慣性矩總結(jié)(含常用慣性矩公式)

-.z.慣性矩是一個(gè)物理量，通常被用作描述一個(gè)物體抵抗扭動(dòng)，扭轉(zhuǎn)的能力。慣性矩的國(guó)際單位為(m^4)。工程構(gòu)件典型截面幾何性質(zhì)的計(jì)算2.1面積矩1．面積矩的定義圖2-2.1任意截面的幾何圖形如圖2-31所示為一任意截面的幾何圖形(以下簡(jiǎn)稱(chēng)圖形)。定義：積分和分別定義為該圖形對(duì)z軸和y軸的面積矩或靜矩，用符號(hào)Sz和Sy，來(lái)表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面積矩的數(shù)值可正、可負(fù)，也可為零。面積矩的量綱是長(zhǎng)度的三次方，其常用單位為m3或mm3。2．面積矩與形心平面圖形的形心坐標(biāo)公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改寫(xiě)成，如式(2—2.3)(2—2.3)面積矩的幾何意義：圖形的形心相對(duì)于指定的坐標(biāo)軸之間距離的遠(yuǎn)近程度。圖形形心相對(duì)于*一坐標(biāo)距離愈遠(yuǎn)，對(duì)該軸的面積矩絕對(duì)值愈大。圖形對(duì)通過(guò)其形心的軸的面積矩等于零；反之，圖形對(duì)*一軸的面積矩等于零，該軸一定通過(guò)圖形形心。3．組合截面面積矩和形心的計(jì)算組合截面對(duì)*一軸的面積矩等于其各簡(jiǎn)單圖形對(duì)該軸面積矩的代數(shù)和。如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和yi、zi分別代表各簡(jiǎn)單圖形的面積和形心坐標(biāo)。組合平面圖形的形心位置由式(2—2.5)確定。(2—2.5)2.2極慣性矩、慣性矩和慣性積1．極慣性矩任意平面圖形如圖2-31所示，其面積為A。定義：積分稱(chēng)為圖形對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩，用符號(hào)IP，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)極慣性矩是相對(duì)于指定的點(diǎn)而言的，即同一圖形對(duì)不同的點(diǎn)的極慣性矩一般是不同的。極慣性矩恒為正，其量綱是長(zhǎng)度的4次方，常用單位為m4或mm4。(1)圓截面對(duì)其圓心的極慣性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)對(duì)于外徑為D、內(nèi)徑為d的空心圓截面對(duì)圓心的極慣性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D為空心圓截面內(nèi)、外徑的比值。2．慣性矩在如圖6-1所示中，定義積分，如式(2—2.9)(2—2.9)稱(chēng)為圖形對(duì)z軸和y軸的慣性矩。慣性矩是對(duì)一定的軸而言的，同一圖形對(duì)不同的軸的慣性矩一般不同。慣性矩恒為正值，其量綱和單位與極慣性矩一樣。同一圖形對(duì)一對(duì)正交軸的慣性矩和對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩存在著一定的關(guān)系。如式2—2.10)IP=Iz+Iy(2—2.10)上式說(shuō)明，圖形對(duì)任一點(diǎn)的極慣性矩，等于圖形對(duì)通過(guò)此點(diǎn)且在其平面內(nèi)的任一對(duì)正交軸慣性矩之和。表6-1給出了一些常見(jiàn)截面圖形的面積、形心和慣性矩計(jì)算公式，以便查用。工程中使用的型鋼截面，如工字鋼、槽鋼、角鋼等，這些截面的幾何性質(zhì)可從附錄的型鋼表中查取。3．慣性積如圖2—32所示，積分定義為圖形對(duì)y，、z軸的慣性積，用符號(hào)Iyz表示，如式(2—11)圖2-2.2具有軸對(duì)稱(chēng)的圖形(2—11)慣性積是對(duì)于一定的一對(duì)正交坐標(biāo)軸而言的，即同一圖形對(duì)不同的正交坐標(biāo)軸的慣性積不同，慣性積的數(shù)值可正、可負(fù)、可為零，其量綱和單位與慣性矩一樣。由慣性積的定義可以得出如下結(jié)論：假設(shè)圖形具有對(duì)稱(chēng)軸，則圖形對(duì)包含此對(duì)稱(chēng)軸在內(nèi)的一對(duì)正交坐標(biāo)抽的慣性積為零。如圖2-32所示，y為圖形的對(duì)稱(chēng)軸.則整個(gè)圖形對(duì)y、z軸的慣，性積等于零。常見(jiàn)圖形的面積、形心和慣性矩表2—2.1序號(hào)圖形面積形心位置慣性矩(形心軸)1234562．3組合截面的慣性矩1．慣性矩和慣性積的平行移軸公式任意平面圖形如圖2-2.3所示。z、y為一對(duì)正交的形心軸，z1、y1為與形心軸平行的另一對(duì)正交軸，平行軸間的距離分別為a和b。圖形對(duì)形心軸的慣性矩Iz、Iy和慣性積Izy，現(xiàn)求圖形對(duì)z1、y1軸的慣性矩Iz1、Iy1和慣性積Iz1y1。有慣性矩和慣性積的平行移軸公式如式(2—2.12)和式(2—2.13)(2—2.12)Iz1y1=Izy+abA(2—2.13)可見(jiàn)，圖形對(duì)于形心軸的慣性矩是對(duì)所有平行軸的慣性矩中最小的一個(gè)。在應(yīng)用平行移軸公式(2—2.12)時(shí)，要注意應(yīng)用條件，即y、z軸必須是通過(guò)形心的軸，且z1、y1軸必須分別與z、y軸平行。在應(yīng)用式(2—2.13)計(jì)算慣性積時(shí)，還須注意a、b的正負(fù)號(hào)，它們是截面形心c在z1oy1坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。2．組合截合慣性矩計(jì)算組合圖形對(duì)*一軸的慣性矩，等于其各組成局部簡(jiǎn)單圖形對(duì)該軸慣性矩之和，如式(2—2.14)(2—2.14)在計(jì)算組合圖形對(duì)z、y軸的慣性矩時(shí)，應(yīng)先將組合圖形分成假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)單圖形，并計(jì)算出每一簡(jiǎn)單圖形對(duì)平行于z、y軸的自身形心軸的慣性矩，然后利用平行移軸公式(2—2.12)計(jì)算出各簡(jiǎn)單圖形對(duì)z、y軸的慣性矩，最后利用式(2—2.14)求總和。2.4主慣性軸和主慣性矩過(guò)圖形上任一點(diǎn)都可得到一對(duì)主軸，通過(guò)截面圖形形心的主慣性軸，稱(chēng)為形心主軸，圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱(chēng)為形心主慣性矩。在對(duì)構(gòu)件進(jìn)展強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定計(jì)算中，常常需要確定形心主軸和計(jì)算形心主慣性矩。因此，確定形心主軸的位置是十分重要的。由于圖形對(duì)包括其對(duì)稱(chēng)軸在內(nèi)的一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，所以對(duì)于如圖6-4所示具有對(duì)稱(chēng)軸的截面圖形，可根據(jù)圖形具有對(duì)稱(chēng)軸的情況，觀察確定形心主軸的位置。(1)如果圖形有一根對(duì)稱(chēng)軸，則此軸必定是形心主軸、而另一根形心主軸通過(guò)形心，并與對(duì)稱(chēng)軸垂直，如圖2-34b)、d)所示。(2)如果圖形有兩根對(duì)稱(chēng)