排列組合常用策略講義課件(-)

解排列組合問題的常用策略解排列組合問題的常用策略1從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.組合的定義:從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.3.排列數(shù)公式:4.組合數(shù)公式:1.排列的定義:排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)的為排列問題,與順序無關(guān)的為組合問題.從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做2一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計(jì)數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法。一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,537種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習(xí)題7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，4二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙5練習(xí)題5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法?

共有=4320種不同的排法.練習(xí)題5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生共有6三.不相鄰問題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種

不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端三.不相鄰問題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相7某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

30練習(xí)題某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)8四.定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少種不同的排法解:（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?（插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7四.定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順9(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：

定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插入模型處理(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列定序問題可以用倍縮法，1010人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?練習(xí)題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐11五.圓排列問題線排策略例6.5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有五.圓排列問題線排策略例6.5人圍桌而坐,共有多少種坐法?12練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈12013六.重排問題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有

種分法.7把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為種nm六.重排問題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共141.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）422.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習(xí)題1.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加15七.排列組合混合問題先選后排策略例6.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有__種方法.再把5個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有_____種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.七.排列組合混合問題先選后排策略例6.有5個(gè)不同的小球,裝入16練習(xí)題一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加,則不同的選法有________種192練習(xí)題一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人19217八.元素相同問題隔板策略例7.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每

班至少一個(gè),有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為m-1n-1八.元素相同問題隔板策略例7.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)18練習(xí)題10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一個(gè)，有多少裝法？練習(xí)題10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一個(gè)，有多少裝法19九.平均分組問題除法策略例8.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共

有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。九.平均分組問題除法策略例8.6本不同的書平均分成3堆,201.將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4

個(gè)隊(duì),有多少分法？2.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______

練習(xí)題1.將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組42.某校高21十.合理分類與分步策略例9.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能夠唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。以只會(huì)唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有____種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計(jì)數(shù)原理共有______________________種。++十.合理分類與分步策略例9.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其22本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素23從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習(xí)題從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若24十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有____,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有_____,和為偶數(shù)的取法共有_________再淘汰和小于10的偶數(shù)共___________符合條件的取法共有___________9013015017023025027041045043+-9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰.十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,25我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?練習(xí)題我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、練習(xí)題26十二.構(gòu)造模型策略例10.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)

掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有________種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決十二.構(gòu)造模型策略例10.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,527練習(xí)題某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120練習(xí)題某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右12028某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？練習(xí)題BA某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成練習(xí)題BA29十三.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2

3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.有多少投法

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_____種

還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球,3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒345十三.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五30十一.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2

3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.有多少投法

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_____種

還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球,3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法,同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2種十一.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五31對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種2134572對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用練習(xí)題同一寢室4人,321.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習(xí)題2.3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人,2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船,這3人共有多少乘船方法.271.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若33小結(jié)

本節(jié)課，我們對(duì)有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固。排列組合歷來是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，通過我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨(dú)特，數(shù)字龐大，難以驗(yàn)證。同學(xué)們只有對(duì)基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對(duì)于一些比較復(fù)雜的問題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，舉一反三，觸類旁通，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

小結(jié)345、世上最美好的事是：我已經(jīng)長(zhǎng)大，父母還未老;我有能力報(bào)答，父母仍然健康。

6、沒什么可怕的，大家都一樣，在試探中不斷前行。

7、時(shí)間就像一張網(wǎng)，你撒在哪里，你的收獲就在哪里。紐扣第一顆就扣錯(cuò)了，可你扣到最后一顆才發(fā)現(xiàn)。有些事一開始就是錯(cuò)的，可只有到最后才不得不承認(rèn)。

8、世上的事，只要肯用心去學(xué)，沒有一件是太晚的。要始終保持敬畏之心，對(duì)陽(yáng)光，對(duì)美，對(duì)痛楚。

9、別再去抱怨身邊人善變，多懂一些道理，明白一些事理，畢竟每個(gè)人都是越活越現(xiàn)實(shí)。

10、山有封頂，還有彼岸，慢慢長(zhǎng)途，終有回轉(zhuǎn)，余味苦澀，終有回甘。

11、人生就像是一個(gè)馬爾可夫鏈，你的未來取決于你當(dāng)下正在做的事，而無關(guān)于過去做完的事。

12、女人，要么有美貌，要么有智慧，如果兩者你都不占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，那你就選擇善良。

13、時(shí)間，抓住了就是黃金，虛度了就是流水。理想，努力了才叫夢(mèng)想，放棄了那只是妄想。努力，雖然未必會(huì)收獲，但放棄，就一定一無所獲。

14、一個(gè)人的知識(shí)，通過學(xué)習(xí)可以得到;一個(gè)人的成長(zhǎng)，就必須通過磨練。若是自己沒有盡力，就沒有資格批評(píng)別人不用心。開口抱怨很容易，但是閉嘴努力的人更加值得尊敬。

15、如果沒有人為你遮風(fēng)擋雨，那就學(xué)會(huì)自己披荊斬棘，面對(duì)一切，用倔強(qiáng)的驕傲，活出無人能及的精彩。5、人生每天都要笑，生活的下一秒發(fā)生什么，我們誰也不知道。所以，放下心里的糾結(jié)，放下腦中的煩惱，放下生活的不愉快，活在當(dāng)下。人生喜怒哀樂，百般形態(tài)，不如在心里全部淡然處之，輕輕一笑，讓心更自在，生命更恒久。積極者相信只有推動(dòng)自己才能推動(dòng)世界，只要推動(dòng)自己就能推動(dòng)世界。

6、人性本善，純?nèi)缜逑魉冬摖q。欲望與情緒如風(fēng)沙襲擾，把原本如天空曠蔚藍(lán)的心蒙蔽。但我知道，每個(gè)人的心靈深處，不管烏云密布還是陰淤蒼茫，但依然有一道彩虹，亮麗于心中某處。

7、每個(gè)人的心里，都藏著一個(gè)了不起的自己，只要你不頹廢，不消極，一直悄悄醞釀著樂觀，培養(yǎng)著豁達(dá)，堅(jiān)持著善良，只要在路上，就沒有到達(dá)不了的遠(yuǎn)方！

8、不要活在別人眼中，更不要活在別人嘴中。世界不會(huì)因?yàn)槟愕谋г共粷M而為你改變，你能做到的只有改變你自己！

9、欲戴王冠，必承其重。哪有什么好命天賜，不都是一路披荊斬棘才換來的。

10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你會(huì)覺得解脫。但舌頭總會(huì)不由自主地往那個(gè)空空的牙洞里舔，一天數(shù)次。不痛了不代表你能完全無視，留下的那個(gè)空缺永遠(yuǎn)都在，偶爾甚至?xí)惓炷?。適應(yīng)是需要時(shí)間的，但牙總是要拔，因?yàn)樘?，所以終歸還是要放手，隨它去。

11、這個(gè)世界其實(shí)很公平，你想要比別人強(qiáng)，你就必須去做別人不想做的事，你想要過更好的生活，你就必須去承受更多的困難，承受別人不能承受的壓力。

12、逆境給人寶貴的磨煉機(jī)會(huì)。只有經(jīng)得起環(huán)境考驗(yàn)的人，才能算是真正的強(qiáng)者。自古以來的偉人，大多是抱著不屈不撓的精神，從逆境中掙扎奮斗過來的。

13、不同的人生，有不同的幸福。去發(fā)現(xiàn)你所擁有幸運(yùn)，少抱怨上蒼的不公，把握屬于自己的幸福。你，我，我們大家都可以經(jīng)歷幸福的人生。

14、給自己一份堅(jiān)強(qiáng)，擦干眼淚；給自己一份自信，不卑不亢；給自己一份灑脫，悠然前行。輕輕品，靜靜藏。為了看陽(yáng)光，我來到這世上；為了與陽(yáng)光同行，我笑對(duì)憂傷。

15、總不能流血就喊痛，怕黑就開燈，想念就聯(lián)系，疲憊就放空，被孤立就討好，脆弱就想家，不要被現(xiàn)在而蒙蔽雙眼，終究是要長(zhǎng)大，最漆黑的那段路終要自己走完。5、從來不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起來，才是最大的榮耀。

6、這個(gè)世界到處充滿著不公平，我們能做的不僅僅是接受，還要試著做一些反抗。

7、一個(gè)最困苦、最卑賤、最為命運(yùn)所屈辱的人，只要還抱有希望，便無所怨懼。

8、有些人，因?yàn)榕隳阕叩臅r(shí)間長(zhǎng)了，你便淡然了，其實(shí)是他們給你撐起了生命的天空；有些人，分開了，就忘了吧，殘缺是一種大美。

9、照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被別人的意見引入歧途。

10、沒人能讓我輸，除非我不想贏！

11、花開不是為了花落，而是為了開的更加燦爛。

12、隨隨便便浪費(fèi)的時(shí)間，再也不能贏回來。

13、不管從什么時(shí)候開始，重要的是開始以后不要停止；不管在什么時(shí)候結(jié)束，重要的是結(jié)束以后不要后悔。

14、當(dāng)你決定堅(jiān)持一件事情，全世界都會(huì)為你讓路。

15、只有在開水里，茶葉才能展開生命濃郁的香氣。5、世上最美好的事是：我已經(jīng)長(zhǎng)大，父母還未老;我有能力報(bào)答，35解排列組合問題的常用策略解排列組合問題的常用策略36從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.組合的定義:從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.3.排列數(shù)公式:4.組合數(shù)公式:1.排列的定義:排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)的為排列問題,與順序無關(guān)的為組合問題.從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做37一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計(jì)數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法。一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5387種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習(xí)題7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，39二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙40練習(xí)題5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法?

共有=4320種不同的排法.練習(xí)題5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生共有41三.不相鄰問題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種

不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端三.不相鄰問題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相42某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

30練習(xí)題某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)43四.定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少種不同的排法解:（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?（插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7四.定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順44(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：

定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插入模型處理(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列定序問題可以用倍縮法，4510人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?練習(xí)題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐46五.圓排列問題線排策略例6.5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有五.圓排列問題線排策略例6.5人圍桌而坐,共有多少種坐法?47練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈12048六.重排問題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有

種分法.7把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為種nm六.重排問題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共491.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）422.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習(xí)題1.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加50七.排列組合混合問題先選后排策略例6.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有__種方法.再把5個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有_____種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.七.排列組合混合問題先選后排策略例6.有5個(gè)不同的小球,裝入51練習(xí)題一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加,則不同的選法有________種192練習(xí)題一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人19252八.元素相同問題隔板策略例7.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每

班至少一個(gè),有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為m-1n-1八.元素相同問題隔板策略例7.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)53練習(xí)題10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一個(gè)，有多少裝法？練習(xí)題10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一個(gè)，有多少裝法54九.平均分組問題除法策略例8.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共

有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。九.平均分組問題除法策略例8.6本不同的書平均分成3堆,551.將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4

個(gè)隊(duì),有多少分法？2.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______

練習(xí)題1.將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組42.某校高56十.合理分類與分步策略例9.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能夠唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。以只會(huì)唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有____種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計(jì)數(shù)原理共有______________________種。++十.合理分類與分步策略例9.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其57本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素58從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習(xí)題從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若59十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有____,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有_____,和為偶數(shù)的取法共有_________再淘汰和小于10的偶數(shù)共___________符合條件的取法共有___________9013015017023025027041045043+-9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰.十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,60我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?練習(xí)題我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、練習(xí)題61十二.構(gòu)造模型策略例10.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)

掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有________種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決十二.構(gòu)造模型策略例10.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,562練習(xí)題某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120練習(xí)題某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右12063某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？練習(xí)題BA某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成練習(xí)題BA64十三.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2

3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.有多少投法

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_____種

還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球,3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒345十三.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五65十一.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2

3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.有多少投法

解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_____種

還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球,3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法,同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2種十一.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五66對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種2134572對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用練習(xí)題同一寢室4人,671.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習(xí)題2.3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人,2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船,這3人共有多少乘船方法.271.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若68小結(jié)

本節(jié)課，我們對(duì)有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固。排列組合歷來是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，通過我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨(dú)特，數(shù)字龐大，難以驗(yàn)證。同學(xué)們只有對(duì)基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對(duì)于一些比較復(fù)雜的問題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，舉一反三，觸類旁通，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

小結(jié)695、世上最美好的事是：我已經(jīng)長(zhǎng)大，父母還未老;我有能力報(bào)答，父母仍然健康。

6、沒什么可怕的，大家都一樣，在試探中不斷前行。

7、時(shí)間就像一張網(wǎng)，你撒在哪里，你的收獲就在哪里。紐扣第一顆就扣錯(cuò)了，可你扣到最后一顆才發(fā)現(xiàn)。有些事一開始就是錯(cuò)的，可只有到最后才不得不承認(rèn)。

8、世上的事，只要肯用心去學(xué)，沒有一件是太晚的。要始終保持敬畏之心，對(duì)陽(yáng)光，對(duì)美，對(duì)痛楚。

9、別再去抱怨身