高中數(shù)學必修4平面向量知識點總結計劃常見題型

高中數(shù)學必修4平面向量學習知識點總結計劃及常有題型高中數(shù)學必修4平面向量學習知識點總結計劃及常有題型1/25高中數(shù)學必修4平面向量學習知識點總結計劃及常有題型高中必修4平面向量知識點歸納及常有題型一.向量的基本見解與基本運算1向量的見解：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c?來?表示，或用有uuur向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：ABuuur幾何表示法AB，a；坐標表示法axiyj(x,y)向量的大小即向量的模（長度），記作uuur|AB|即向量的大小，記作｜a｜向量不能夠比較大小，但向量的模能夠比較大?。诹阆蛄浚洪L度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向rr量平行零向量a＝0｜a｜＝0由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在相關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件．（注意與0的差異）③單位向量：模為1個單位長度的向量向量a為單位向量｜0a｜＝10④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都能夠移到同素來線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作a∥b由于向量能夠進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總能夠平移到同素來線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點能夠任意采用，現(xiàn)在必定區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經過平移后總可以重合，記為ab大小相等，方向相同(,)(,)x1yxy122x1y1x2y22向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法uuurruuurr設ABa,BCbr，則a+buuuruuur=ABBCuuur=AC（1）0aa0a；（2）向量加法滿足交換律與結合律；向量加法有“三角形法規(guī)”與“平行四邊形法規(guī)”：（1）用平行四邊形法規(guī)時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法規(guī)的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法規(guī)；當兩向量是首尾連接時，用三角形法規(guī)．向量加法的三角形法規(guī)可實行至多個向量相加：uuuruuuruuuruuuruuuruuurABBCCDLPQQRAR，但這時必定“首尾相連”．3向量的減法①相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量記作a,零向量的相反向量仍是零向量關于相反向量有：（i）(a)=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互為相反向量，則a=b,b=a,a+b=0②向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：aba(b)求兩個向量差的運算，叫做向量的減法③作圖法：ab能夠表示為從b的終點指向a的終點的向量（a、b有共同起點）4實數(shù)與向量的積：①實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定以下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）當0時，λa的方向與a的方向相同；當0時，λa的方向與a的方向相反；當0時，a0，方向是任意的②數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律5兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個實數(shù)，使得b=a6平面向量的基本定理：若是e1,e2是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任向來量a，有且只有一對實數(shù)1,2使：a1e12e2，其中不共線的向量e叫做表示這一平面內所有向量的一組基底1,ee叫做表示這一平面內所有向量的一組基底27特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算（2）相等向量與平行向量有差異，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有差異，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的詳盡地址沒關，只與其相對地址相關學習本章主要成立數(shù)形轉變和結合的見解，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算辦理幾何問題，特別是辦理向量的相關地址關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量可否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結合起來進行綜合觀察，是知識的交匯點二.平面向量的坐標表示1平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相rr同的兩個單位向量i,j作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內r的任向來量arrr，由于ar與數(shù)對(x,y是)一一對應的，因可表示成axiyj此把(x,y叫)做向量ar的坐標，記作ar=(x,y，)其中x叫作ar在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的詳盡地址沒關，只與其相對地址相關2平面向量的坐標運算：(1)若rrax1,y1,bx2,y2，則rrabx1x2,y1y2(2)若Ax1,y,Bx,y，則122uuurABx2x1,y2y1(3)若ar=(x,y，)則ar=(x,y)(4)若rrax1,y1,bx2,y2，則rra//bxyxy01221(5)若rrax1,y1,bx2,y2，則rrabxxyy1212rr若ab，則0x1xyy2123向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內積）及其各運算的坐標表示和性質運幾何方法坐標方法運算性質算類型向1平行四邊形法rrab(xx,yy)1212abba量則(ab)ca(bc)的2三角形法規(guī)uuuruuuruuurABBCAC加法向rr三角形法規(guī)ab(x1x2,y1y2)aba(b)量uuuruuurABBA的uuuruuuruuurOBOAAB減法向a是一個向量,a(x,y)(a)( )a量滿足:)aaa(的>0時,a與a同(ab)ab乘向;a∥bab法<0時,a與a異向;=0時,a=0向a?是一個數(shù)brra?bxxyy1212a?bb?a量a或b0時,0(a)?ba?(b)(a?b)的a?=0b(ab)?ca?cb?c數(shù)a且b0時,0a2|a|,222|a|xy量a?b|a||b|cosa,b|a?b||a||b|積三．平面向量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量ar與br，它們的夾角為，則ar·br=︱ar︱·︱br︱cos叫做ar與br的數(shù)量積（或內積）規(guī)定0rar0r2向量的投影：︱brrrab︱cos=r∈R，稱為向量b|a|在ar方向上的投影投r方向上的投影投影的絕對值稱為射影rr3數(shù)量積的幾何意義：ar·b等于ar的長度與b在ar方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關系：rrrr2||2aaaa5乘法公式成立：rrrrrrrr222abababab2；rrrrrr2rrr2r2222abaabba2abb6平面向量數(shù)量積的運算律：rrrr①交換律成立：abbarrr

rrr②對實數(shù)的結合律成立：abababRrrrrrrr③分配律成立：abcacbcrrrcabrrrrrr；特別注意：（1）結合律不成立：abcabcrrrr（2）消去律不成立abacrr不能夠獲取bcrr=0不能夠獲取ar=0r或br=0r

（3）ab7兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：已知兩個向量rrr，則ar·ba(x,y),b(x,y)1122=xxyy1212r8向量的夾角：已知兩個非零向量ar與buuur，作OAuurur=ar,OB=b,則∠AOB=（r018000）叫做向量ar與b的夾角rrrcos=cosa,babr?r=ra?b2x1xx122y1yy122x22y2r當且僅當兩個非零向量ar與br同方向時，θ=00，當且僅當ar與b反方向r時θ=1800，同時0與其他任何非零向量之間不談夾角這一問題r9垂直：若是ar與brr的夾角為900則稱a與br垂直，記作ar⊥b10兩個非零向量垂直的充要條件：a⊥ba·b＝O0x1xyy平面向量數(shù)量積的性質212題型1.基本見解判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。（2）若兩個向量不相等，則它們的終點不能能是同一點。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。uuuruuur（4）四邊形ABCD是平行四邊形的條件是ABCD。uuuruuur（5）若ABCD，則A、B、C、D四點構成平行四邊形。（6）由于向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量。r（7）若ar與br共線，br與cr共線，則ar與c共線。rr（8）若mambrr，則ab。rr（9）若mana，則mn。r（10）若ar與br不共線，則ar與b都不是零向量。rrrrrr（11）若ab|a||b|，則a//b。rrrr（12）若|ab||ab|rr，則ab。題型2.向量的加減運算r1.設ar表示“向東走8km”,brr表示“向北走6km”,則|ab|。uuuruuuruuuruuuruuuur2.化簡(ABMB)(BOBC)OM。uuur3.已知|OA|5uuur,|OB|3uuru,則|AB|的最大值和最小值分別為、。uuuruuuruuuruuurruuurr為與的和向量，且ACa,BDb4.已知ACABADuuur，則ABuuur，AD。5.已知點C在線段AB上，且題型3.向量的數(shù)乘運算uuuruuur3ACAB5uuur,則ACuuruBCuuur，ABuuruBC。rrrr1.計算：（1）3(ab)2(ab)rrrrrr（2）2(2a5b3c)3(2a3b2c)rr2.已知a(1,4),b(3,8)題型4.作圖法球向量的和，則rr13ab2。rr已知向量a,bra，以以下列圖，請做出向量rr13ab2和rr32ab2。rb題型5.依照圖形由已知向量求未知向量uuuruuuruuur1.已知在ABC中，D是BC的中點，請用向量ABAC，表示AD。uuurruuurr2.在平行四邊形ABCD中，已知ACa,BDbuuuruuur，求ABAD和。題型6.向量的坐標運算uuur1.已知AB(4,5)，A(2,3)，則點B的坐標是。uuur2.已知PQ(3,5)，P(3,7)，則點Q的坐標是。r3.若物體受三個力F1(1,2)r,F2(2,3)r,F3(1,4),則合力的坐標為。r4.已知a(3,4)r，b(5,2)rr，求abrr，abrr，3a2b。r5.已知A(1,2),B(3,2),向量a(x2,x3y2)uuur與AB相等，求x,y的值。uuur6.已知AB(2,3)uuur，BC(m,n)uuur，CD(1,4)uuur，則DA。uuuruuurr7.已知O是坐標原點，A(2,1),B(4,8)，且AB3BC0uuur，求OC的坐標。題型7.判斷兩個向量可否作為一組基底uruur1.已知e1,e2是平面內的一組基底，判斷以下每組向量可否能構成一組基底：uruururuururuuruurururuuruururuuruurur和4C.A.e1e2e1e23e2ee6ee13e2e23e1eee和B.和D.和1221221r2.已知a(3,4)，能與ar構成基底的是（）34A.(,)5543B.(,)5534C.(,)554D.(1,)3題型8.結合三角函數(shù)求向量坐標uuur1.已知O是坐標原點，點A在第二象限，|OA|2uuur，xOA150o，求OA的坐標。uuur2.已知O是原點，點A在第一象限，|OA|43uuur，xOA60o，求OA的坐標。題型9.求數(shù)量積rr1.已知|a|3,|b|4r，且ar與brr的夾角為60o，求（1）abrrr，（2）a(ab)，（3）rrr1(ab)b2rrrr，（4）(2ab)(a3b)。rr2.已知a(2,6),b(8,10)rrrr，求（1）|a|,|b|，（2）abrrr，（3）a(2ab)，rrrr（4）(2ab)(a3b)。題型10.求向量的夾角rr1.已知|a|8,|b|3rr，ab12r，求ar與b的夾角。rr2.已知a(3,1),b(23,2)r，求ar與b的夾角。3.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cosBAC。題型11.求向量的模rr1.已知|a|3,|b|4r，且ar與brrrr的夾角為60，（2）|2a3b|o，求（1）|ab|o，求（1）|ab|。rr2.已知a(2,6),b(8,10)rrrr，求（1）|a|,|b|，（5）|ab|，（6）rr1|ab|2。rrrr，，|3a2b|33.已知|a|1|b|2rr，求|3ab|。r題型12.求單位向量【與a平行的單位向量：rerar】|a|r1.與a(12,5)平行的單位向量是。2.與rm1(1,)2平行的單位向量是。題型13.向量的平行與垂直r1.已知a(6,2)r，b(3,m)rr，當m為何值時，（1）a//brr？（2）ab？r2.已知a(1,2)r，b(3,2)rr，（1）k為何值時，向量kabrr與a3b垂直？rr（2）k為何值時，向量kabrr與a3b平行？rrrrr是非零向量，abac3.已知arr，且bcrrr，求證：a(bc)。題型14.三點共線問題1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求證：A,B,C三點共線。2.設uuurrruuurrruuurrr2AB(a5b),BC2a8b,CD3(ab)2，求證：A、B、D三點共線。uuurrruuurrruuurrr3.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b，則必然共線的三點是。4.已知A(1,3)，B(8,1)，若點C(2a1,a2)在直線AB上，求a的值。5.已知四個點的坐標O(0,0)，A(3,4)，B(1,2)，C(1,1)，能否存在常數(shù)t，使uuuruuuruuurOAtOBOC成立？題型15.判斷多邊形的形狀uuurr1.若AB3euuurruuuruuur，CD5e，且|AD||BC|,則四邊形的形狀是。2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，證明四邊形ABCD是梯形。3.已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求證：ABC是直角三角形。uuuruuuruuur4.在平面直角坐標系內，OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求證：ABC是等腰直角三角形。題型16.平面向量的綜合應用r1.已知a(1,0)r，b(2,1)rr，當k為何值時，向量kabrr與a3b平行？r2.已知a(3,5)rr，且abr，|b|2r，求b的坐標。rrr3.已知a與b同向，b(1,2)rrr，則ab10，求a的坐標。r3.已知a(1,2)r，b(3,1)r，c(5,4)r，則crarb。r4.已知a(5,10)r，b(3,4)r，c(5,0)rr，請將用向量a,b表示向量cr。r5.已知a(m,3)r，b(2,1)r，（1）若ar與b的夾角為鈍角，求m的范圍；r（2）若ar與b的夾角為銳角，求m的范圍。r6.已知a(6,2)r，b(3,m)r，當m為何值時，（1）ar與br的夾角為鈍角？（2）ar與b的夾角為銳角？7.已知梯形ABCD的極點坐標分別為A(1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB//DC，AB2CD，求點C的坐標。8.已知平行四邊形ABCD的三個極點的坐標分別為A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求第四個極點D的坐標。o9.一航船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實質航行方向與水流方向成30角，求水流速度與船的實質速度。10.已知ABC三個極點的坐標分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，uuuruuur（1）若ABAC0，求c的值