初三數(shù)學(xué)中考模型之費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題含答案

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則4APP為等邊三角形，AP=PP,P'C=PC,所以PA+PB+PC=PP+PB+P'C.點(diǎn)?？煽闯墒蔷€(xiàn)段AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，BC為定長(zhǎng)，所以當(dāng)B、P、P、C四點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，PA+PB+PC最小.這時(shí)/BPA=180°-/APP'=180°-60°=120°,/APC=/APC=180°-/AP'P=180°-60°=120°,/BPC=360°-/BPA-/APC=360°-120°-120°=120°因此，當(dāng)△ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120°,可在A(yíng)B、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是P點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn).費(fèi)爾馬問(wèn)題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問(wèn)題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換.本文列舉近年“費(fèi)馬點(diǎn)”走進(jìn)中考試卷的實(shí)例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.本文列舉近年“費(fèi)馬點(diǎn)”走進(jìn)中考試卷的實(shí)例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.例1 （2019年廣東中考題）已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為<2<6，求此正方形的邊長(zhǎng).圖2 圖3分析：連接AC,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和就是到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和，這實(shí)際是費(fèi)爾馬問(wèn)題的變形，只是背景不同.解如圖2,連接AC,把a(bǔ)AEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△G/C,連接EF、BG、A6,可知4EFC.△AGC都是等邊三角形，則EF=CE.又FG=AE,/.AE+BE+CE=BE+EF+FG（圖4）.???點(diǎn)B、點(diǎn)G為定點(diǎn)（G為點(diǎn)A繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得）.???線(xiàn)段BG即為點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)E、F兩點(diǎn)都在BG上（圖3）.GO=4a

2GO=4a

2BO=CO=^y2a,GC=*2a,BG=BO+GO=第3頁(yè)/共6頁(yè)???點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為<2+*.6.」.——a+——a= +<6，解得a=2.2< 21注 本題旋轉(zhuǎn)^AEB、△BEC也都可以，但都必須繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試.例2(2009年北京中考題)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(6,0),C(0,4<3)，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D,使CD=1AC,過(guò)點(diǎn)D作DE//AB交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)作C點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，分別連結(jié)DF、EF，若過(guò)B點(diǎn)的直線(xiàn)y=kx+b將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線(xiàn)的解析式；(3)設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線(xiàn)y=kx+b與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線(xiàn)GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短.分析和解：(1)D點(diǎn)的坐標(biāo)(3,6<；3)(過(guò)程略).(2)直線(xiàn)BM的解析式為y=-。3x+6v3(過(guò)程略).圖4(3)如何確定點(diǎn)G的位置是本題的難點(diǎn)也是關(guān)健所在.設(shè)Q點(diǎn)為y軸上一點(diǎn)，P在y軸上運(yùn)動(dòng)的速M(fèi)QAQ1度為叭則P沿M-QTA運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為—^+―,使P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短，就是XMQ+AQ2v v 2最小，或MQ+2AQ最小.解法1.「BQ=AQ,「.MQ+2AQ最小就是MQ+AQ+BQ最小，就是在直線(xiàn)MO上找點(diǎn)G使他到A、B、M三點(diǎn)的距離和最小.至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個(gè)費(fèi)爾馬問(wèn)題的變形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換.把^MQB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△M'Q'B,連接QQ'、MM(圖5),可知4QQ'B、△MM'B都是等邊三角形，則QQ'=BQ.又M'Q'=MQ,:MQ+AQ+BQ=M,Q，+QQ，+AQ.???點(diǎn)A、M為定點(diǎn)，所以當(dāng)Q、Q'兩點(diǎn)在線(xiàn)段AM上時(shí)，MQ+AQ+BQ最小.由條件可證明Q'點(diǎn)第4頁(yè)/共6頁(yè)總在A(yíng)M上，所以AM與OM的交點(diǎn)就是所要的G點(diǎn)（圖6）.可證OG=-MG.2圖5 圖6 圖7解法2 考慮1MQ+AQ最小，過(guò)Q作BM的垂線(xiàn)交BM于K,由OB=6,OM=6<3,可得/BMO=30°,所以QK=2MQ.要使1MQ+AQ最小，只需使AQ+QK最小，根據(jù)“垂線(xiàn)段最短”，可推出當(dāng)點(diǎn)A、Q、K在一條直線(xiàn)上時(shí)，AQ+QK最小，并且此時(shí)的QK垂直于BM,此時(shí)的點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)G（圖7）.過(guò)A點(diǎn)作AH±BM于H，則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn).由OB=6,OM=6V;3,可得/OBM=60°, 「./BAH=30°在Rt△OAG中，OG=AO-tan/BAH=2j3??.G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2<3）（G點(diǎn)為線(xiàn)段OC的中點(diǎn)）.例3 （2009年湖州中考題）若點(diǎn)P為^ABC所在平面上一點(diǎn)，且/APB=/BPC=/CPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).（1）若P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且/ABC=60°,PA=3,PC=4,則PB的值為;（2）如圖8,在銳角△ABC的外側(cè)作等邊^(qū)ACB，，連結(jié)BB，.求證：BB'過(guò)^ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB'=PA+PB+PC.圖8解：（1）利用相似三角形可求PB的值為2<3.（2）設(shè)點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，即/APB=/BPC=/CPA=120°如圖8,把4ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到4BCE，連結(jié)PE，則△EPC為正三角形.??/BEC=/APC=120°,/PEC=60°??/BEC+/PEC=180°即P、E、B'三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上?./BPC=120°,/CPE=60°,??/BPC+/CPE=180°,即B、P、E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上第5頁(yè)/共6頁(yè)???B、P、E、B'四點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，即BB,過(guò)^AB