不定積分的概念及性質(zhì)課件

5.1不定積分的概念及性質(zhì)5.1.1不定積分的概念5.1.3不定積分的幾何意義5.1.2基本積分公式5.1.4不定積分的實(shí)際意義5.1.5不定積分的性質(zhì)5.1不定積分的概念及性質(zhì)5.1.1不定積分的概念5.15.1.1不定積分的概念如何尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)等于已知函數(shù)．這是積分學(xué)的基本問(wèn)題之一．5.1.1不定積分的概念如何尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)等定義5.1設(shè)在區(qū)間上有定義，如果存在一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)使對(duì)任一都有或那么稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)．例如，是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)．是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)．定義5.1設(shè)在區(qū)間上有定義，如果存在一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)使對(duì)任問(wèn)題1關(guān)于原函數(shù)，下面討論解決兩個(gè)問(wèn)題：函數(shù)滿足什么條件，能保證它的原函數(shù)存在?這問(wèn)題將在下章中具體討論，這里先介紹一個(gè)結(jié)論．定理5.1（原函數(shù)存在定理）

若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上存在一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)使得對(duì)任一都有簡(jiǎn)而言之，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．于是，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都有原函數(shù)．問(wèn)題1關(guān)于原函數(shù)，下面討論解決兩個(gè)問(wèn)題：函數(shù)滿足什么條件，問(wèn)題2若函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，則還有沒(méi)有其他原函數(shù)?若有，他們和有什么關(guān)系?回答如下：

首先，若函數(shù)有一個(gè)原函數(shù)，則它就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù)．其次，兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)．

因此，這一討論揭示了全體原函數(shù)的結(jié)構(gòu)，即當(dāng)為任意常數(shù)時(shí)，函數(shù)族正是的全體原函數(shù)所組成的集合．由此引入不定積分的概念．問(wèn)題2若函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，則還有沒(méi)有其他原函數(shù)?若有定義5.2函數(shù)的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記為由不定積分的定義及前面的討論可知，簡(jiǎn)寫為定義5.2函數(shù)的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記為由不所以因?yàn)槔?.1

求

解所以因?yàn)槔?.1求解所以因?yàn)槔?.2

求

解所以因?yàn)槔?.2求解5.1.2基本積分公式從不定積分的定義，可知有以下重要結(jié)論：(1)或(2)或結(jié)論表明不定積分運(yùn)算（簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算）與導(dǎo)數(shù)（微分）運(yùn)算是互逆運(yùn)算，當(dāng)相繼作這兩種運(yùn)算時(shí)，或相互抵消后還原，或抵消后只差一常數(shù)．可以由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得到常用的基本積分公式，建議自己證明出來(lái)．5.1.2基本積分公式從不定積分的定義，可知有以下重要結(jié)論先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)形式，再利用公式

例5.3

求

解先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)形式，再利用公式例5.3求解先對(duì)被積函數(shù)稍作變形，化為指數(shù)函數(shù)形式，再利用公式例5.4

求

解先對(duì)被積函數(shù)稍作變形，化為指數(shù)函數(shù)形式5.1.3不定積分的幾何意義5.1.3不定積分的幾何意義設(shè)所求曲線方程為，其上任一點(diǎn)處切線的斜率為

例5.5

設(shè)曲線過(guò)點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)處切線的斜率是該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線的方程．

解從而

由，得，因此所求曲線方程為

設(shè)所求曲線方程為5.1.4不定積分的實(shí)際意義5.1.4不定積分的實(shí)際意義根據(jù)邊際成本的含義，有，所以

例5.6

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，已知其邊際成本解由，代入得

所以成本函數(shù)其中（件）為該產(chǎn)品的產(chǎn)量，若當(dāng)產(chǎn)量時(shí)，成本元，求成本函數(shù)．

根據(jù)邊際成本的含義，有5.1.5不定積分的性質(zhì)性質(zhì)5.1

性質(zhì)5.2

若及有原函數(shù)，則若有原函數(shù)，則證

只示范性質(zhì)5.1的證明，因?yàn)樗愿鶕?jù)不定積分的定義可知性質(zhì)5.1成立．5.1.5不定積分的性質(zhì)性質(zhì)5.1若及有原函數(shù)，則將被積函數(shù)變形為代數(shù)和的形式，再分項(xiàng)積分．

例5.7

求

解將被積函數(shù)變形為代數(shù)和的形式，再分項(xiàng)積分被積函數(shù)是多項(xiàng)式之商，先利用多項(xiàng)式除法，進(jìn)行分拆，得

例5.8

求

解再分項(xiàng)積分．

被積函數(shù)是多項(xiàng)式之商，先利用多項(xiàng)式除法，利用三角恒等式把被積函數(shù)變形后，再分項(xiàng)積分．

例5.9

求

解利用三角恒等式利用三角函數(shù)的半角公式把余弦平方的次數(shù)降低．例5.10

求

解利用三角函數(shù)的半角公式把余弦平方的次數(shù)降低被積函數(shù)變形例5.11

求

解故

被積函數(shù)變形例5.11求解故5.1不定積分的概念及性質(zhì)5.1.1不定積分的概念5.1.3不定積分的幾何意義5.1.2基本積分公式5.1.4不定積分的實(shí)際意義5.1.5不定積分的性質(zhì)5.1不定積分的概念及性質(zhì)5.1.1不定積分的概念5.15.1.1不定積分的概念如何尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)等于已知函數(shù)．這是積分學(xué)的基本問(wèn)題之一．5.1.1不定積分的概念如何尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)等定義5.1設(shè)在區(qū)間上有定義，如果存在一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)使對(duì)任一都有或那么稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)．例如，是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)．是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)．定義5.1設(shè)在區(qū)間上有定義，如果存在一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)使對(duì)任問(wèn)題1關(guān)于原函數(shù)，下面討論解決兩個(gè)問(wèn)題：函數(shù)滿足什么條件，能保證它的原函數(shù)存在?這問(wèn)題將在下章中具體討論，這里先介紹一個(gè)結(jié)論．定理5.1（原函數(shù)存在定理）

若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上存在一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)使得對(duì)任一都有簡(jiǎn)而言之，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．于是，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都有原函數(shù)．問(wèn)題1關(guān)于原函數(shù)，下面討論解決兩個(gè)問(wèn)題：函數(shù)滿足什么條件，問(wèn)題2若函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，則還有沒(méi)有其他原函數(shù)?若有，他們和有什么關(guān)系?回答如下：

首先，若函數(shù)有一個(gè)原函數(shù)，則它就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù)．其次，兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)．

因此，這一討論揭示了全體原函數(shù)的結(jié)構(gòu)，即當(dāng)為任意常數(shù)時(shí)，函數(shù)族正是的全體原函數(shù)所組成的集合．由此引入不定積分的概念．問(wèn)題2若函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，則還有沒(méi)有其他原函數(shù)?若有定義5.2函數(shù)的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記為由不定積分的定義及前面的討論可知，簡(jiǎn)寫為定義5.2函數(shù)的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記為由不所以因?yàn)槔?.1

求

解所以因?yàn)槔?.1求解所以因?yàn)槔?.2

求

解所以因?yàn)槔?.2求解5.1.2基本積分公式從不定積分的定義，可知有以下重要結(jié)論：(1)或(2)或結(jié)論表明不定積分運(yùn)算（簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算）與導(dǎo)數(shù)（微分）運(yùn)算是互逆運(yùn)算，當(dāng)相繼作這兩種運(yùn)算時(shí)，或相互抵消后還原，或抵消后只差一常數(shù)．可以由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得到常用的基本積分公式，建議自己證明出來(lái)．5.1.2基本積分公式從不定積分的定義，可知有以下重要結(jié)論先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)形式，再利用公式

例5.3

求

解先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)形式，再利用公式例5.3求解先對(duì)被積函數(shù)稍作變形，化為指數(shù)函數(shù)形式，再利用公式例5.4

求

解先對(duì)被積函數(shù)稍作變形，化為指數(shù)函數(shù)形式5.1.3不定積分的幾何意義5.1.3不定積分的幾何意義設(shè)所求曲線方程為，其上任一點(diǎn)處切線的斜率為

例5.5

設(shè)曲線過(guò)點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)處切線的斜率是該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線的方程．

解從而

由，得，因此所求曲線方程為

設(shè)所求曲線方程為5.1.4不定積分的實(shí)際意義5.1.4不定積分的實(shí)際意義根據(jù)邊際成本的含義，有，所以

例5.6

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，已知其邊際成本解由，代入得

所以成本函數(shù)其中（件）為該產(chǎn)品的產(chǎn)量，若當(dāng)產(chǎn)量時(shí)，成本元，求成本函數(shù)．

根據(jù)邊際成本的含義，有5.1.5不定積分的性質(zhì)性質(zhì)5.1

性質(zhì)5.2

若及有原函數(shù)，則若有原函數(shù)，則證

只示范性質(zhì)5.1的證明，因?yàn)樗愿鶕?jù)不定積分的定義可知性質(zhì)5.1成立．5.1.5不定積分的性質(zhì)性質(zhì)5.1若及有原函數(shù)，則將被積函數(shù)變形為代數(shù)和的形式，再分項(xiàng)積分．

例5.7

求

解將被積函數(shù)變形為代數(shù)和的形式，再分項(xiàng)積分被積函數(shù)是多項(xiàng)式之商，先利用多項(xiàng)式除法，進(jìn)行分拆，得

例5.8

求

解再分項(xiàng)積分．

被積函數(shù)是多項(xiàng)式之商，先利用多項(xiàng)式除法，