習題《幾何概型及其概率計算》同步練習及答案

3．3幾何概型3．幾何概型及其概率計算eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(達)eq\x(標)1．ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為()\f(π,4)B．1－eq\f(π,4)\f(π,8)D．1－eq\f(π,8)答案：B2．關(guān)于幾何概型和古典概型的區(qū)別，下列說法正確的是()A．幾何概型中基本事件有有限個，而古典概型中基本事件有無限個B．幾何概型中基本事件有無限個，而古典概型中基本事件有有限個C．幾何概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，而古典概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等D．幾何概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，而古典概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等答案：B3．一個紅綠燈路口，紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為45秒．當你到達路口時，恰好看到黃燈亮的概率是()\f(1,12)\f(3,8)\f(1,16)\f(5,6)答案：C4．點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為________．答案：eq\f(2,3)5．在區(qū)間[－3,3]上隨機取一個數(shù)x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率為________________________________________________________________________．解析：先求出絕對值不等式的解集，再結(jié)合幾何概型知識求解．當x<－1時，不等式可化為－x－1＋x－2≥1，即－3≥1，此式不成立，∴x∈?；當－1≤x≤2時，不等式可化為x＋1－(2－x)≥1，即x≥1，∴此時1≤x≤2；當x>2時，不等式可化為x＋1－x＋2≥1，即3≥1，此式恒成立，∴此時x>2.綜上可知，不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集為[1，＋∞)．∴不等式|x＋1|－|x－2|≥1在區(qū)間[－3,3]上的解集為[1,3]，其長度為2.又x∈[－3,3]，其長度為6，由幾何概型知識可得P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\x(鞏)eq\x(固)eq\x(提)eq\x(升)6.如右圖，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點，作射線OC，則∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率為________．答案：eq\f(1,3)7．在體積為V的三棱錐SABC的棱AB上任取一點P，求三棱錐SAPC的體積大于eq\f(V,3)的概率．解析：如右圖，要使VSAPC＞eq\f(V,3)，需有S△APC＞eq\f(1,3)S△ABC，∴P需滿足PB＜eq\f(2,3)AB.∴三棱錐SAPC的體積大于eq\f(V,3)的概率為P＝eq\f(\f(2,3)V,V)＝eq\f(2,3)或P＝eq\f(\f(2,3)AB,AB)＝eq\f(2,3).8．一個靶子如圖所示，隨機地擲一個飛鏢扎在靶子上，假設(shè)飛鏢不會落在黑色靶心上，也不會落在兩種顏色之間，求飛鏢落在下列區(qū)域的概率：(1)編號為25的區(qū)域；(2)綠色區(qū)域(陰影部分)；(3)編號不小于24的區(qū)域；(4)編號為6號到9號的區(qū)域；(5)編號為奇數(shù)的區(qū)域；(6)編號能被5或3整除的陰影區(qū)域．解析：飛鏢落在每一個區(qū)域的概率是一樣的，那么只要計算小扇形的個數(shù)就可以了，一共有26個小扇形．這是幾何概型問題．(1)P＝eq\f(1個小扇形的面積,26個小扇形的面積)＝eq\f(1,26)；(2)P＝eq\f(13個小扇形的面積,26個小扇形的面積)＝eq\f(13,26)＝eq\f(1,2)；(3)P＝eq\f(編號不小于24的扇形面積,全部區(qū)域的扇形面積)＝eq\f(編號大于等于24的扇形面積,全部區(qū)域的扇形面積)＝eq\f(3,26)；(4)P＝eq\f(6號到9號區(qū)域的扇形面積,全部區(qū)域的扇形面積)＝eq\f(4,26)＝eq\f(2,13)；(5)P＝eq\f(奇數(shù)號區(qū)域的扇形面積,全部區(qū)域的扇形面積)＝eq\f(13,26)＝eq\f(1,2)；(6)陰影部分能被3整除的編號有6,12,18,24共4個，能被5整除的編號有10,20共2個，所以P＝eq\f(4＋2,26)＝eq\f(3,13).9．甲、乙兩人約定6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率．解析：事件A＝“兩人能見面”．以x和y分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件是|x－y|≤15，在如圖所示平面直角坐標系下，(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，而事件A的可能結(jié)果由圖中陰影部分表示．μA＝602－452＝1575，μΩ＝602＝3600，P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(1575,3600)＝eq\f(7,16).1．正確理解并掌握幾何概型的兩個特點是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵．兩個特點為：①在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果