經(jīng)典競賽幾何題

絕密★啟用前2023年05月17日張朋松的初中數(shù)學組卷試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一．解答題（共50小題）1．已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個動點（點D不與B，C重合）△ADF是以AD為邊的等邊三角形，過點F作BC的平行線交射線AC于點E，連接BF．（1）如圖1，求證：△AFB≌△ADC；（2）請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀，并說明理由；（3）若D點在BC邊的延長線上，如圖2，其它條件不變，請問（2）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，請說明理由．2．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點（如圖所示）．求證：∠DEF=∠HFE．3．在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的角平分線AE，CF相交于點O，（1）如圖1，若AB=BC，求證：OE=OF；（2）如圖2，若AB≠BC，試判斷線段OE與OF是否相等，并說明理由．4．如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，在△ABC外取一點E，使得∠EAB=∠ACB，AE=DC，并且線段ED與線段AB相交，交點記為K，問線段EK與DK有怎樣的大小關系？并說明理由．5．已知如圖，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC于D，過B作BE垂直AD于E，求證：BE=AD．6．如圖，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求證：AD=BD+CD．7．如圖△ABC，D是△ABC內(nèi)的一點，延長BA至點E，延長DC至點F，使得AE=CF，G，H，M分別為BD，AC，EF的中點，如果G，H，M三點共線，求證：AB=CD．8．如圖，在正方形ABCD中，取AD，CD的邊的中點E，F(xiàn)，連接CE，BF交于點G，連接AG，試判斷AG與AB是否相等，并說明理由．9．如圖，設點M是等腰Rt△ABC的直角邊AC的中點，AD⊥BM于E，AD交BC于D．求證：∠AMB=∠CMD（請用兩種不同的方法證明）10．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是DC及AB的中點，射線FE與AD及BC的延長線分別交于點H及G．試猜想∠AHF與∠BGF的關系，并給出證明．提示：若猜想不出∠AHF與∠BGF的關系，可考慮使四邊形ABCD為特殊情況．如果給不出證明，可考慮下面作法，連結(jié)AC，以F為中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到△ABP．11．如圖，D為△ABC中線AM的中點，過M作AB、AC邊的垂線，垂足分別為P、Q，過P、Q分別作DP、DQ的垂線交于點N．（1）求證：PN=QN；（2）求證：MN⊥BC．12．在△ABC中，D為AB的中點，分別延長CA、CB到點E、F，使DE=DF，過E、F分別作CA、CB的垂線相交于P，設線段PA、PB的中點分別為M、N．求證：①△DEM≌△DFN；②∠PAE=∠PBF．13．如圖：已知AB∥DC，∠BAD和∠ADC的平分線相交于點E，過點E的直線分別交AB、DC于B、C兩點．猜想線段AD、AB、DC之間的數(shù)量關系，并證明．14．如圖，已知△ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，G是BC上一點，△DGH是等邊三角形．求證：EG=FH．15．已知如圖，CD是RT△ABC斜邊上的高，∠A的平分線交CD于H，交∠BCD的平分線于G，求證：HF∥BC．16．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點E是CD的中點，過點E作CD的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M．點F在線段ME上，且滿足CF=AD，MF=MA．（1）若∠MFC=120°，求證：AM=2MB；（2）試猜想∠MPB與∠FCM數(shù)量關系并證明．17．如圖，在△ABC中AC＞BC，E、D分別是AC、BC上的點，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求證：∠BAD=∠C．18．已知A，C，B在同一條直線上，△ACE，△BCF都是等邊三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MG⊥CN，垂足為G．求證：CG=NG．19．如圖所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD為BC邊上的高，延長AB到E點，使BE=BD，過點D、E引直線交AC于點F，請判定AF與FC的數(shù)量關系，并證明之．20．如圖，△ABC是邊長為l的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，形成一個三角形，求證：△AMN的周長等于2．21．已知如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE=（AB+AD），求證：∠B與∠D互補．22．如圖，已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求證：BD=2CE．23．AD是△ABC的角平分線，M是BC的中點，F(xiàn)M∥AD交AB的延長線于F，交AC于E．（1）求證：CE=BF；（2）探索線段CE與AB+AC之間的數(shù)量關系，并證明．24．如圖，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°．判斷線段AD與EF數(shù)量和位置關系．25．如圖，四邊形ABCD中，BC=DC，對角線AC平分∠BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的長．26．如圖，已知線段AB的同側(cè)有兩點C、D滿足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°﹣∠DBC．求證：AC=AD．27．如圖，正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC為邊的正方形，P、Q為它們的中心，M是BC的中點，試判斷MP、MQ在數(shù)量和位置是有什么關系？并證明你的結(jié)論．28．如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，BP⊥AD，垂足為P．已知AB=5，BP=2，AC=9．試說明∠ABC=3∠ACB．29．如圖，在△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連接AN，CM相交于點P，試求∠APM的度數(shù)．30．已知如圖，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點O，（1）求：∠AOC的度數(shù)；（2）求證：AC=AE+CD．31．如圖，已知△ABC中AB＞AC，P是角平分線AD上任一點，求證：AB﹣AC＞PB﹣PC．32．如圖，在△ABC中，D為BC的中點，點E、F分別在邊AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于點O．過點O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q為垂足．求證：DP=DQ．33．如圖已知△ABC中，AB=AC，∠ABD=60°，且∠ADB=90°﹣∠BDC，求證：AB=BD+DC．34．如圖，點C在線段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，且DA=BC，EB=AC，F(xiàn)C=AB，∠AFB=51°，求∠DFE度數(shù)．35．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點M、N分別是邊AC和BC的中點，點D在射線BM上，且BD=2BM．點E在射線NA上，且NE=2NA，求證：BD⊥DE．36．如圖，△ABC中，BD為∠ABC的平分線；（1）若∠A=100°，∠C=50°，求證：BC=BA+AD；（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求證：BC=BD+AD．37．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD．求證：BD=CD．38．如圖所示，在△ABF中，已知BC=CE=EF，∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，求的值．39．如圖，已知過△ABC的頂點A，在∠BAC內(nèi)部任意作一條射線，過B、C分別作此射線的垂線段BD、CE，M為BC邊中點．求證：MD=ME．40．已知，如圖，在正方形ABCD中，O是對角線的交點，AF平分∠BAC，DH⊥AF于點H，交AC于點G，DH延長線交AB于點E求證：．41．已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為AC中點，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F，求證：∠ADB=∠CDF．42．如圖，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，E為AB中點，連接CE、CD，求證：CD=2EC．43．如圖，在△ABC中，BD=CD，AG平分∠DAC，BF⊥AG，垂足為H，與AD交于E，與AC交于F，過點C的直線CM交AD的延長線于M，且∠EBD=∠MCD，AC=AM．求證：DE=CF．44．如圖，BE、CF是△ABC的高，它們相交于點O，點P在BE上，Q在CF的延長線上且BP=AC，CQ=AB，（1）求證：△ABP≌△QCA．（2）AP和AQ的位置關系如何，請給予證明．45．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠BAC交CD于E，交BC于F，EG∥AB交BC于G，說明BG=CF的理由．46．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點，M是CD的中點，若∠AMD=∠BMD，求證：∠CDA=2∠ACD．47．如圖，已知：四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是DC、AB的中點，直線EF分別與BC、AD的延長線相交于G、H．求證：∠AHF=∠BGF．48．如圖，在等腰直角△ABC中，AD=AE，AF⊥BE交BC于點F，過F作FG⊥CD交BE延長線于G，求證：BG=AF+FG．49．已知△ABC，∠C=90°，AC=BC．M為AC中點，延長BM到D，使MD=BM；N為BC中點，延長NA到E，使AE=NA，連接ED，求證：ED⊥BD．50．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAC=∠DCA=15°，求證：BD=BA．2023年05月17日張朋松的初中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一．解答題（共50小題）1．已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個動點（點D不與B，C重合）△ADF是以AD為邊的等邊三角形，過點F作BC的平行線交射線AC于點E，連接BF．（1）如圖1，求證：△AFB≌△ADC；（2）請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀，并說明理由；（3）若D點在BC邊的延長線上，如圖2，其它條件不變，請問（2）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，請說明理由．【分析】（1）利用有兩條邊對應相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明△AFB≌△ADC；（2）四邊形BCEF是平行四邊形，因為△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，進而證明∠ABF=∠BAC，則可得到FB∥AC，又BC∥EF，所以四邊形BCEF是平行四邊形；（3）易證AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，即可證明△AFB≌△ADC；根據(jù)△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC，進而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，從而證得四邊形BCEF是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵△ABC和△ADF都是等邊三角形，∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，∴∠FAB=∠DAC，在△AFB和△ADC中，，∴△AFB≌△ADC（SAS）；（2）由①得△AFB≌△ADC，∴∠ABF=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABF=∠BAC，∴FB∥AC，又∵BC∥EF，∴四邊形BCEF是平行四邊形；（3）成立，理由如下：∵△ABC和△ADF都是等邊三角形，∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，又∵∠FAB=∠BAC﹣∠FAE，∠DAC=∠FAD﹣∠FAE，∴∠FAB=∠DAC，在△AFB和△ADC中，，∴△AFB≌△ADC（SAS）；∴∠AFB=∠ADC．又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，∴∠ADC=∠EAF，∴∠AFB=∠EAF，∴BF∥AE，又∵BC∥EF，∴四邊形BCEF是平行四邊形．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定，熟練掌握性質(zhì)、定理是解題的關鍵．2．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點（如圖所示）．求證：∠DEF=∠HFE．【分析】EF為中位線，所以EF∥BC，又因為∠HFE和∠FHB，∠DEF和∠CDE分別為一組平行線的對角，所以相等；轉(zhuǎn)化成求證∠FHB=∠CDE．【解答】證明：∵E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點，∴EF∥BC，根據(jù)平行線定理，∠HFE=∠FHB，∠DEF=∠CDE；同理可證∠CDE=∠B，∴∠DEF=∠B．又∵AH⊥BC，且F為AB的中點，∴HF=BF，∴∠B=∠BHF，∴∠HFE=∠B=∠DEF．即∠HFE=∠DEF．【點評】本題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，直角三角形中斜邊的中線為斜邊邊長的一半．3．在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的角平分線AE，CF相交于點O，（1）如圖1，若AB=BC，求證：OE=OF；（2）如圖2，若AB≠BC，試判斷線段OE與OF是否相等，并說明理由．【分析】（1）可證明△ACF≌△CAE，再由角平分線的性質(zhì)得出∠OAC=∠OCA，從而得出OE=OF；（2）過點O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分別為H，M，N，連接OB．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及逆定理可推得點O在∠B的平分線上，從而得出∠OBN=∠OBM=30°，由已知得出∠OEM=∠OFN，能證明Rt△OFN≌Rt△OEM，則OE=OF成立．【解答】證明：（1）∵∠B=60°，AB=BC，∴∠A=∠C=60°，∵AECF分別平分∠A，∠C，∴∠OAC=∠OCA=30°，∴OA=OC，△ACF≌△CAE（ASA），∴AE=CF，∴OE=OF；（2）過點O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分別為H，M，N，連接OB．∵點O在∠A，∠C的平分線上，∴ON=OH，OH=OM，從而OM=ON，∴點O在∠B的平分線上（1分）∴∠OBN=∠OBM=30°，ON=OM（2分）又∠OEM=∠B+∠A=60°+∠A∠OFN=∠A+∠C=（∠A+∠C）+∠A=（180°﹣60°）+∠A=60°+∠A．∴∠OEM=∠OFN．（2分）∴Rt△OFN≌Rt△OEM（AAS），（1分）∴OE=OF．（1分）【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，注意一題多解以及方法的簡單性．4．如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，在△ABC外取一點E，使得∠EAB=∠ACB，AE=DC，并且線段ED與線段AB相交，交點記為K，問線段EK與DK有怎樣的大小關系？并說明理由．【分析】首先作出EI⊥AB，DH⊥AB，證明△EAI≌△DCF再得出DH=DF進而得出△EKI≌△DKH即可證出．【解答】解：結(jié)論：EK=DK．（2分）理由：過點E作EI⊥AB，過點D作DH⊥AB于H，DF⊥BC于F，在△EAI和△DCF中∵，∴△EAI≌△DCF（AAS），（2分）∴EI=DF，（2分）∵BD是∠ABC的平分線，∴DH=DF，（2分）∴DH=EI，在△EKI和△DKH中，∵，∴△EKI≌△DKH（AAS），（2分）∴EK=DK．（2分）【點評】此題主要考查了三角形全等證明方法，根據(jù)題意作出EI⊥AB，DH⊥AB，從而利于全等證明是解決問題的關鍵．5．已知如圖，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC于D，過B作BE垂直AD于E，求證：BE=AD．【分析】延長AC、BE交于點M，易證得△ACD≌△BCM，可得AD=BM①，可證得△AEM≌△AEB，可得EM=BE，即BM=2BE②，由①②即可得結(jié)論．【解答】解：如圖，延長AC、BE交于點M，∵∠A的平分線AD，BE垂直AD于E，∴∠MAE=∠BAE，∠AEM=∠AEB=90°，∵AE=AE，∴△AEM≌△AEB（ASA），∴EM=BE，即BM=2BE①；∵∠A的平分線AD，AC=BC，∠C=90°，∴∠CAD=∠DAB=22.5°，∠ABC=45°，∵BE垂直AD于E，∴∠DAB+∠ABC+∠DBE=90°，即∠DBE=22.5°，∴∠CAD=∠DBE，又∵AC=BC，且∠ACB=∠BCM=90°，∴△ACD≌△BCM（ASA），∴AD=BM②；由①②得AD=2BE，即BE=AD．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．6．如圖，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求證：AD=BD+CD．【分析】先延長DB，使BE=CD，連接AE，BC，根據(jù)已知條件得出A，B，D，C四點共圓，得出∠ACB=∠ADE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出△ABC是等邊三角形，在△ABE和△ACD中，根據(jù)SAS得出△ABE≌△ACD，得出△ADE是等邊三角形，得出AD=DE，再根據(jù)DE=BD+BE，即可證出AD=BD+CD．【解答】解：延長DB，使BE=CD，連接AE，BC，∵∠BAC+∠ACD+∠BDC+∠ABD=360°，∠BAC=60°，∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴A，B，D，C四點共圓，∴∠ACB=∠ADE，∵∠ABD+∠ABE=180°，∴∠ABE=∠ACD，∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ADE=60°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE=AD，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE，∵DE=BD+BE，∴AD=BD+CD．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，關鍵是根據(jù)題意作出輔助線．7．如圖△ABC，D是△ABC內(nèi)的一點，延長BA至點E，延長DC至點F，使得AE=CF，G，H，M分別為BD，AC，EF的中點，如果G，H，M三點共線，求證：AB=CD．【分析】由三角形的中位線得，MS∥AE，MS=AE，HS∥CF，HS=CF，由已知得HS=SM，從而得出∠SHM=∠SMH，則得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不難看出AB=CD．【解答】證明：取BC中點T，AF的中點S，連接GT，HT，HS，SM，∵GHM分別為BD，AC，EF的中點，∴MS∥AE，MS=AE，HS∥CF，HS=CF，∵GT∥CD，HT∥AB，GT=CD，HT=AB，∴GT∥HS，HT∥SM，∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG，∴∠TGH=∠THG，∴GT=TH，∴AB=CD．【點評】本題考查了三角形的中位線定理以及平行線的性質(zhì)．8．如圖，在正方形ABCD中，取AD，CD的邊的中點E，F(xiàn)，連接CE，BF交于點G，連接AG，試判斷AG與AB是否相等，并說明理由．【分析】延長CE、BA交于P，易證△CDE≌△BCF，可得∠CFB=∠DEC，即可求得CE⊥BF，進而可以求證△PAE∽△PBC，可得PA=AB，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半性質(zhì)即可解題．【解答】解：延長CE、BA交于P，∵在△CDE和△BCF中，，∴△CDE≌△BCF；（SAS）∴∠CFB=∠DEC，∵∠FCG+∠DEC=90°，∴∠FCG+∠CFB=90°，∴CE⊥BF，∴△PAE∽△PBC，==，∴A是PB的中點，即AB=PB，∵RT△BPG中，AG=PB．∴AG=AB．【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角相等的性質(zhì)，本題中求證△CDE≌△BCF是解題的關鍵．9．如圖，設點M是等腰Rt△ABC的直角邊AC的中點，AD⊥BM于E，AD交BC于D．求證：∠AMB=∠CMD（請用兩種不同的方法證明）【分析】法（1）先延長AD至F，使得CF⊥AC，得出∠ABM=∠DAC，再根據(jù)AB=AC，CF⊥AC，得出△ABM≌△CAF，從而證出∠BMA=∠F，AM=CF，再根據(jù)所給的條件得出△FCD≌△MCD，即可得出∠AMB=∠F=∠CMD；法（2）先作∠BAC的平分線交BM于N，得出∠ABN=∠CAE，再根據(jù)∠BAN=∠C=45°，AB=AC，證出△BAN≌△ACD，得出AN=CD，證出△NAM≌△DCM，即可得出∠AMB=∠CMD．【解答】證明：法（1）如圖，延長AD至F，使得CF⊥AC，∵AB⊥AC，AD⊥BM，∴∠ABM=∠DAC，又∵AB=AC，CF⊥AC，∴△ABM≌△CAF，∴∠BMA=∠F，AM=CF，∵∠BCA=∠BCF=45°，AM=CM=CF，DC=DC，∴△FCD≌△MCD，∴∠AMB=∠F=∠CMD；法（2）AD交BM于E，作∠BAC的平分線交BM于N，∵AE⊥BM，BA⊥AC，∴∠ABN=∠CAE，∵∠BAN=∠C=45°，AB=AC，∴△BAN≌△ACD．∴AN=CD，∵∠NAM=∠C=45°，AM=MC∴△NAM≌△DCM，∴∠AMB=∠CMD．【點評】此題考查了解等腰直角三角形；解題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)解等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判斷與性質(zhì)進行解答即可．10．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是DC及AB的中點，射線FE與AD及BC的延長線分別交于點H及G．試猜想∠AHF與∠BGF的關系，并給出證明．提示：若猜想不出∠AHF與∠BGF的關系，可考慮使四邊形ABCD為特殊情況．如果給不出證明，可考慮下面作法，連結(jié)AC，以F為中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到△ABP．【分析】方法一：連AC，取其中點為M，連EM和FM，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EM∥AD，2EM=AD，同理FM∥BC，2FM=BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AHF=∠MEF，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BGF=∠MFE，從而得證；方法二：作法，連結(jié)AC，以F為中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到△ABP，根據(jù)獨角戲互相平分的四邊形的平行四邊形可得APBC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊相等可得AP=BC=AD，連結(jié)AP，根據(jù)等邊對等角可得∠APD=∠ADP，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥DP根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AHF=∠ADP，根據(jù)兩邊互相平行的兩個角相等或互補可得∠BGF=∠APD，然后等量代換即可得證．【解答】答：∠AHF=∠BGF．證明：方法一：連AC，取其中點為M，連EM和FM，∵EM是△ACD的中位線，∴EM∥AD，2EM=AD，同理FM∥BC，2FM=BC，∴EM=FM，∴∠MEF=∠MFE，∵∠AHF=∠MEF，∠BGF=∠MFE，∴∠AHF=∠BGF；方法二：作法，連結(jié)AC，以F為中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到△ABP，∵F是AB的中點，∴APBC是平行四邊形，∴AP=BC=AD，連結(jié)AP，則∠APD=∠ADP，∵EF是△CDP的中位線，∴EF∥DP，∴∠AHF=∠ADP，∵GF∥DP，GB∥AP，∴∠BGF=∠APD，∴∠AHF=∠BGF．【點評】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，難點在于作輔助線構(gòu)造出三角形的中位線．11．如圖，D為△ABC中線AM的中點，過M作AB、AC邊的垂線，垂足分別為P、Q，過P、Q分別作DP、DQ的垂線交于點N．（1）求證：PN=QN；（2）求證：MN⊥BC．【分析】（1）要證明PN=QN，只有證明這兩條線段所在的三角形全等就可以了，連接DN，利用斜邊直角邊對應相等的兩個三角形全等就可以了．（2）△BPM和△CQM是直角三角形，由條件知道MB=CM，取BM、CM的中點S、T，連接PS、QT可以得到PS=QT，利用角的關系證明∠SPN=∠TQN，再證明△SPN≌△TQN，從而得到NS=NT，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明MN⊥BC．【解答】證明：（1）方法一：連接DN∵D為△ABC中線AM的中點∴AD=MD，MB=CM∵MP⊥AB，MQ⊥AC∴∠APM=∠AQM=90°∴△APM、△AMQ是直角三角形∴PD=AM，QD=AM∴PD=QD∴Rt△DPN≌Rt△DQN（HL）∴NP=PQ；方法二：∵MP⊥AB，MQ⊥AC∴∠APM=∠AQM=90°，所以∠APM+∠AQM=180°，所以四邊形APMQ為圓內(nèi)接四邊形．∵D為AM的中點，∴PD，DQ為以D為圓心的四邊形APMQ內(nèi)接圓的半徑．∵PN⊥PD，QN⊥QD，∴PN，NQ為圓的兩條切線，∴PN=NQ．（2）取BM、CM的中點S、T，連接SP、SN、TQ、TN∴SP=BM=MC=TQ∴∠SPN=90°﹣∠BPS﹣∠NPM=90°﹣∠B﹣∠DPA=90°﹣∠B﹣∠BAM=90°﹣∠AMC=90°﹣∠DMQ﹣∠QMT=90°﹣∠DQM﹣∠MQT=∠TQN∴△SPN≌△TQN∴SN=TN∵SM=TM∴NM⊥BC【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)．12．在△ABC中，D為AB的中點，分別延長CA、CB到點E、F，使DE=DF，過E、F分別作CA、CB的垂線相交于P，設線段PA、PB的中點分別為M、N．求證：①△DEM≌△DFN；②∠PAE=∠PBF．【分析】①要證△DEM≌△DFN，由D、M、N分別是AB、AP、BP的中點，所以DM=BP，DN=AP，再有過E、F分別作CA、CB的垂線相交于P，所以EM=AP=DN，F(xiàn)N=BP=DM．又DE=DF所以△DEM≌△DFN．②由①得∠EMD=∠FND，由∠AMD=∠BND=∠APB所以∠AME=∠BNF，那么∠PAE=（180°﹣∠AME），∠PBF=（180°﹣∠BNF），即∠PAE=∠PBF．【解答】證明：①如圖，在△ABP中，∵D、M、N分別是AB、AP、BP的中點，∴DM=BP，DN=AP，又∵PE⊥AE，BF⊥PF∴EM=AP=DN，F(xiàn)N=BP=DM，∵DE=DF∴△DEM≌△DFN（SSS）；②∵由①結(jié)論△DEM≌△DFN可知∠EMD=∠FND，∵DM∥BP，DN∥AP，∴∠AMD=∠BND=∠APB，∴∠AME=∠BNF又∵PE⊥AE，BF⊥PF，∴△AEP和△BFP都為直角三角形，又M，N分別為斜邊PA與PB的中點，∴AM=EM=AP，BN=NF=BP，∴∠MAE=∠MEA，∠NBF=∠NFB，∴∠PAE=（180°﹣∠AME），∠PBF=（180°﹣∠BNF）．即∠PAE=∠PBF，【點評】此題考查了線段之間的關系，和全等三角形的判定和性質(zhì)，同學們應該熟練掌握．13．如圖：已知AB∥DC，∠BAD和∠ADC的平分線相交于點E，過點E的直線分別交AB、DC于B、C兩點．猜想線段AD、AB、DC之間的數(shù)量關系，并證明．【分析】在AD上截取AF=AB，連接EF，根據(jù)SAS證△BAE≌△FAE，推出∠B=∠EFA，求出∠C=∠EFD，證△CDE≌△FDE，推出DC=DF，即可得出答案．【解答】答：AD=AB+DC，證明：在AD上截取AF=AB，連接EF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵在△BAE和△FAE中∴△BAE≌△FAE（SAS），∴∠B=∠EFA，∵AB∥DC，∴∠B+∠C=180°，∵∠EFD+∠EFA=180°，∴∠C=∠EFD，∵DE平分∠CDA，∴∠CDE=∠FDE，∵在△CDE和△FDE中∴△CDE≌△FDE（AAS），∴DC=DF，∴AD=AF+DF=AB+DC．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線定義等知識點的應用，關鍵是能正確作輔助線．14．如圖，已知△ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，G是BC上一點，△DGH是等邊三角形．求證：EG=FH．【分析】連接DE、DF，根據(jù)三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，可證明△DEG≌△DFH，即可得結(jié)論．【解答】證明：連接DE、DF，（如圖）∵D、E、F是各邊中點，∴DE平行且等于AC，DF平行且等于BC，∵AB=BC=CA，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴DE=DF，∠EDF=∠DFA=∠C=60°∵已知等邊△DHG，∴DG=DH，∠HDG=60°=∠EDF，∴∠EDF﹣∠FDG=∠HDG﹣∠FDG，即∠1=∠2，∴△DEG≌△DFH（SAS），∴FH=EG．【點評】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，涉及到三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握三角形全等判定方法是解題的關鍵．15．已知如圖，CD是RT△ABC斜邊上的高，∠A的平分線交CD于H，交∠BCD的平分線于G，求證：HF∥BC．【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)作輔助線連接FE，進而證得HCEF是菱形從而證得．【解答】證明：連接FE，∵CD是Rt△ABC斜邊上的高，∴∠A=∠DCB，又∵AE平分∠A，CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠DAE，又∵∠AHD=∠CHE，∠ADH=90度，∴∠CGE=90度，在三角形ACF中，AE是高，中線，角平分線，∴CF⊥HE，CG=FG，∴CH=FH，CE=EF，∴CF是△CHE的高，中線，角平分線，∴CH=CE，∴CH=HF=EF=CE，∴四邊形HCEF是菱形，∴HF∥BC．【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)以及其應用，問題有一定難度．16．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點E是CD的中點，過點E作CD的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M．點F在線段ME上，且滿足CF=AD，MF=MA．（1）若∠MFC=120°，求證：AM=2MB；（2）試猜想∠MPB與∠FCM數(shù)量關系并證明．【分析】（1）連接MD，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得MD=MC，然后利用“邊邊邊”證M明△MFC與△MAD全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠MAD=∠MFC，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠BAD，然后求出∠BAM=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半證明；（2）根據(jù)全等三角形對應角相等和軸對稱的性質(zhì)可得∠BMP=∠FMD=∠DMA，然后用∠BMP表示出∠FCM，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式整理即可得解．【解答】（1）證明：連接MD，∵點E是CD的中點，ME⊥D，∴MD=MC，在△MFC與△MAD中，，∴△MFC≌△MAD（SSS），∴∠MAD=∠MFC=120°，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°，∴∠BAM=∠MAD﹣∠BAD=120°﹣90°=30°，∵∠ABM=90°，∴AM=2MB；（2）解：2∠MPB+∠FCM=180°．理由如下：由（1）可知∠BMP=∠FMD=∠DMA，∵∠FCM=∠ADM=∠DMC=2∠BMP，∴∠BMP=∠FCM，∵∠ABC=90°，∴∠MPB+∠BMP=90°，∴∠MPB+∠FCM=90°，∴2∠MPB+∠FCM=180°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關鍵．17．如圖，在△ABC中AC＞BC，E、D分別是AC、BC上的點，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求證：∠BAD=∠C．【分析】作∠OBF=∠OAE交AD于F，由已知條件用“ASA”可判定△AOE≌△BOF，所以AE=BF，再有條件AE=BD得BF=BD，所以∠BDF=∠BFD，再利用三角形的外角關系證得∠BOF=∠C，又因為∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，所以：∠BAD=∠C．【解答】證明：作∠OBF=∠OAE交AD于F，∵∠BAD=∠ABE，∴OA=OB．又∠AOE=∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA）．∴AE=BF．∵AE=BD，∴BF=BD．∴∠BDF=∠BFD．∵∠BDF=∠C+∠OAE，∠BFD=∠BOF+∠OBF，∴∠BOF=∠C．∵∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，∴∠BAD=∠C，【點評】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，常用的判斷方法為：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性質(zhì)是：對應角相等，對應邊相等．在證明中還要注意圖形中隱藏條件的挖掘如：本題中的對頂角∠AOE=∠BOF．18．已知A，C，B在同一條直線上，△ACE，△BCF都是等邊三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MG⊥CN，垂足為G．求證：CG=NG．【分析】先證△ACF與△ECB全等，得到∠AFC=∠ABE，再證△FMC≌△BNC得到MC=MN，有條件MG垂直于NC而得到結(jié)論．【解答】證明：∵△ACE，△BCF都是等邊三角形，∴AC=EC，F(xiàn)C=BC，∠ACE=∠BCF=60°，∴∠ECN=60°，∠BCE=∠ACF，∴△ACF≌△ECB，∴∠AFC=∠ABE，∵∠FCM=∠BCN=60°，CF=CB，∴△FMC≌△BNC，∴CM=CN，∵∠ECN=60°，∴△CNMN是等邊三角形，∴CM=MN，∵MG⊥NC，∴GC=GN．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，通過兩次全等得到MC=MN，通過MG垂直于NC得到結(jié)論．19．如圖所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD為BC邊上的高，延長AB到E點，使BE=BD，過點D、E引直線交AC于點F，請判定AF與FC的數(shù)量關系，并證明之．【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠E=∠BDE，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ABC=2∠BDE，從而求出∠C=∠BDE，再求出∠C=∠CDF，然后根據(jù)等角對等邊求出DF=FC，再根據(jù)等角的余角相等求出∠CAD=∠ADF，根據(jù)等角對等邊求出DF=AF，即可得到AF=FC．【解答】解：AF=FC．理由如下：∵BE=BD，∴∠E=∠BDE，∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠BDE，∠ABC=2∠C，∴∠C=∠BDE，又∵∠BDE=∠CDF，∴∠C=∠CDF，∴DF=FC，∵AD為BC邊上的高，∴∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∠C+∠CAD=180°﹣90°=90°，∴∠CAD=∠ADF，∴DF=AF，∴AF=FC．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與判定并準確識圖是解題的關鍵．20．如圖，△ABC是邊長為l的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，形成一個三角形，求證：△AMN的周長等于2．【分析】可在AC延長線上截取CM1=BM，得Rt△BDM≌Rt△CDM1，得出邊角關系，再求解△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，再通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【解答】證明：如圖，在AC延長線上截取CM1=BM，∵△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴∠DCM1=90°，∵BD=CD，∵在△BDM和△CDM1中，，∴△BDM≌△CDM1（SAS），得MD=M1D，∠MDB=∠M1DC，∴∠MDM1=120°﹣∠MDB+∠M1DC=120°，∴∠NDM1=60°，在△MDN和△M1DN中，∵，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN=NM1，故△AMN的周長=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠通過線段之間的轉(zhuǎn)化進而求解一些簡單的結(jié)論．21．已知如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE=（AB+AD），求證：∠B與∠D互補．【分析】可在AB上截取AF=AD，可得△ACF≌△ACD，得出∠AFC=∠D，再由線段之間的關系AE=（AB+AD）得出BC=CF，進而通過角之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【解答】證明：在AB上截取AF=AD，連接CF，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，又AC=AC，∴△ACF≌△ACD（SAS），∴AF=AD，∠AFC=∠D，∵AE=（AB+AD），∴EF=BE，又∵CE⊥AB，∴BC=FC，∴∠CFB=∠B，∴∠B+D=∠CFB+∠AFC=180°，即∠B與∠D互補．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練運用三角形的性質(zhì)求解一些簡單的計算、證明問題．22．如圖，已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求證：BD=2CE．【分析】延長CE、BA交于F，根據(jù)角邊角定理，證明△BEF≌△BEC，進而得到CF=2CE的關系．再證明∠ACF=∠1，根據(jù)角邊角定理證明△ACF≌△ABD，得到BD=CF，至此問題得解．【解答】證明：如圖，延長CE、BA交于F．∵CE⊥BD，∴∠BEF=∠BEC=90°，∴∠1=∠2，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EF=EC，∴CF=2CE，∵∠BAC=90°，∴∠FAC=90°=∠BAC∵CE⊥BD，∴∠ACF=∠1，在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)．解決本題主要是恰當添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，將所求問題轉(zhuǎn)化為全等三角形內(nèi)邊間的關系來解決．23．AD是△ABC的角平分線，M是BC的中點，F(xiàn)M∥AD交AB的延長線于F，交AC于E．（1）求證：CE=BF；（2）探索線段CE與AB+AC之間的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）延長CA交FM的平行線BG于G點，利用平行線的性質(zhì)得到BM=CM、CE=GE，從而證得CE=BF；（2）利用上題證得的EA=FA、CE=BF，進一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．【解答】（1）證明：延長CA交FM的平行線BG于G點，∠G=∠CAD、∠GBA=∠BAD∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴AG=AB，∵FM∥AD∴∠F=∠BAD、∠FEA=∠DAC∵∠BAD=∠DAC，∴∠F=∠FEA，∴EA=FA，∴GE=BF，∴M為BC邊的中點，∴BM=CM，∵EM∥GB，∴CE=GE，∴CE=BF；（2）AB+AC=2EC．證明：∵EA=FA、CE=BF，∴AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．【點評】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關鍵是正確地構(gòu)造輔助線，另外題目中還考查了平行線等分線段定理．24．如圖，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°．判斷線段AD與EF數(shù)量和位置關系．【分析】猜想：EF=2AD，EF⊥AD．證明：延長AD到M，使得AD=DM，連接MC，延長DA交EF于N，易證BD=CD，即可證明△ABD≌△MCD，可得AB=MC，∠BAD=∠M，即可求得∠EAF=∠MCA，即可證明△AEF≌△CMA，可得EF=AM，∠CAM=∠F，即可解題．【解答】解：EF=2AD，EF⊥AD．證明：延長AD到M，使得AD=DM，連接MC，延長DA交EF于N，∴AD=DM，AM=2AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△MCD中，，∴△ABD≌△MCD，（SAS）∴AB=MC，∠BAD=∠M，∵AB=AE，∴AE=MC，∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°，∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，∴∠BAC+∠EAF=180°，∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，即∠BAC+∠MCA=180°，∴∠EAF=∠MCA．在△AEF和△CMA中，，∴△AEF≌△CMA，∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD；∵∠CAF=90°，∴∠CAM+∠FAN=90°，∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠FAN=90°，∴∠ANF=90°，∴EF⊥AD．【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△MCD和△AEF≌△CMA是解題的關鍵．25．如圖，四邊形ABCD中，BC=DC，對角線AC平分∠BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的長．【分析】作輔助線構(gòu)建直角三角形，求證△CFD≌△CEB，即可得DF=EB，即可求得DF，根據(jù)DF求CF，根據(jù)CF、AF求AC．【解答】解：過C作CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠CEA=90°，∠CFD=90°，∵AC平分∠BAD，∴CF=CE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），又∵BC=DC，∴△CFD≌△CEB（HL），∴DF=EB，同理可得△ACF≌△ACE，∴AF=AE，∴AD+DF=AB﹣BE，即9+DF=21﹣BE，解得DF=BE=6，由勾股定理得，AC====17．答：AC長為17．【點評】本題考查了全等三角形的證明，考查了勾股定理在直角三角形中的應用，本題中構(gòu)建直角△CFD是解題的關鍵．26．如圖，已知線段AB的同側(cè)有兩點C、D滿足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°﹣∠DBC．求證：AC=AD．【分析】以AB為軸作△ABC的對稱△ABC′，則AC=AC′，∠C=∠C′=60°，∠ABC′=∠ABC，再證明D、B、C′共線，根據(jù)△ADC′是等邊三角形，即可證明；【解答】證明：以AB為軸作△ABC的對稱△ABC′，如圖：則AC=AC′，∠C=∠C′=60°，∠ABC′=∠ABC，因為∠ABD=90°﹣∠DBC所以2∠ABD+∠DBC=180°所以∠ABD+∠DBC+∠ABD=180°即∠ABC+∠ABD=180°所以∠ABC′+∠ABD=180°所以D、B、C′共線又因為∠D=60°所以∠DAC=180°﹣∠C′﹣∠D=60°=∠D=∠C′所以△ADC′是等邊三角形，所以AD=AC′=AC．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度一般，關鍵是以AB為軸作△ABC的對稱△ABC′．27．如圖，正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC為邊的正方形，P、Q為它們的中心，M是BC的中點，試判斷MP、MQ在數(shù)量和位置是有什么關系？并證明你的結(jié)論．【分析】取AB和AC的中點分別為H和K，連接PH、PM、HM、QK、KM、QM，由正方形的性質(zhì)可知三角形APB與三角形ACQ都為等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PH等于AB的一半，QK等于AC的一半，然后由MH和MK都為三角形ABC的中位線，根據(jù)中位線定理得到HM等于AC的一半，MK等于AB的一半，等量代換得到PH=MK，HM=QK，然后由中位線定理得到MH與AC平行，MK與AB平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等，再等量代換得到∠BHM=∠CKM，兩邊都加上直角，得到∠PHM=∠MKQ，利用SAS即可得到三角形PMH與三角形KQM全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到PM=QM；由全等得到∠MPH=∠QMK，再由MK與AB平行，得到同位角相等，由PH與AB垂直得到一對銳角互余，等量代換得到∠PMK與∠KMQ互余，即∠PMQ為直角，從而得到PM與QM垂直．【解答】解：MP、MQ之間的關系是MP=MQ，MP⊥MQ，證明：取AB得中點H，AC的中點K，連接PH，HM，PM，QK，KM，MQ，∵P和Q分別為兩正方形的中心，∴△APB與△AQC都為等腰直角三角形，∴QK=AC，PH=AB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），又HM與KM都為△ABC的中位線，∴HM=AC，MK=AB，∴QK=HM，MK=PH，∴HM∥AC，MK∥AB，∴∠BHM=∠BAC，∠CKM=∠BAC，∴∠BHM=∠CKM，又PH⊥AB，QK⊥AC（等腰三角形的三線合一），∴∠PHB=∠QKC=90°，∴∠BHM+∠PHB=∠CKM+∠QKC，即∠MHP=∠QKM，∴△MHP≌△QKM（SAS），∴PM=QM；設PM與AB交于點O，∵△MHP≌△QKM，∴∠HPM=∠KMQ，∵KM∥AB，∴∠AOP=∠PMO，∵∠PHB=90°，∴∠HPO+∠POH=90°，∴∠PMK+∠KMQ=90°，即∠PMQ=90°，∴PM⊥QM．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線定理，梯形的中位線定理等知識點，綜合運用性質(zhì)進行證明是解此題的關鍵．28．如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，BP⊥AD，垂足為P．已知AB=5，BP=2，AC=9．試說明∠ABC=3∠ACB．【分析】先延長BP，交AC于E，根據(jù)已知條件、結(jié)合ASA易證△ABP≌△AEP，從而有BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE，易求BE=4，AE=5，那么CE=4，于是可知△BCE是等腰三角形，那么∠EBC=∠C，結(jié)合三角形外角性質(zhì)可證∠ABE=2∠C，也就易得∠BAC=3∠C．【解答】證明：延長BP，交AC于E，∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，∴∠BAP=∠EAP，∠APB=∠APE，又∵AP=AP，∴△ABP≌△AEP，∴BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE，∴BE=BP+PE=4，AE=AB=5，∴CE=AC﹣AE=9﹣5=4，∴CE=BE，∴△BCE是等腰三角形，∴∠EBC=∠C，又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC，∴∠ABE=2∠C，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)．關鍵是作輔助線，求證△BCE是等腰三角形．29．如圖，在△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連接AN，CM相交于點P，試求∠APM的度數(shù)．【分析】可過A作AB的垂線，在其上截取AK=CN=MB，連KM，KC，得△KAM≌△MBC，進而由題中條件得出△KMC為等腰直角三角形，再證△AKC≌△CAN，得出∠KCA=∠NAC，即KC∥AN，進而可將∠APM轉(zhuǎn)化為∠KCM求解．【解答】解：如圖，過A作AB的垂線，在其上截取AK=CN=MB，連KM，KC，則因為AM=BC，AK=BM，∠KAM=∠B=90°，所以△KAM≌△MBC，所以KM=CM，∠AMK=∠MCB因為∠CMB+∠MCB=90°，所以∠CMB+∠AMK=90°所以∠KMC=90°所以△KMC為等腰直角三角形，∠MCK=45°又因為∠KAM=∠B=90°，AK=CN，所以AK∥CN，所以四邊形ANCK是平行四邊形，所以KC∥AN，所以∠APM=∠KCM=45°．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等問題，能夠通過作輔助線在圖形之間建立聯(lián)系，進而輔助解題．30．已知如圖，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點O，（1）求：∠AOC的度數(shù)；（2）求證：AC=AE+CD．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OAC+∠OCA，然后在△AOC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解；（2）在AC上截取AF=AE，利用“邊角邊”證明△AOE和△AOF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AOF=∠AOE，根據(jù)鄰補角的定義求出∠AOE=60°，再求出∠COF=60°，然后求出∠COD=∠COF，然后利用“角邊角”證明△COD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=CD，再根據(jù)AC=AF+CF整理即可得證．【解答】（1）解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°﹣60°=120°，∵AD、CE是△ABC的角平分線，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACB）=×120°=60°，在△AOC中，∠AOC=180°﹣（∠OAC+∠OCA）=180°﹣60°=120°；（2）證明：如圖，在AC上截取AF=AE，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠OAE=∠OAF，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOF=∠AOE，∵∠AOE=180°﹣∠AOC=180°﹣120°=60°，∴∠AOF=60°，∵∠COF=∠AOC﹣∠AOF=120°﹣60°=60°，∠COD=∠AOE=60°，∴∠COD=∠COF，∵CE是△ABC的平分線，∴∠OCD=∠OCF，在△COD和△COF中，，∴△COD≌△COF（ASA），∴CF=CD，∵AC=AF+CF，∴AC=AE+CD．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，（1）整體思想的利用是解題的關鍵，（2）作輔助線并根據(jù)角的度數(shù)是60°得到相等的角是解題的關鍵．31．如圖，已知△ABC中AB＞AC，P是角平分線AD上任一點，求證：AB﹣AC＞PB﹣PC．【分析】首先作輔助線，在AB上取一點E，使AE=AC，連接PE．根據(jù)邊角邊定理判斷△AEP≌△ACP，得到PE=PC．根據(jù)AE=AC（輔助線）與BE=AB﹣AE得到BE=AB﹣AC．在△PBE中，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊，得到BE＞PB﹣PE，即BE＞PB﹣PC，將BE用AB﹣AE代入，即可證明．【解答】證明：在AB上取一點E，使AE=AC，連接PE∵AP為∠BAC的平分線，∴∠EAP=∠CAP，在△AEP和△ACP中，，∴△AEP≌△ACP（SAS）∴PE=PC∵AE=AC∴BE=AB﹣AE=AB﹣AC在△PBE中，∵BE＞PB﹣PE∴AB﹣AC＞PB﹣PC【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形三邊的關系．解決本題的關鍵是恰當添加輔助線，將AB、AC、PB、PC間的關系轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)邊間的關系．32．如圖，在△ABC中，D為BC的中點，點E、F分別在邊AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于點O．過點O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q為垂足．求證：DP=DQ．【分析】取OB中點M，OC中點N，根據(jù)三角形中位線定理可得到DM∥OC，DM=OC，DN∥OB，DN=OB，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到QM=OB，PN=OC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可推出∠QMD=∠PND，從而利用SAS判定△QMD≌△DNP，根據(jù)全等三角形的對應的邊相等即可證得結(jié)論．【解答】證明：如圖，取OB中點M，OC中點N，連接MD，MQ，DN，PN．∵D為BC的中點∴DM∥OC，DM=OC，DN∥OB，DN=OB．∵在Rt△BOQ和Rt△OCP中，QM=OB，PN=OC．∴DM=PN，QM=DN．∠QMD=∠QMO+∠OMD=2∠ABO+∠FOB，∠PND=∠PNO+∠OND=2∠ACO+∠EOC．∵∠ABO=∠ACO，∠FOB=∠EOC，∴∠QMD=∠PND．∴△QMD≌△DNP，∴DQ=DP．【點評】此題主要考查學生對三角形中位線定理及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用能力．33．如圖已知△ABC中，AB=AC，∠ABD=60°，且∠ADB=90°﹣∠BDC，求證：AB=BD+DC．【分析】延長BD至E，使DE=DC，連接CE，AE，得出∠DCE=∠DEC=∠BDC，由∠ADE=360°﹣∠ADB﹣∠BDC﹣∠CDE，證出∠ADE=∠ADC，推出△ADC≌△ADE，得到AC=AE=AB，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)推出AB=BE，即可推出答案．【解答】證明：延長BD至E，使DE=DC，連接CE，AE，∴∠DCE=∠DEC=∠BDC，∴∠ADE=360°﹣∠ADB﹣∠BDC﹣∠CDE=360°﹣（90°﹣∠BDC）﹣∠BDC﹣（180°﹣∠BDC）=90°+∠BDC，∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°﹣∠BDC+∠BDC，∴∠ADE=∠ADC，∵AD=AD，∴△ADC≌△ADE，∴AC=AE=AB，由于∠ABD=60°，∴△ABE為等邊三角形，∴AB=BE=BD+DE=BD+CD，即：AB=BD+DC．【點評】本題主要考查對等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，四邊形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，正確作輔助線并利用性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．34．如圖，點C在線段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，且DA=BC，EB=AC，F(xiàn)C=AB，∠AFB=51°，求∠DFE度數(shù)．【分析】如圖，連接BD、AE，易證△DAB≌△BCF（SAS），得BD=BF，∠BDF=∠BFD，又∵AD∥CF，∠ADF=∠CFD，所以∠ABF=∠DFB+∠ADF=∠BFC+2∠CFD，同理可得，∠BAF=∠AFC+2∠CFE，又由∠AFB=51°，則∠ABF+∠BAF=129°，所以，∠BFC+2∠CFD+∠AFC+2∠CFE=51°+2∠DFE=129°，解得∠DFE=39°．【解答】證明：如圖，連接BD、AE，∵DA⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，∴AD∥CF，∠DAB=∠BCF=90°，又∵DA=BC，F(xiàn)C=AB，∴△DAB≌△BCF（SAS），∴BD=BF，∴∠BDF=∠BFD，又∵AD∥CF，∴∠ADF=∠CFD，∴∠ABF=∠DFB+∠ADF=∠BFC+2∠CFD，同理可得，∠BAF=∠AFC+2∠CFE，又∵∠AFB=51°，∴∠ABF+∠BAF=129°，∴∠BFC+2∠CFD+∠AFC+2∠CFE=51°+2∠DFE=129°，∴∠DFE=39°．答：∠DFE度數(shù)是39°．【點評】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是證明線段和角相等的重要方法，作好輔助線是解答本題的關鍵．35．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點M、N分別是邊AC和BC的中點，點D在射線BM上，且BD=2BM．點E在射線NA上，且NE=2NA，求證：BD⊥DE．【分析】取AD中點F，連接EF，證△BCM≌△ACN，△EAF≌△ANC，△AFE≌△DFE，推出∠EDA=∠EAD，∠ADM=∠CBM=∠NAC，求出∠EDB=∠EDA+∠BDA=∠EAD+∠NAC=180°﹣∠DAM，即可得出答案．【解答】證明：取AD中點F，連接EF，∵△ABC是等腰直角三角形，點M、N分別是邊AC和BC的中點，∴BC=AC，AC=2CM，BC=2CN，∴CM=CN，在△BCM和△ACN中，，∴△BCM≌△ACN（SAS），∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，∵NE=2AN，∴AE=AN，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，在△EAF和△ANC中，，∴△EAF≌△ANC（SAS），∴∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DFE=90°，∵F為AD中點，∴AF=DF，在△AFE和△DFE中，，∴△AFE≌△DFE（SAS），∴∠EAD=∠EDA=∠ANC，∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°﹣∠DAM=180°﹣90°=90°，∴BD⊥DE．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的對應邊相等，對應角相等．36．如圖，△ABC中，BD為∠ABC的平分線；（1）若∠A=100°，∠C=50°，求證：BC=BA+AD；（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求證：BC=BD+AD．【分析】（1）在邊BC上截取BE=AB，可證明△ABD≌△DBE，則AD=DE，再證明出∠C=∠CDE，則DE=CE，從而得出BC=BA+AD；（2）以BC為邊作等邊三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，然后證明△ABD≌△ACD'，從而有AD=AD'，然后再證明∠D'A'A=∠A'AD'=30°，從而A'D'=AD'，所以BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD．【解答】證明：（1）在邊BC上截取BE=AB，連接DE，∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠DBE，∴△ABD≌△DBE，∴AD=DE，∴∠A=∠BED，∵∠A=100°，∴∠BED=100°，∵∠C=50°，∴∠CDE=50°，∴∠C=∠CDE，∴DE=CE，∵BC=BE+CE，∴BC=BA+AD；（2）如圖，以BC為邊作等邊三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，∴∠ACA′=∠ABD=20°，∵AB=AC，∴△ABD≌△ACD'（SAS），∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，∴∠AD′C=60°，連接AA′，∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，∴A'D'=AD'，∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，即BC=BD+AD．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是證明邊或角相等的重要方法，本題作輔助線構(gòu)建等邊三角形是關鍵．37．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD．求證：BD=CD．【分析】可過C作CE⊥AD于E，過D作DE⊥BC于F，依據(jù)題意可得∠FCD=∠ECD，由角平分線到角兩邊的距離相等可得DF=DE，進而的△CED≌△CFD，由對應邊又可得Rt△CDF≌Rt△BDF，進而可得出結(jié)論．【解答】證明：如圖，過C作CE⊥AD于E，過D作DF⊥BC于F．∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°，且CE=AC，∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，∴∠FCD=90°﹣∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°，在△CED和△CFD中，∴△CED≌△CFD，∴CF=CE=AC=BC，∴CF=BF．∴Rt△CDF≌Rt△BDF，∴BD=CD．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)問題，能夠熟練運用其性質(zhì)進行解題．38．如圖所示，在△ABF中，已知BC=CE=EF，∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，求的值．【分析】延長AC到M，使MC=AC；延長AE到N，使NE=AE；連接ME、NF，延長AD交ME于點P，利用“邊角邊”證明△ABC和△MEC全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠EMC=∠BAC=45°，再根據(jù)∠CAD=45°推出∠APM=90°，然后得到AE=AM，同理可以證明△ACE和△NFE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AC=NF，∠N=∠CAE=90°，然后利用勾股定理列式求出AF、AC的關系，整理即可得解．【解答】解：延長AC到M，使MC=AC；延長AE到N，使NE=AE，連接ME、NF，延長AD交ME于點P，在△ABC和△MEC中，，∴△ABC≌△MEC（SAS），∴∠BAC=∠EMC=45°，又∵∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，∴∠APM=90°，∴AE=AM=2AC，同理△ACE≌△NFE，∴AC=NF，AE=NE=2AC，∠N=∠CAD+∠DAE=90°，在Rt△ANF中，AF===AC，所以=．【點評】本題考查了全等三角的判定與性質(zhì)，三角形的中線，勾股定理，“見中線，加倍延”是此類題目常用的輔助線的作法，所以我們直接將AC、AE加倍延長，構(gòu)造出全等三角形是解題的關鍵．39．如圖，已知過△ABC的頂點A，在∠BAC內(nèi)部任意作一條射線，過B、C分別作此射線的垂線段BD、CE，M為BC邊中點．求證：MD=ME．【分析】延長DM交CE于N，通過證明△DBM≌△NCM（ASA）得出DM=MN，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：延長DM交CE于N（如圖）∵BD⊥AD，CE⊥AD，∴BD∥CE，∴∠1=∠2，又∵BM=CM，∠BMD=∠CMN，∴△DBM≌△NCM（ASA），∴DM=MN，∴M是DN中點又∵∠DEN=90°，∴DM=EM=MN=DN，即MD=ME．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)：在應用全等三角形的判定時，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形；在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．本題關鍵是添加輔助線找到中間線段MN．40．已知，如圖，在正方形ABCD中，O是對角線的交點，AF平分∠BAC，DH⊥AF于點H，交AC于點G，DH延長線交AB于點E求證：．【分析】過B作BM∥AC交DE的延長線于M，由AF平分∠BAC，DH⊥AF證△AEH和△AGH全等，推出∠AEH和∠AGH相等，進一步推出∠BEM和∠M相等，得到BM=BE，根據(jù)三角形的中位線得到OG=BM，即可得到答案．【解答】證明：過B作BM∥AC交DE的延長線于M，∵AF平分∠BAC，DH⊥AF，∴∠EAH=∠GAH，∠AHE=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AEH≌△AGH，∴∠AEH=∠AGH，∵BM∥AC，∴∠M=∠AGH，∵∠AEH=∠BEM，∴∠BEM=∠M，∴BM=BE，∵正方形ABCD，∴OB=OD，∵BM∥AC，∴DG=MG，∴OG=BM=BE，即：OG=BE．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的中位線，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解此題的關鍵是正確作輔助線BM，證出BM=BE．題型較好，比較典型，綜合性強．41．已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為AC中點，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F，求證：∠ADB=∠CDF．【分析】可過A、D分別做BC的垂線，設AG的長為1，得出與之相關聯(lián)的線段的長度，進而利用角正切值相等得出∠DBH=∠FDH，即可得出結(jié)論．【解答】證明：過A、D分別做BC的垂線，垂足分別為G、H．設AG=1，那么CG=1，DH=，BH=，tan∠DBH=，又∠GAF=∠DBH，∴GF=AG=，F(xiàn)H=GH﹣GF=﹣=，tan∠FDH==∴∠DBH=∠FDH∵∠ADB=∠DBH+∠C，∠CDF=∠FDH+∠CDH，∴∠ADB=∠CDF．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及由正切值判定兩個角相等，無論是證明還是計算題，都應該從不同角度思考，利用已學知識熟練求解．42．如圖，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，E為AB中點，連接CE、CD，求證：CD=2EC．【分析】取AC的中點F，連接BF，根據(jù)中點的性質(zhì)可得到AE=AF，再根據(jù)SAS判定△ABF≌△ACE，由全等三角形的對應邊相等可得到BF=CE，再利用三角形中位線定理得到DC=2BF，即證得了DC=2CE．【解答】證明：取AC的中點F，連接BF，∵AB=AC，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴AE=AF，∵∠A=∠A，AB=AC，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴BF=CE，∵BD=AB，AF=CF，∴DC=2BF，∴DC=2CE．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理的綜合運用．43．如圖，在△ABC中，BD=CD，AG平分∠DAC，BF⊥AG，垂足為H，與AD交于E，與AC交于F，過點C的直線CM交AD的延長線于M，且∠EBD=∠MCD，AC=AM．求證：DE=CF．【分析】先證△BED和△CMD全等，推出ED=MD=，再證△AEH和△AFH全等，得到AE=AF，由已知AC=AM，兩式相減即可得到EM=CF，進一步推出答案．【解答】證明：∵△BED和△CMD中∴△BED≌△CMD，∴ED=MD=，又AG平分∠DAC，∴∠DAG=∠CAG，∵BF⊥AG，∴∠AHE=∠AHF=90°，在△AEH和△AFH中∴△AEH≌△AFH，∴AE=AF，又∵AC=AM，∴AC﹣AF=AM﹣AE，∴EM=CF，∴DE=CF．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的角平分線和高等知識點，解此題的關鍵是證出EM=CF．題型較好，綜合性強．44．如圖，BE、CF是△ABC的高，它們相交于點O，點P在BE上，Q在CF的延長線上且BP=AC，CQ=AB，（1）求證：△ABP≌△QCA．（2）AP和AQ的位置關系如何，請給予證明．【分析】（1）由于∠AEB=90°，∠AFC=90°，可得∠ABE=∠ACQ，進而利用SAS得證△ABP≌△QCA．（2）由（1）中的全等得∠BAP=∠Q，又有CF⊥AB，通過角之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BE、CF是△ABC的高，即∠AEB=90°，∠AFC=90°，∴∠ABP+∠BAE=90°，∠ACQ+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠ACQ，在△ABP與△QCA中，∵，∴△ABP≌△QCA．（2）PA⊥AQ．證明：由△ABP≌△QCA得∠BAP=∠Q，∵∠Q+∠BAQ=90°，∴∠BAP+∠BAQ=90°，即∠PAQ=90°，∴PA⊥AQ．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，應熟練掌握．45．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠BAC交CD于E，交BC于F，EG∥AB交BC于G，說明BG=CF的理由．【分析】過E作FH⊥AB于H，利用AAS判定Rt△CEG≌Rt△FHB，從而得到CG=FB，即CF=GB．【解答】解：過F作FH⊥AB于H，∵AF平分∠BAC，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)C⊥AC，∴FH=FC（角平分線上的點到角兩邊的距離相