歷自主招生試題分類匯編-初等數(shù)論

歷自主招生試題分類匯編—初等數(shù)論歷自主招生試題分類匯編—初等數(shù)論歷自主招生試題分類匯編—初等數(shù)論歷年自主招生試題分類匯編——不等式5.〔2021年北約〕xy1且x,y都是負數(shù),求xy1的最值.xy【解】由x0,y0可知,xy1|xy|1|x||y|1,所以|xy||x||y|(|x||y|)21,即xy(0,1],444令txy(0,1],那么易知函數(shù)yt1在(0,1]上遞減,所以其在(0,1]上遞減,4t4于是xy1有最小值4117,.無最大值xy44解答二：1(x)(y)2xy得0xy1，而函數(shù)f(t)t1在(0,1)上單一遞4t減，在(1,)單一遞加，故f(xy)f(1)，即xy117，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時4xy42取等號．10.〔2021年北約〕x1,x2,,xnR,且x1x2xn1,求證:(2x1)(2x2)(2xn)(21)n.【證】(一法:數(shù)學(xué)概括法)①當(dāng)n1時,左側(cè)2x12121右側(cè),不等式建立;②假定nk(k1,kN*)時,不等式(2x1)(2x2)(2xk)(21)k建立.那么當(dāng)nk1時,那么x1x2xkxk1,k1個正數(shù)不可以同時都大于1,1因為這也不可以同時都小于1,所以存在兩個數(shù),此中一個不大于1,另一個不小于1,不如設(shè)xk1,0xk11,進而(xk1)(xk11)0xkxk11xkxk1,所以(2x1)(2x2)(x2k)(xk21)(2x1)(2x2)[2kx2(xk1xk)kx1](2x1)(2x2)(x2kxk1)(21)(k21)(21k)1(21)此中推導(dǎo)上式時利用了x1x2xk1(xkxk1)1及nk時的假定,故nk1時不等式也成.綜上①②知,不等式對隨意正整數(shù)n都建立.(二法)左側(cè)睜開得(2x1)(2x2)(2xn)(2)n(2)n1n(2)n2((2)nk(xixixj)xi1xi2xik)x1x2xni11ijn1i1i2ikn由均勻不等式得11xixixiCnk(xixixi)CnkCnk((x1x2k1Cnkk2xn)Cn1)Cnk1i1i2ikn1i1i2ikn故(2x1)(2x2)(2xn)n(n11(n22(nkkCnn(n2)2)Cn2C)n2C)n,2即1.)(三法)由均勻不等式有n2n21nxknxk1n(n??①;n()n??②)2xk2xkk12xkk12xkk1k11①+②得nn2(x1x2xn)n,即(2x1)(2x2)(2xn)(21)nn1建立.(2xk)nk11n22(四法)由AMGM不等式得：()n，ni1xi2n(xi2)i11(nxi)n1，兩式相加得：121，故ni1xi2nn(xi2)n(xi2)i1i1nn．(2xi)(1)2i11．〔2021年北文〕02，求：sintan．【分析】不如f(x)xsinx，f(0)0，且當(dāng)0x，f(x)1cosx0．于是2f(x)在0x上增．∴f(x)f(0)0．即有xsinx．2同理可g(x)tanxx0．g(0)0，當(dāng)0x，g(x)110．于是g(x)在0x上增。222cosx∴在0x上有g(shù)(x)g(0)0。即tanxx。2注：也可用三角函數(shù)的方法求解．7.〔2021年〕nN*,xn,求:nn(1x)nexx2.nx)x【明】原不等式等價于nx2n((1en)n.n當(dāng)x2n,上述不等式左非正,不等式建立;當(dāng)x2n,由ey1y(y0)及努力不等式(1y)n1ny(n1,y1),xx)x))n22進而n((1x)en)nn((1(1n(1x2)nn(1nx2)nx2,即.nnnnn1.〔2021年優(yōu)秀盟〕|x3|2x210,求x范.【解】由|x3|2x210|x|32|x|210(|x|1)(|x|125)(|x|15)02所以由數(shù)根法得|x|(,15)(1,15),又因|x|0,22所以x(1515).,1)(1,221、〔2021年優(yōu)秀盟〕函數(shù)fxxsinx．假定x1、x2π，π，且fx1fx2，22A．x1x2B．x1x20C．x1x2D．x12x22答案:〔文科〕D．歷年自主招生試題分類匯編——初等數(shù)論7．〔2021年北〕最多有多少個兩兩不等的正整數(shù)，足此中隨意三數(shù)之和都素數(shù)．分析足條件的正整數(shù)

n個．考模

3的同余，共三，

0，1，2．n個正整數(shù)需同足①不可以三都有；②同一中不可以有

3個和超

3個．否都會出三數(shù)之和

3的倍數(shù)．故

n

4．當(dāng)n4，取1，3，7，9，其隨意三數(shù)之和所以足要求的正整數(shù)最多有4個．

11，13，17，19均素數(shù)，足意，6〔2021年北〕在1，2，?，2021中取一數(shù)，使得隨意兩數(shù)之和不可以被其差整除，最多能取多少個數(shù)？解：將1，2，?，2021分紅〔1，2，3〕，〔4，5，6，〕?，〔2021,2021,2021〕,〔2021,2021〕671，假如所取數(shù)n672，由抽原理必定有兩個數(shù)屬于同一，不如ab，ab1或2。當(dāng)ab1，此ab整除ab，不合要求。當(dāng)ab2，此，a與b同奇偶，所以ab偶數(shù)，進而ab也能整除ab，也不合要求?！鄋671，觀察1,4,7，?，2021671個數(shù)中的任兩數(shù)ab，abk3k,2N，而ab3l,lN，∴ab不整除ab，進而可知，最多能取671個數(shù)，足要求。析：本考整除，而解答主要用到數(shù)學(xué)中的抽原和節(jié)余，整除等的數(shù)知，體出自主招生要求考生有必定的數(shù)學(xué)知，并掌握數(shù)學(xué)的一些常用方法和技巧。6.〔2021年〕x,y,z是互不相等的正整數(shù),xyz|(xy1)(xz1)(yz1),求x,y,z.【解】本等價于求使(xy1)(xz1)(yz1)xyz(xyz)xyyzzx1xyzxyz整數(shù)的正整數(shù)x,y,z,因為x,y,z是互不相等的正整數(shù),所以xyz|xyyzzx1,不失一般性不如xyz,xyzxyyzzx13yx,于是z3,合z正整數(shù),故z1,2,當(dāng),xy|xyyx1,即xy|yx1,于是xyxyyx12x,所以y2,z1但另一方面yz,且正整數(shù),所以y2矛盾,不合意.所以z2,此2xy|xy2y2x1,于是2xyxy2y2x1,即xy2y2x1,也所以xy2y2x4x,所以y4,又因yz2,