高一數(shù)學(xué)必修一 函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

3.函數(shù)值域的求法：①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值；常轉(zhuǎn)化為型的形式；②逆求法（反求法）：通過(guò)反解，用來(lái)表示，再由的取值范圍，通過(guò)解不等式，得出的取值范圍；常用來(lái)解，型如：；④換元法：通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；常針對(duì)根號(hào)，舉例：令QUOTE，原式轉(zhuǎn)化為：QUOTE，再利用配方法。⑤利用函數(shù)有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域；⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來(lái)求值域；⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域。二．函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))（1）增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；⑴單調(diào)性：定義（注意定義是相對(duì)與某個(gè)具體的區(qū)間而言）增函數(shù)：減函數(shù)：注：①函數(shù)上的區(qū)間I且x1，x2∈I.若＞0（x1≠x2），則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)；若＜0（x1≠x2），則函數(shù)f(x)是在區(qū)間I上是減函數(shù)。②用定義證明單調(diào)性的步驟:<1>設(shè)x1，x2∈M，且；則<2>作差整理；<3>判斷差的符號(hào)；<4>下結(jié)論；③增+增=增減+減=減④復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]單調(diào)性:同增異減（2）圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)變形（通常是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,4)定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；eq\o\ac(○,5)下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．（2）．奇函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：eq\o\ac(○,1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；eq\o\ac(○,3)作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來(lái)判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.⑵奇偶性：定義（注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，比較f(x)與f(-x)的關(guān)系）f(x)－f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)為偶函數(shù)；f(x)+f(-x)=0f(x)=－f(-x)f(x)為奇函數(shù)。注:①若f(x)為偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=f(｜x｜);②若f(x)為奇函數(shù)且定義域中含0,則f(0)=0.⑶周期性:①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常數(shù),則T是函數(shù)f(x)的周期;②若f(x+a)=f(x+b)，a、b為常數(shù)且a≠b,則b-a是函數(shù)f(x)的周期。1.定義函數(shù)的周期性的定義及常用結(jié)論一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域中的任意一個(gè)x的值．若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期；若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則f(x)是周期函數(shù)，|b－a|是它的一個(gè)周期；2．函數(shù)的周期性的定義及常用結(jié)論一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域中的任意一個(gè)x的值．若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期；若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則f(x)是周期函數(shù)，|b－a|是它的一個(gè)周期；3．有關(guān)對(duì)稱性的幾個(gè)重要結(jié)論一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x的值．若f(x＋a)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；若f(a＋x)＝－f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,eq\f(a＋b,2))中心對(duì)稱．特別地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱．4．對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系周期性與對(duì)稱性是相互聯(lián)系、緊密相關(guān)的．一般地，若f(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸x＝a和x＝b(a≠b)，則f(x)必為周期函數(shù)，且2|b－a|是它的一個(gè)周期；若f(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，則f(x)必為周期函數(shù)，且2|b－a|為它的一個(gè)周期；若f(x)的圖象有一條對(duì)稱軸x＝a和一個(gè)對(duì)稱中心(b,0)(a≠b)，則f(x)為周期函數(shù)，且4|b－a|是它的一個(gè)周期．⑷對(duì)稱性:①若f(x+a)=f(b-x),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=對(duì)稱;(即:‘一均二等’的原則)②若函數(shù)y=f(x+a)和函數(shù)y=f(b-x),則函數(shù)y=f(x+a)和函數(shù)y=f(b-x)關(guān)于直線x=對(duì)稱.③你還知道函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=0(即y軸),直線y=0(即x軸),原點(diǎn)。9、函數(shù)的解析表達(dá)式（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：湊配法待定系數(shù)法換元法消參法10．函數(shù)最大（?。┲担ǘx見課本p36頁(yè)）eq\o\ac(○,1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲礶q\o\ac(○,2)利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲礶q\o\ac(○,3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：1.求下列函數(shù)的定義域：⑴⑵2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_3.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是4.函數(shù)，若，則=5.求下列函數(shù)的值域：⑴⑵(3)