華中師大一附中2021年自主招生考試數(shù)學(xué)試題(word版附答案)

5/5華中師大一附中2021年自主招生考試數(shù)學(xué)試題(word版附答案)華中師大一附中2017年高中招生考試

數(shù)學(xué)試題

考試時間：80分鐘卷面滿分：150分說明：所有答案一律書寫在答題卡上，寫在試卷上作答無效．

一、選擇題(本大題共6小題，每小題7分，共42分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是正確的．)

1．實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如右圖所示，化簡代數(shù)式＋＋－

＋的結(jié)果為()

A．2b－c－1B．－1C．2a－c－1D．b－c＋1

2．已知點A，B分別是雙曲線y=和直線y=－x上任意一點，則AB的最小值為()A．2B．4C．4D．2

3．如圖，反比例函數(shù)y=(k為非零常數(shù))的圖象經(jīng)過二次函數(shù)

y=ax2＋bx(a，b為常數(shù)，且a≠0)的圖象的頂點(－，m)(m>0)

則()

A．a(chǎn)=b＋2kB．a(chǎn)=b－2k

C．k＜b＜0D．a(chǎn)＜k＜0

4．若實數(shù)a，b滿足a2＋b2=4，則＋=()

A．－2B．0C．2D．4

5．已知y=f(x)滿足：(1)f(1)=1(f(1)表示x=1時對應(yīng)的y的值，下同)；(2)當(dāng)00；

(3)對任意實數(shù)x，y有f(x＋y)－f(x－y)=2f(1－x)f(y)，則f()=()

A．1B．C．D．

6．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的兩動點，且EF=2，點G為EF的中點，點H為AD邊上一動點，連接CH，GH，則

GH＋CH的最小值為()

A．4B．9

C．D．

二、填空題(本大題共6小題，每小題7分，共42分)

7．x=(b＞21)，則x2－bx＋103=__________．

8．已知關(guān)于x的方程無解，則a的值為__________．

9．已知=7，則=__________．

10．如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，若折痕AE=5，且tan∠EFC=，連接DF．則點A到DF的距離為__________．

第10題圖第11題圖

11．如圖，PA，PB分別切⊙O于點A、點B，AC是⊙O的直徑，AC，PB的延長線交于點E，F(xiàn)為AP的中點，AB分別交OP、EF于點T、點S．若，則=__________．12．定義：使函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值為零的x的值叫函數(shù)y=f(x)的幸運點(如：y=x2－2x+1的幸運點為x=1；y=x2－2x－3的幸運點為x=3，x=－1；y=x＋1的幸運點為x=－1)．設(shè)f(x)=

＞，若g(x)f(x)－b恰好有兩個幸運點，則實數(shù)b的取值范圍為__________．三、解答題(本大題共4小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟)13．(本小題滿分16分)如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，連接AC交⊙O于點E，連接BC交⊙O于點D，AD、BE交于點F，連接DE．

(1)求證：點F在△ABC的AB邊的高上；

(2)若AB=DE，求∠AFB的度數(shù)．

14．(本小題滿分16分)

(1)設(shè)k，t為常數(shù)，解關(guān)于x的方程kx2＋(3－3k)x＋2k－6=0…①

(2)在(1)的條件下，若方程①只有整數(shù)根，且關(guān)于y的一元二次方程(k＋3)y2－15y＋t=0…②有兩個正整數(shù)根y1，y2，則t為何值時，y21+y22有最小值？

15．(本小題滿分16分)已知ABCD的對角線AC、BD相交于E點，∠CAD=a，∠BAC=β．(1)如圖1，若a=2β，BD=10，AD=8，求AC的長；

(2)如圖2，若a=β=45°，點M為線段AB上一動點，連接DM，將DM繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得線段DN，連接BN．若點M由A→E勻速運動，點M到達E點后運動停止，在點M運動的過程中，∠CBN的度數(shù)是否變化？若變化，求其取值范圍；若不變，求其值．

16．（本小題滿分18分）已知拋物線y＝x2的圖象如圖1所示，A（0，a）（a＞0），直線l：y＝

，點B為拋物線上的任意一點且恒滿足點B到A點距離與點B到l的距離相等．(1)求a的值；

(2)如圖2，若直線l1：y＝kx＋

交拋物線于E，D兩點，連接DO、OE．

①過點E作EC⊥x軸于點C，過點D作DF⊥x軸于點F，求

∠

∠

的值；

②過點E作EM⊥l于點M，過點D作DN⊥l于點N，點G為MN的中點，若點G到DE的距離為

，求k值．

A

B

C

D

EM

AB

D

C

E

N圖1

圖

2

華中師大一附中2017年高中招生考試

數(shù)學(xué)試題參考答案

考試時間：80分鐘卷面滿分：150分

說明：所有答案一律書寫在答題卡上，寫在試卷上作答無效．

一、選擇題(本大題共6小題，每小題7分，共42分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是正確的．)

7．08．1，2，49．310．411．12．－3<b≤0或b=1三、解答題(本大題共4小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟)13．（1）∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°

∴AD、BE是△ABC的兩條高，

∴F是△ABC的AB邊上的高．

（2）∵∠CDE＝∠CAB，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，

∴cosC，∴∠C=45°，

∵∠C＋∠EFD＝180°，∴∠AFB＝∠EFD＝135°．

14．（1）當(dāng)k＝0時，x＝2符合題意；

當(dāng)k≠0時，則(x－2)(kx＋3－k)＝0，∴x1＝2，x2＝

（2）由（1）得，k＝0時，x＝2

∴y1＋y2＝5，y1·y2＝，∴(y1，y2，t)＝(4，1，12)或(3，2，18)或(1，4，12)或(2，3，8)∴y21+y22＝17或13

當(dāng)k≠0時，x1＝2，x2＝

∴k＝，則k＋3＝，y1＋y2＝＝5＋≥2，

∴x2－2＝－5，1，5，∴x2＝－3，3，7

∴k＝，，，∴y1＋y2＝4，10，6

當(dāng)y1＋y2＝4時，(y1，y2)＝(3，1)或（2，2）或（1，3），y21+y22＝8或10

當(dāng)y1＋y2＝6時，y21+y22＝(6－y2)2＋y22＝2(y2－3)2＋18≥18

當(dāng)y1＋y2＝10時，y21+y22＝(10－y2)2＋y22＝2(y2－5)2＋50≥50

∴(y21+y22)min＝8，∴y1＝y(tǒng)2＝2，k＝，又y1·y2＝，∴t＝(k＋3)y1·y2＝15

綜上，當(dāng)t＝15時，y21+y22有最小值．

15．（1）以B為圓心，BC為半徑畫弧交AC于C，F(xiàn)兩點，連接BF，作BS⊥AC于S

∵a=2β，∠BCA＝∠DAC＝∠BFC，∴∠ABF＝∠BAF∴BC＝AD＝BF＝AF＝8

∴ES＝CE－CS＝

AC－

CF=

AF＝4

∴BS＝＝3，∴CS＝＝，∴CE＝4＋∴AC=8+2

或延長EC至T，使CT＝BC，連接BT，做法與上法類似．（2）法1：以AD為邊作等邊△AFD，

以DE為邊作等邊△DEG（如圖所示），連NG，F(xiàn)G

∵a=β=45°，易證四邊形ABCD為正方形，易證△MDE≌△NDG，△ADE≌△FDG，∠FGD＝∠AED＝∠NGD＝90°，∴F，N，G三點共線

∠ABF＝∠AFB＝75°，∠DBF＝30°

延長BF交直線DG于G′，∴∠BG′D＝90°，∴BD＝2DG′＝2DG，∴G與G′重合，

∴B、F、N、G四點共線，∴∠NBD＝30°，∠CBN＝15°不變．法2：作等邊△DEG，連接NG，易證△MDE≌△NDG，

∴∠MED＝∠NGD＝90°，∠EDG＝60°，延長GN交直線BD于B′，則DB′＝2DG，又∵BD＝2DG，∴BD＝DB′，∴B與B′重合，∴∠DBG＝30°，∴∠CBN＝15°．16．（1）設(shè)B(x，y)，∴y＝x2，∴x2＋(y－a)2＝(y＋

)2，∴(

－2a)y＋a2－

＝0，

∴

－

－，∴a＝，或B與O重合，a＝

，再證BA與B到直線l的距離相等．（2）①作BC⊥x軸于C，DF⊥x軸于F，設(shè)ED的解析式為y＝kx＋

，E(x1，y1)，D(x2，y2)，

＝＋

，∴

－kx－

＝0，

∴x1＋x2＝k，x1·x2＝－

，∴y1＝x21，y2＝x22∴tan∠OEC＝

，tan∠DOF＝

，∴