熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理

填空題（共40分）1.N個(gè)全同近獨(dú)立粒子構(gòu)成的熱力學(xué)系統(tǒng)，如果每個(gè)粒子的自由度為r，系統(tǒng)的自由度為（Nr）,系統(tǒng)的狀態(tài)可以用（2Nr）維「空間中的一個(gè)代表點(diǎn)表示。2對(duì)于處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，如果系統(tǒng)所有可能的微觀狀態(tài)數(shù)為Q,則每一微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率為（1/Q）,系統(tǒng)的熵為）。(klnQ）。玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的區(qū)別在于系統(tǒng)中的粒子是否遵從（泡利不相容原理）原理，其中（費(fèi)米）系統(tǒng)的分布必須滿(mǎn)足0WfsW1。玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)在滿(mǎn)足（經(jīng)典極限條件（或e-a<<1）或ea>>1）條件時(shí)，可以使用玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)。dU二工addU二工ade+5.i11 111給出內(nèi)能變化的兩個(gè)原因，其中（da）1 1項(xiàng)描述傳熱,（工ade）項(xiàng)描述做功。項(xiàng)描述傳熱,11=(0)。06.對(duì)粒子數(shù)守恒的玻色系統(tǒng)，溫度下降會(huì)使粒子的化學(xué)勢(shì)（升高）；如果溫度足夠低，則會(huì)發(fā)生（玻色一一愛(ài)因斯坦凝聚）。這時(shí)系統(tǒng)的能量U=（0），壓強(qiáng)p=（0），=(0)。000,粒子的平均能量為（2kT—7.已知粒子遵從經(jīng)典玻爾茲曼分布，其能量表達(dá)式為e二—（p2+p2+p2）+ax2,粒子的平均能量為（2kT—2mxyzbz/4a）。當(dāng)溫度（很低）或粒子數(shù)密度（很大）時(shí)，玻色系統(tǒng)與費(fèi)米系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)效應(yīng)會(huì)很強(qiáng)。如果系統(tǒng)的分布函數(shù)為P，系統(tǒng)在量子態(tài)s的能量為E，用P和Es _ \、 s s s表示：系統(tǒng)的平均能量為（E二ZpE），能量漲落為ss（Ep（E-E）2）（如寫(xiě)成E2-（E）2也得分）。10.與宏觀平衡態(tài)對(duì)應(yīng)的是穩(wěn)定系綜，穩(wěn)定系綜的分布函數(shù)P具有特點(diǎn)（dP/dt=0或與時(shí)間無(wú)關(guān)等同樣的意思也得分），同時(shí)P也滿(mǎn)s s足歸一化條件。二.計(jì)算證明題（每題10分，共60分）1.假定某種類(lèi)型分子（設(shè)粒子可以分辨）的許可能及為0,3,23,,000,33,。。。，而且都是非簡(jiǎn)并的，如果系統(tǒng)含有6個(gè)分子，問(wèn)：,000,（1）與總能量33相聯(lián)系的分布是什么樣的分布？分布需要滿(mǎn)足的條件是什么？（2） 根據(jù)公式Q{a^=~N-口?a計(jì)算每種分布的微觀態(tài)數(shù)Q；1na!111（3） 確定各種分布的概率。解：能級(jí)：￡， ￡， ￡， ￡，…12 3 4能量值： 0，3，23，33，…

簡(jiǎn)并度:1，1，1，1,…分布數(shù)：ai，a2，a3，a4,分布｛a｝要滿(mǎn)足的條件為：工a=N=6滿(mǎn)足上述條件的分布有：簡(jiǎn)并度:1，1，1，1,…分布數(shù)：ai，a2，a3，a4,分布｛a｝要滿(mǎn)足的條件為：工a=N=6滿(mǎn)足上述條件的分布有：A：B：C：{a}={3,3,0,0,0,...}i0A=歸1=6；6!各分布對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)為：0B=命X1=30；6!0C=麗X1=20所有分布總的微觀態(tài)數(shù)為：0=0+0+0=6+30+20=56ABCp=0/0=6/56=0.107;

A A各分布對(duì)應(yīng)的概率為：p=0/0=30/56=0.536;B Bp=0/0=20/56=0.357;CC2?表面活性物質(zhì)的分子在液面(面積為A)上做二維自由運(yùn)動(dòng)，可以看作二維理想氣體，設(shè)粒子的質(zhì)量為m,總粒子數(shù)為N。m,(1)求單粒子的配分函數(shù)Z；1(2)在平衡態(tài)，按玻爾茲曼分布率，寫(xiě)出位置在x到x+dx，y到y(tǒng)+dy內(nèi)，動(dòng)量在p到p+dp，p到p+dp內(nèi)的分子數(shù)dN；y(3)寫(xiě)出分子按速度的分布;(4)寫(xiě)出分子按速率的分布。解:(1)單粒子的配分函數(shù)z=丄刖1h2Ae-衛(wèi)（Px2+Py2）dxdydpdP=—（2兀mkT）xy h22）dN=e-（?+Ps） xa=——e-Psh2 Z1dxdydpdpxyh2(3)將(1)代入(2)，dxdydpdpxyh2mdN一=N( )e-忑(v2+v2)dvdvv 2兀kT xyxy(4)有(3)可得分子按速率的分布為：m mv2 m mv22兀N（ ）e"2kTvdv=N（ ）e一2kTvdv2兀kT kT=一￡，103.定域系含有N個(gè)近獨(dú)立粒子，每個(gè)粒子有兩個(gè)非簡(jiǎn)并能級(jí)￡￡=￡，其中￡大于零且為外參量=一￡，10200溫度為T(mén)時(shí)處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)之比，并說(shuō)明

在極端高溫和極端低溫時(shí)粒子數(shù)比的特點(diǎn);系統(tǒng)的內(nèi)能和熱容量;極端高溫和極端低溫時(shí)系統(tǒng)的熵。解：(1)單粒子的配分函數(shù)為：Z e-psl=e-P&]+e-Ps2二eps0+e-ps01epseps0處于基態(tài)的粒子數(shù)為：N二二N1Z ePs0+e-Ps01處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為：N=—e-Ps2=N絲;2Z ePs0+e—Ps01溫度為T(mén)時(shí)處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)之為:N=e-卩￡0=e一N ePe0 勺1 ekT極端高溫時(shí)：￡極端高溫時(shí)：￡《kT,0即處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)基本相同;極端低溫時(shí)：￡0極端低溫時(shí)：￡0kT,即粒子幾乎全部處于基態(tài)。的內(nèi)e—Ps的內(nèi)e—Ps0―ePs00e—Ps0+ePs0熱容量：cv=(罟)v=—擊喘)v=欝e—Ps—ePs1—(- 0 -5)2e—ps0+eps0(2)qlnz 3U二一N十二一N ln(ePs0+e-P&0)二Ns3P 3p(3)極端高溫時(shí)系統(tǒng)的熵：S=kInQ=kln2N=Nkln2極端低溫時(shí)系統(tǒng)的熵：S=04?對(duì)弱簡(jiǎn)并的非相對(duì)論費(fèi)米氣體，求:粒子數(shù)分布的零級(jí)近似f與一級(jí)修正項(xiàng)Af；01證明：與零級(jí)近似相比，粒子數(shù)的相對(duì)修正量和內(nèi)能的相對(duì)修正量均正比于e七。解：費(fèi)米氣體分布函數(shù)為：f= 1ea+肽+解：費(fèi)米氣體分布函數(shù)為：f= 1ea+肽+1f=e-a—Ps1+e—a—Ps/.f=e—a—Ps,Af=—e—2a—2Ps01D(s)ds=CVs2dsAN=fAJ下=ae_^-肽(1—e_^-肽)=e-a~P￡—e-2a-2psD(s)ds fe—2a—2Ps= OCe—ae-a-PsCVs2dsfD(s)ds f0AU_f網(wǎng)I~UsD(s)dsxe—afsD(s)ds0金屬中的電子可以視為自由電子氣體，電子數(shù)密度n.(1)簡(jiǎn)述：T=0K時(shí)電子氣體分布的特點(diǎn)，并說(shuō)明此時(shí)化學(xué)勢(shì)嘰的意義;￡=—R 2⑵證明：T=0K時(shí)電子的平均能量050，簡(jiǎn)并壓強(qiáng)P0=尹；T=0K卩0 T=0K卩0 ￡(1)u表示T=0K時(shí)電子的最能量。電子從￡=0的能級(jí)開(kāi)始，先占據(jù)低能級(jí)，然后占據(jù)咼能級(jí)，遵從泡利不相容原理。f=1(e<u)；f=00JR0￡2d￡3= =7卩I1 [ 1 50JR0CV￡JR0￡2d￡3= =7卩I1 [ 1 50JR0CV￡2d￡J%￡2d￡0023 2=Rn=Rn350 50⑵0NJ%fD(￡)d￡02U2UN2

p= = =—￡n0 3V3NV30⑶T〉OK時(shí)：門(mén)-(s<pi)；f二-(￡=?)；/〈丄(￡〉卩)TOC\o"1-5"\h\z^2 ^2 ^2T>0K時(shí)，只有在u附近kT量級(jí)范圍內(nèi)的電子可躍遷到高能級(jí)，對(duì)CV有貢獻(xiàn)，設(shè)這部分電子的數(shù)目為N，則N=NkT。每一電子對(duì)C的eff eff R V貢獻(xiàn)為3kT/2,則金屬中自由電子對(duì)Cv的貢獻(xiàn)為小3,“ 3kkT3NkIT3Nk 3Nk 、Ce=kXN=N= ()= ( )= ()V2eff2R2R2kT2Tf fCe1T晶格的熱容量為Cv=3Nk，C—= —t0(T:104-105)C2TfV f6?固體的熱運(yùn)動(dòng)可以視為3N個(gè)獨(dú)立簡(jiǎn)正振動(dòng)，每個(gè)振動(dòng)具有各自的簡(jiǎn)U=U+工 i—正頻率si，內(nèi)能的表達(dá)式為： 0;e^/kT-1，式中的求和遍及所有的振動(dòng)模式，實(shí)際計(jì)算時(shí)需要知道固體振動(dòng)的頻譜。(1)寫(xiě)出愛(ài)因斯坦模型中采用的頻譜和德拜模型中采用的頻譜，并加以簡(jiǎn)單說(shuō)明；用愛(ài)因斯坦模型求高溫下固體的熱容量；用德拜模型證明低溫下固體的熱容量正比于T3。解：(1)愛(ài)因斯坦模型：N個(gè)分子的振動(dòng)簡(jiǎn)化為3N