空間向量主要解決立體幾何問題的類型及解法

空間向量主要解決立體幾何問題的類型及解法引入兩個重要空間向量,a、直線的方向向量；b、平面的法向量。1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；直線與直線的位置關(guān)系；直線與平面的位置關(guān)系；平面與平面的位置關(guān)系；2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。在空間直角坐標系中，如何求平面法向量的坐標呢？如圖，設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面a內(nèi)的兩個不共線的非零向量，由直線與平面垂直的判定定理知，若n±a且n^b,則n±a.換句話說，若n?a=0且n?b=0,則n^a.求平面的法向量的坐標的一般步驟：第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n,a=0且n,b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù)，用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特殊越好)，便得到平面法向量n的坐標.立體幾何問題的類型及解法一、判定直線、平面間的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.若a〃b，即a=Ab,則a〃b.若a±b，即a?b=0,則a±b直線與平面的位置關(guān)系-直線L的方向向量為a,平面a的法向量為n,且La.?①若a〃n，即a=An,則LLa?②若a±n，即a?n=0,則a〃a.-例1棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,-D,E分別是AC,CC1的中點，求證：(1)A1E上平面DBC1;(2)AB1〃平面DBC1A1平面與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系平面a的法向量為n1，平面8的法向量為n2若n1#n2,即n1=2n2,則a〃8若n1±n2,即n1?n2=0,則a±p例2正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，求證:平面AED±平面A1FD、求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角，不用再把這兩條異面直線平移，求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補，我們僅取銳角或直角就行了.若，空間向量求兩直線夾角公式例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點，則對角線DB1與CM所成角的余弦值為.若n是平面a的法向量,a是直線L的方向向量，設(shè)L與a所成的角。，n與a所成的角a則0=a-90或。=90-a例3正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為＜2g，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角zC1xyxy（3）二面角設(shè)n1、n2分別是二面角兩個半平面a、p的法向量，由幾何知識可知，二面角a-L-P的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標z同號時相等）或互補（選取法向量豎坐標z異號時互補），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.

例4在四棱錐S-ABCD中例4在四棱錐S-ABCD中ZDAB=ZABC=90°AD=2,求二面角A-SD-C的大小.，側(cè)棱SA±底面AC,SA=AB=BC=1,點到平面的距離A為平面a外一點（如圖）,n為平面a的法向量，過A作平面a的斜線AB及垂線AH.IAH1=1ABI-sin0=1ABI-1cos<AB,n>1=IaBI?IAB?n=-I-aB-nIIABI?InIInI于是，點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.例5在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,/ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.

空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離等問題，其方法是不必添加繁雜的輔助線，只要建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐