教學第八章柱體扭轉-元件課件

第八章柱體扭轉圓軸扭轉——平面假設非圓截面柱體——橫截面翹曲柱體扭轉精確求解是十分困難的第八章柱體扭轉圓軸扭轉——平面假設目錄§8.1

扭轉問題的基本解法§8.2

薄膜比擬法§8.3

橢圓截面桿件的扭轉§8.4

矩形截面桿件的扭轉§8.5

開口薄壁桿件的扭轉目錄§8.1扭轉問題的基本方程柱體扭轉橫截面翹曲自由扭轉——翹曲不受限制約束扭轉——翹曲受到限制彈性力學討論自由扭轉§8.1扭轉問題的基本方程柱體扭轉柱體自由扭轉計算模型自由扭轉假設1.剛截面假設2.翹曲假設位移解法基本方程§8.1基本方程2單位長度相對扭轉角

調和方程柱體自由扭轉計算模型§8.1基本方程2單位長度相對扭轉柱體扭轉邊界條件側面邊界條件翹曲函數表達端面邊界條件困難端面邊界條件T=GDj§8.1基本方程3柱體扭轉邊界條件側面邊界條件翹曲函數表達端面邊界條件困難端面柱體扭轉應力解法扭轉應力函數y(x,y)——普朗特（Prandtl）扭轉應力函數

§8.1基本方程4yc=const

邊界條件側面端面單連域取為0柱體扭轉應力解法§8.1基本方程4yc=const邊界§8.2薄膜比擬德國力學家普朗特（Prandtl）

基本思想：作用均勻壓力的薄膜與柱體扭轉有著相似的微分方程和邊界條件通過測試薄膜彎曲的情況，分析柱體扭轉時橫截面的應力分布

薄膜比擬§8.2薄膜比擬德國力學家普朗特（Prandtl）薄膜邊界垂度

Z=0

薄膜垂度微分方程薄膜所圍的體積調整薄膜的高度，使2V=T，則 Z=y

薄膜垂度Z與扭轉應力具有相同的函數形式y(tǒng)c=0

§8.1基本方程4薄膜邊界垂度Z=0薄膜垂度微分方程薄膜所圍的體積薄膜曲面可以形象地描述柱體橫截面的扭轉應力分布薄膜的等高線

§8.1基本方程4切應力方向沿薄膜等高線切線切應力與等高線法線方向導數成正比切應力與等高線相切切應力線

ts薄膜曲面可以形象地描述柱體橫截面的扭轉應力分布§8.1基§8.3橢圓截面桿件扭轉橢圓截面桿件扭轉應力函數§8.3橢圓截面桿件扭轉橢圓截面桿件最大切應力橫截面翹曲§8.3橢圓截面桿件2扭轉應力最大切應力§8.3橢圓截面桿件2扭轉應力§8.4矩形截面桿件扭轉矩形截面桿件扭轉應力函數構造困難應力解法基本方程為泊松方程任何泊松方程，只要找到它的一個特解，都可以化成拉普拉斯方程?！?.4矩形截面桿件扭轉矩形截面桿件任何泊松方程，只要找協(xié)調方程

特解

協(xié)調方程側面邊界條件§8.4矩形截面桿件2協(xié)調方程協(xié)調方程§8.4矩形截面桿件2協(xié)調方程側面邊界條件設§8.4矩形截面桿件3協(xié)調方程設§8.4矩形截面桿件3根據薄膜比擬，應力函數為x和y的偶函數，所以協(xié)調方程的特解線性迭加就是方程通解

根據邊界條件所以§8.4矩形截面桿件4根據薄膜比擬，應力函數為x和y的偶函數，所以協(xié)調方程的特解根據邊界條件則兩邊同時乘以并在（-b，b）區(qū)間積分，可得應力函數§8.4矩形截面桿件5根據邊界條件則兩邊同時乘以并在（-b，b）區(qū)間積分，可得j由端面面力邊界條件確定

§8.4矩形截面桿件6j由端面面力邊界條件確定§8.4矩形截面桿件6取n=0一項§8.4矩形截面桿件7tmax取n=0一項§8.4矩形截面桿件7tmax§8.5開口薄壁桿件狹長矩形桿件a/b≥10和g

→0.333最大切應力

單位長度扭轉角§8.5開口薄壁桿件狹長矩形桿件開口薄壁桿件橫截面由等寬度的狹長矩形組成§8.5開口薄壁桿2開口薄壁桿件橫截面由等寬度的狹長矩形組成§8.5開口薄§8.5開口薄壁桿3§8.5開口薄壁桿3應力集中長邊中點切應力給出了相當精確的解答局部切應力局部tmax與圓弧半徑r與狹長矩形的短邊di的比值有關

§8.5開口薄壁桿4應力集中§8.5開口薄壁桿4第八章柱體扭轉圓軸扭轉——平面假設非圓截面柱體——橫截面翹曲柱體扭轉精確求解是十分困難的第八章柱體扭轉圓軸扭轉——平面假設目錄§8.1

扭轉問題的基本解法§8.2

薄膜比擬法§8.3

橢圓截面桿件的扭轉§8.4

矩形截面桿件的扭轉§8.5

開口薄壁桿件的扭轉目錄§8.1扭轉問題的基本方程柱體扭轉橫截面翹曲自由扭轉——翹曲不受限制約束扭轉——翹曲受到限制彈性力學討論自由扭轉§8.1扭轉問題的基本方程柱體扭轉柱體自由扭轉計算模型自由扭轉假設1.剛截面假設2.翹曲假設位移解法基本方程§8.1基本方程2單位長度相對扭轉角

調和方程柱體自由扭轉計算模型§8.1基本方程2單位長度相對扭轉柱體扭轉邊界條件側面邊界條件翹曲函數表達端面邊界條件困難端面邊界條件T=GDj§8.1基本方程3柱體扭轉邊界條件側面邊界條件翹曲函數表達端面邊界條件困難端面柱體扭轉應力解法扭轉應力函數y(x,y)——普朗特（Prandtl）扭轉應力函數

§8.1基本方程4yc=const

邊界條件側面端面單連域取為0柱體扭轉應力解法§8.1基本方程4yc=const邊界§8.2薄膜比擬德國力學家普朗特（Prandtl）

基本思想：作用均勻壓力的薄膜與柱體扭轉有著相似的微分方程和邊界條件通過測試薄膜彎曲的情況，分析柱體扭轉時橫截面的應力分布

薄膜比擬§8.2薄膜比擬德國力學家普朗特（Prandtl）薄膜邊界垂度

Z=0

薄膜垂度微分方程薄膜所圍的體積調整薄膜的高度，使2V=T，則 Z=y

薄膜垂度Z與扭轉應力具有相同的函數形式y(tǒng)c=0

§8.1基本方程4薄膜邊界垂度Z=0薄膜垂度微分方程薄膜所圍的體積薄膜曲面可以形象地描述柱體橫截面的扭轉應力分布薄膜的等高線

§8.1基本方程4切應力方向沿薄膜等高線切線切應力與等高線法線方向導數成正比切應力與等高線相切切應力線

ts薄膜曲面可以形象地描述柱體橫截面的扭轉應力分布§8.1基§8.3橢圓截面桿件扭轉橢圓截面桿件扭轉應力函數§8.3橢圓截面桿件扭轉橢圓截面桿件最大切應力橫截面翹曲§8.3橢圓截面桿件2扭轉應力最大切應力§8.3橢圓截面桿件2扭轉應力§8.4矩形截面桿件扭轉矩形截面桿件扭轉應力函數構造困難應力解法基本方程為泊松方程任何泊松方程，只要找到它的一個特解，都可以化成拉普拉斯方程?！?.4矩形截面桿件扭轉矩形截面桿件任何泊松方程，只要找協(xié)調方程

特解

協(xié)調方程側面邊界條件§8.4矩形截面桿件2協(xié)調方程協(xié)調方程§8.4矩形截面桿件2協(xié)調方程側面邊界條件設§8.4矩形截面桿件3協(xié)調方程設§8.4矩形截面桿件3根據薄膜比擬，應力函數為x和y的偶函數，所以協(xié)調方程的特解線性迭加就是方程通解

根據邊界條件所以§8.4矩形截面桿件4根據薄膜比擬，應力函數為x和y的偶函數，所以協(xié)調方程的特解根據邊界條件則兩邊同時乘以并在（-b，b）區(qū)間積分，可得應力函數§8.4矩形截面桿件5根據邊界條件則兩邊同時乘以并在（-b，b）區(qū)間積分，可得j由端面面力邊界條件確定

§8.4矩形截面桿件6j由端面面力邊界條件確定§8.4矩形截面桿件6取n=0一項§8.4矩形截面桿件7tmax取n=0一項§8.4矩形截面桿件7tmax§8.5開口薄壁桿件狹長矩形桿件a/b≥10和g

→0.333最大切應力

單位長度扭轉角§8.5開口薄壁桿件狹長矩形桿件開口薄壁