定值問題1已知為拋物線上異于原點的兩點，設分別為直線的斜率且.證明：直線的斜率為定值.解：設直線與拋物線的交點，設直線的方程為.由聯(lián)立得：即變形得：又，即即直線的斜率.2已知橢圓，四點中恰有三點在橢圓上.（1）求的方程；（2）設直線不經(jīng)過點且與相交于兩點.若直線與直線的斜率的和為-1，證明：過定點.解：（1）因為關于軸對稱，所以兩點在橢圓上.故又不在橢圓上，在橢圓上.解得故的方程為.（2）平移軸，建立以為原點的直角坐標系，如圖3所示在直角坐標系下：已知，設設直線方程為易知橢圓的方程為變形得：由聯(lián)立得：化簡變形得：又，即.即.直線的方程為，直線過定點故在原坐標系下直線過定點.類型四：拋物線的綜合應用1．（2022·四川·威遠中學校高二階段練習（理））已知拋物線的頂點在原點，焦點為，過焦點且斜率為的直線交拋物線于兩點，(1)求拋物線方程；(2)若，求的值；(3)過點作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于四點，且分別為線段的中點，求的面積最小值．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)拋物線的頂點在原點，焦點為，拋物線方程為：；(2)由題意知：，可設直線，，，，，即，由得：，，，即，解得：，；(3)由題意知：直線的斜率均存在，不妨設，，，，，則；由得：，則，即；，，，；同理可得：，，（當且僅當，即時取等號），面積的最小值為.2．（2022·全國·高二課時練習）已知兩個定點、的坐標分別為和，動點滿足（為坐標原點）．(1)求動點的軌跡的方程；(2)設點為軸上一定點，求點與軌跡上點之間距離的最小值；(3)過點的直線與軌跡在軸上方部分交于、兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求點橫坐標的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)設，，，，，，因為，則，所以，即．(2)設軌跡：上任一點為，所以，所以，令，對稱軸為：，當，即時，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時，取得最小值，即，所以，當，即時，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時，取得最小值，即，所以，所以(3)當直線的斜率不存在時，此時：與軌跡不會有兩個交點，故不滿足題意；當直線的斜率存在時，設：，、，代入，得，即，所以，，，因為直線與軌跡在軸上方部分交于、兩點，所以，得，即；又、兩點在軸上方，所以，，即，所以，又，所以，所以中點，即，所以垂直平分線為，令，得，因為，所以，所以在時單調(diào)遞增，所以，即，所以點橫坐標的取值范圍為：.3．（2022·河南平頂山·高二期末（理））已知拋物線：（）的焦點為，點在上，點在的內(nèi)側，且的最小值為．(1)求的方程；(2)過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，直線，（為坐標原點）分別交直線于點，記直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)的準線為：，作于，則，所以，因為點在的內(nèi)側，所以當且僅當，，三點共線時取得最小值，所以，解得，所以的方程為．(2)由題意可知的斜率一定存在，且不為0，設：（），聯(lián)立消去得，由，即，得，結合，知．記，，則直線的方程為．由得．易知，所以．同理可得．由，可得，即，化簡得，結合，解得．一、單選題1．（2022·湖北·高二階段練習）在平面直角坐標系中，已知拋物線C：，點是的準線上的動點，過點作的兩條切線，切點分別為A，B，則面積的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】如圖所示，,準線的方程為，設，，，由得，∴切線的方程為，而，即，又切線過點，∴，即，同理切線的方程為，∴直線的方程為,則直線過定點，當AB平行于x軸時,此時|AB|為拋物線的通徑，此時，∴，當且僅當直線軸時取等號,故選：A．2．（2022·吉林·梅河口市第五中學高二開學考試）如圖，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，與其準線交于點（點位于之間）且于點且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設于點，準線交軸于點G，則，又，∴，又于點且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.3．（2022·江蘇常州·高二期末）已知拋物線的焦點為F，準線為l，點P在拋物線上，直線PF交x軸于Q點，且，則點P到準線l的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由題意得：，準線方程為，因為，所以，故點P到準線l的距離為.故選：C4．（2022·安徽宣城·高二期末）已知拋物線的焦點為F，，點是拋物線上的動點，則當?shù)闹底钚r，=（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】由題知，拋物線的準線方程為，，過P作垂直于準線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.二、多選題5．（2022·湖南·長沙市南雅中學高二期中）已知拋物線C：，圓F：（F為圓心），點P在拋物線C上，點Q在圓F上，點A，則下列結論中正確的是（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．當最大時， D．當最小時，【答案】AC【解析】拋物線C：的焦點，圓F：的圓心，半徑，對于A，的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，的最小值是，A正確；對于B，設，則，，當時，，當時，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值是，B不正確；對于C，如圖所示，要使最大，當且僅當AQ與圓F相切，AP與拋物線C相切，且P，Q在x軸兩側，所以當最大時，，C正確；對于D，因的最小值為，即P，A，Q共線，則當最小時，即，D不正確.故選：AC6．（2022·山東德州·高二期末）拋物線的焦點為F，若P是拋物線C上任意一點，直線PF的傾斜角為，點M是線段PF的中點，則下列說法正確的是（

）．A．若，則 B．點M的軌跡方程為C．的最小值為 D．在y軸上存在點E，使得．【答案】BC【解析】拋物線的焦點為，準線，對于A，直線的方程為：，由消去y并整理得，解得，，則或，A不正確；對于B，設點，則點，而P是拋物線C上任意一點，于是得，即，所以點M的軌跡方程為，B正確；對于C，設點，則，當且僅當時取“=”，即的最小值為，C正確；對于D，因點M的軌跡方程為，則設，令，有，，于是得為銳角，D不正確.故選：BC7．（2022·重慶市萬州第二高級中學高二開學考試）已知拋物線，其焦點為F，準線為l，PQ是過焦點F的一條弦，點，則下列說法正確的是（

）A．焦點F到準線l的距離為2B．焦點，準線方程C．的最小值是3D．以弦PQ為直徑的圓與準線l相切【答案】ACD【解析】：對B：由拋物線，可得，準線

，故選項B錯誤；對A：由拋物線，可得，即，所以焦點F到準線l的距離為，故選項A正確；對C：過點P作，垂足為，由拋物線的定義可得，所以（為點到準線l的距離），當且僅當、、三點共線時等號成立，所以的最小值是3，故選項C正確；對D：過點P、Q分別作，，垂足分別為、，設弦PQ的中點為M，則弦PQ為直徑的圓的圓心為M，過點M作，垂足為，則為直角梯形的中位線，，又根據(jù)拋物線的定義有，，所以，所以以弦PQ為直徑的圓與準線l相切，故選項D正確；故選：ACD.8．（2022·河北·張家口市宣化第一中學高二期末）已知點是拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于、兩點，則下列結論正確的是（

）A．點到焦點的最小距離為1 B．若點的坐標為，則的最小值為C．以為直徑的圓與拋物線的準線相切 D．【答案】BD【解析】如下圖：且準線為，A：過的直線交拋物線于、，則該直線斜率存在時不為0，由拋物線性質(zhì)知：，即到焦點沒有最小距離，錯誤；B：如上圖，拋物線準線，要使的最小，則共線，即，正確；C：以為圓心，為半徑的圓或以為直徑的圓與拋物線的準線相切，而以為直徑的圓不與拋物線的準線相切，錯誤；D：令為，聯(lián)立拋物線可得：，則，，∴，.由，正確.故選：BD.三、解答題9．（2022·全國·高二單元測試）已知動圓M過點，被y軸截得的弦長為4.(1)求圓心M的軌跡方程；(2)若的頂點在M的軌跡上，且點A、C關于x軸對稱，直線BC經(jīng)過點，求證：直線AB恒過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)設動圓圓心，由題意可得：，整理得：，所以動圓圓心M的軌跡E的方程：.(2)依題意，直線BC經(jīng)過點且不垂直于坐標軸，設，，直線BC的方程：，由消去x并整理得：，則有，，因點A、C關于x軸對稱，即直線AB不垂直于坐標軸，設直線AB的方程：，由消去x并整理得：，顯然，而，于是得：，即，則因此直線AB的方程：，過定點，所以直線AB恒過定點.10．（2022·河南·華中師范大學附屬息縣高級中學高二階段練習）已知拋物線C：（），過點作兩條互相垂直的直線和，交拋物線C于A，B兩點，交拋物線C于D，E兩點，拋物線C上一點到焦點F的距離為3．(1)求拋物線C的方程；(2)若線段AB的中點為M，線段DE的中點為N，求證：直線MN過定點．【答案】(1)(2)證明見解析(1)到焦點F的距離為3，則準線為，，拋物線方程為．(2)由題意知和斜率均存在，，設直線方程為，則直線方程為，由聯(lián)立得，設，則，故，同理得故直線MN方程為整理得，故直線MN過定點11．（2022·黑龍江·哈師大附中高二開學考試）已知點，點為曲線上的動點，過作軸的垂線，垂足為，滿足．(1)曲線的方程(2)若為曲線上異于原點的兩點，且滿足，延長分別交曲線于點，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】(1)，點到直線的距離等于其到點的距離，點軌跡是以為焦點的拋物線，曲線方程為：.(2)由題意知：直線斜率都存在，不妨設直線，，，由得：，則，；設直線，同理可得：，四邊形面積，又（當且僅當，即時取等號），，即四邊形面積的最小值為.12．（2022·上?！偷└街懈叨谀┙o出如下的定義和定理：定義：若直線l與拋物線有且僅有一個公共點P，且l與的對稱軸不平行，則稱直線l與拋物線相切，公共點P稱為切點.定理：過拋物線上一點處的切線方程為.完成下述問題：如圖所示，設E，F(xiàn)是拋物線上兩點.過點E，F(xiàn)分別作拋物線的兩條切