材料力學-第四章彎曲應力教學

材料力學-第四章彎曲應力教學三、內(nèi)力方程和內(nèi)力圖一、彎曲概述四、梁橫截面上的正應力計算五、梁橫截面上的切應力計算六、梁的合理設計二、梁的內(nèi)力（剪力和彎矩）第四章彎曲應力1.工程實例橋梁，屋梁，車軸都是最常見梁的例子。2.定義凡是以彎曲變形為主的桿件稱為梁（beam)。一、彎曲(bending)概述當縱向平面上承受垂直于桿件軸線的橫向力或外力偶當作用時，桿件的軸線由直線變成曲線，此變形稱為彎曲變形。平面彎曲：當作用在梁上的所有外力（或合力）位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，梁的軸線為一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線的彎曲。（對稱彎曲）縱向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面縱向?qū)ΨQ軸所構(gòu)成的平面?！裰ё暮喕诠潭ㄣq支座③可動鉸支座①固定端CL7TU23.梁的計算簡圖●桿件的簡化用梁的軸線來代替實際的梁FRyFRxMRFRxFRyFRy③外伸梁①懸臂梁●靜定梁的基本形式②簡支梁●超靜定梁三跨連續(xù)梁主跨邊跨跨徑1.梁的剪力與彎矩二、梁的剪力和彎矩梁橫截面m-m上的內(nèi)力mmFABFsmmAMFAmmFBFsMFA橫截面上分布內(nèi)力系向形心簡化為剪力Fs和彎矩M。符號規(guī)定:左上右下為正。上壓下拉(上凹下凸)為正。或?qū)ξ⒍瘟簝?nèi)任一點順時針轉(zhuǎn)動為正。FsFs符號規(guī)定:●剪力Fs(shearing

force)●彎矩M(bendingmoment)FsFs簡例1.求梁C處左右截面上的剪力和彎矩。解：1.求支座反力FAFBABFaaCAMCA2.求C左截面內(nèi)力FAFsCA解：3.求C右截面內(nèi)力BMCBFBFsCBABFaaC思考:截面內(nèi)力(剪力與彎矩)和外力的關(guān)系,能否不畫圖示截面法的受力圖而進行計算?結(jié)果比較:C處有集中力作用時,左右截面彎矩不變;左右截面剪力發(fā)生突變,變化值大小等于集中力大小。簡例2.求梁C處左右截面上的剪力和彎矩。解：1.求支座反力FAFBFaAMCA2.求C左截面內(nèi)力FAFsCAABaaC解：3.求C右截面內(nèi)力BMCBFBFsCB思考:不畫圖示截面法的受力圖而進行計算時應注意的主要事項?結(jié)果比較:C處有集中力偶作用時,左右截面剪力不變;左右截面彎矩發(fā)生突變,變化值大小等于集中力偶矩。ABaaC通過上二個計算可以看出，截面上的內(nèi)力與該截面任側(cè)梁段上的外力相平衡，因而可以直接通過任一側(cè)梁段上的外力直接求得截面上的內(nèi)力，而不用畫假想切開后的受力圖。2.簡易方法計算梁的橫截面內(nèi)力

●剪力的直接計算（P98）

橫截面上的剪力等于截面左側(cè)梁或右側(cè)梁段上所有外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力引起正的剪力，右側(cè)梁段向下的外力引起正的剪力，反之，相反。注：此處的外力是指除內(nèi)力外的所有力含約束反力。CL7TU7●剪力的直接計算ABFACF1F2F3F4qFBC截面剪力的直接計算C截面左側(cè)梁段C截面右側(cè)梁段注：實際計算時取外力相對簡單的梁段。

●彎矩的直接計算（P98）

橫截面上的彎矩等于截面左側(cè)梁或右側(cè)梁段上所有外力對該截面形心的矩代數(shù)和。向上的外力引起正的彎矩，反之，相反。外力偶引起正負彎矩可以按其轉(zhuǎn)向和引起正負的彎矩的外力對截面形心的矩的轉(zhuǎn)向是否相同確定。FAFBM1ABF1CF2C截面左側(cè)梁段C截面右側(cè)梁段剪力方程：FS=FS（x）彎矩方程：M=M（x）2.剪力圖和彎矩圖以x軸表示橫截面位置，以縱坐標表示相應截面上的剪力FS、彎矩M，分別稱為剪力圖、彎矩圖。剪力圖、彎矩圖表示FS、M沿梁軸線變化情況。1.剪力和彎矩方程三、剪力圖和彎矩圖簡例3.畫簡支梁剪力圖和彎矩圖。解：1.求支座反力FAFBABFaaC2.求內(nèi)力方程x1x2解：2.求內(nèi)力方程FAFBABFaaCx1x2FS0.5F0.5FM0.5Fa簡例4.畫簡支梁剪力圖和彎矩圖。解：1.求支座反力FAFBFa2.求內(nèi)力方程ABaaCx1x2FS0.5FM0.5Fa0.5Fa解:1.求支反力2.求內(nèi)力方程簡例4.畫內(nèi)力圖●剪力和彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系3.剪力、彎矩和載荷集度間的關(guān)系xdx●剪力和彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系注:q(x)向上為正,反之為負?！窈喴追ㄗ骷袅D和彎矩圖①梁上無分布荷載作用：q（x）=0剪力圖斜率為零，F(xiàn)S（x）圖為平行于x軸的直線。彎矩圖斜率為常量cont，M

（x）為直線,一般為斜直線。②梁上作用均布荷載：q（x）=cont剪力圖斜率為cont，F(xiàn)S（x）圖為斜直線。M

（x）取得極值。彎矩圖M

（x）為二次拋物線。CL7TU10例5.作外伸梁的內(nèi)力圖M例7.畫出如圖梁的內(nèi)力圖例6.畫出如圖梁的內(nèi)力圖例8.畫出如圖梁的內(nèi)力圖*分段疊加法畫彎矩圖CL7TU9●分段疊加法畫彎矩圖P基本圖形MAABMBMMAMB分段疊加法原理M例9.畫出如圖梁的彎矩圖M思考:如何用分段疊加法畫如下彎矩圖?

剛架的組成—橫梁、立柱與剛節(jié)點。立柱剛節(jié)點橫梁●平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖彎矩的數(shù)值標在受拉邊，軸力、剪力畫在里側(cè)和外側(cè)均可，但需標出正負號。例10.繪剛架內(nèi)力圖解：1.求支反力q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mFAxFAyFB2、作內(nèi)力圖1）軸力圖q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mFAxFAyFBFAx=-3kNFAy=3kNFB=5kNABDEC5kN1kN3kNq=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mFAxFAyFBABDEC2）剪力圖:簡易法1kNBC桿：取一點（水平線）DC桿：取兩點（水平線）5kN3kNDA桿：取兩點（斜直線）1kN3kNFAx=-3kNFAy=3kNFB=5kNq=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mFAxFAyFB3）彎矩圖用簡易法BC桿：取兩點（斜直線）DC桿：取兩點（水平線）DA桿：取三點（拋物線）ABDEC0kN3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3m4kNmFAx=-3kNFAy=3kNFB=5kNABDEC1kN5kN3kN1kN3kNABDECABDEC0kN3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3m4kNm1.純彎曲：橫力彎曲：四、梁橫截面上的正應力計算從三方面考慮：①變形幾何關(guān)系②物理關(guān)系③靜力學關(guān)系①變形幾何關(guān)系●純彎曲時梁橫截面上的正應力公式推導觀察梁純彎曲時變形現(xiàn)象觀察到以下變形現(xiàn)象:

●部分縱向線段縮短，部分縱向線段伸長。梁在純彎曲時的平面假設：梁的各個橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度?！窨v向直線彎成弧線；

●橫向直線變形后仍為直線；

再作單向受力假設：假設各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。梁在彎曲變形時，上面部分縱向纖維縮短，下部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層中性軸中性層z中性層與橫截面的交線稱為中性軸。①變形幾何關(guān)系②物理關(guān)系①幾何關(guān)系正應力與它到中性層的距離成正比，中性層上的正應力為零；由于中性軸z的位置未確定，故y無法標定；式中未知.（若已知M，與M有何關(guān)系？）上式只能用于定性分析，而不能用于定量計算。設中性軸為zyz橫截面對z軸的靜矩M③靜力學關(guān)系中性軸z必通過截面形心令：截面對yz軸的慣性積截面對z軸的慣性矩*由于y為對稱軸,上式自然滿足。*由于y為對稱軸,自然滿足。如果所選的正交坐標軸中，有一個坐標軸是對稱軸，則平面圖形對該對坐標軸的慣性積必等于零。橫截面上正應力橫截面上最大正應力Wz為彎曲截面系數(shù)

對于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。彈性力學精確分析結(jié)果指出：當梁的跨高比大于5時，剪應力和擠壓應力對彎曲正應力的影響甚小，可忽略不計。因此由純彎曲梁導出的正應力計算公式，仍可以應用于橫力彎曲的梁中，誤差不超過1%。橫力彎曲時，彎矩不再是常量。公式適用條件：

1）符合平面彎曲(平面假設，橫截面有一對稱軸）；

2）p(材料服從胡克定律）。◆沿y軸線性分布，同一坐標y處，正應力相等。中性軸上正應力為零?！糁行暂S將截面分為受拉、受壓兩個區(qū)域?！糇畲笳龖Πl(fā)生在距中性軸最遠處。Z如彎矩為正,則橫截面上的最大拉應力和壓應力大?。簓2y1y當中性軸是橫截面的對稱軸時：Wz:彎曲截面系數(shù)●極慣性矩和慣性矩的關(guān)系思考：如何求圖示圓截面對y、z軸的慣性矩。zdy簡例：求圖示矩形對形心軸z的慣性矩?！裼嬎銘T性矩的常用方法①積分法zyhb解：dyy●計算慣性矩的常用方法②組合法平行移軸公式Czz1azDd簡單截面的Iz和WzzdzhbzDdiy,iz分別稱為平面圖形對y軸和z軸的慣性半徑工程中常把慣性矩表示為平面圖形的面積與某一長度平方的乘積，即例10.確定中性軸z的位置，并求Iz80802020解：確定中性軸z的位置中性軸必過形心，求形心位置yz1CzycIⅡ80802020yz1CzycIⅡzC1zC2alaq解：請同學畫彎矩圖只有支座處截面與跨中截面之彎矩的絕對值相等，才能使該梁的最大彎矩的絕對值為最小，從而使其最大正應力為最小。例11.圖示工字形截面外伸梁受均布荷載作用，試求當最大正應力為最小時的支座位置。2、梁的正應力強度條件強度條件等直梁強度條件

對于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用彎曲拉應力和許用彎曲壓應力兩個數(shù)值。強度條件為：請注意：梁的最大工作拉應力和最大工作壓應力不一定發(fā)生在同一截面上。利用強度條件可以進行三方面的強度計算：①已知外力、截面形狀尺寸、許用應力，校核梁的強度。②已知外力、截面形狀、許用應力，設計梁的截面尺寸。③已知截面形狀尺寸、許用應力，求許可載荷。而軸向拉(壓)時，截面上的應力是均勻分布的。P1PP2hzbbzh(b)(a)例12.兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應力強度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？解：思考：主梁AB，跨度為l，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長度a為多少？例13.圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應力和許用壓應力分別為［σt］和［σc］，則y1和y2的最佳比值為多少?(Ｃ為截面形心)解：中性軸以上受拉例14.圖示鑄鐵梁，許用拉應力[σt]=30MPa，許用壓應力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，試校核此梁的強度。2.5kN10.5kN解：作彎矩圖M2.5kN.m4kN.mC截面：B截面：滿足強度要求M2.5kN.m4kN.mBC本題可不必計算為什么？例15.簡支梁AB，在Ｃ截面下邊緣貼一應變片，測得其應變ε=6×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，求載荷P的大小。解：C點的應力C截面的彎矩由得思考：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長為10mm，E=10GPa，求載荷P的大小。例16.圖示懸臂梁在自由端受集中力作用,P=20kN。試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料：(1)高寬比h/b=2的矩形；(2)圓形；(3)工字鋼。P=20kN解:作彎矩圖20kN.m(1)矩形(2)圓形d≈11.3cm(3)工字形查型鋼表，取16號工字鋼工字形截面最省料，圓形截面最費料。為什么？本題中，最大工作應力將略大于許用應力，但不超過5%，這在工程中是允許的。例17.我國古代營造法中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應力強度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。（如何使Wz最大?）hb解:設圓木直徑為d五、梁橫截面上的切應力計算1.矩形截面梁zyb-梁截面寬Sz＊-靜矩1.矩形截面梁zy最大值發(fā)生在中性軸上的點腹板翼緣2、工字形截面梁的剪應力在腹板上最大剪應力3、圓截面梁的剪應力4、圓環(huán)截面梁的剪應力●彎曲剪應力強度條件例18.圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的許用應力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，試求最小直徑dmin。解:作內(nèi)力圖解：由正應力強度條件：由剪應力強度條件：例20.兩個尺寸完全相同的矩形截面梁疊在一起承受荷載如圖所示。梁長為l。若材料許用應力為[]，其許可載荷[P]為多少？如將兩個梁用一根螺栓聯(lián)成一體，則其許可荷載為多少？bPPbPl解：1、兩梁疊放承載時，每梁將各自彎曲兩梁都有自己的中性層。每梁各承擔一半彎矩。2、當兩梁用螺栓聯(lián)為一體時，中性軸只有一個。可見，兩梁結(jié)為一體后，承載能力提高一倍。bPz思考：計算各梁形心軸上的剪應力。六、梁的合理設計提高梁強度的主要措施控制梁彎曲強度的主要因素是彎曲正應力因此應使Mmax盡可能地小，使WZ盡可能地大。1、梁的合理截面★合理的截面形狀應使截面積較小而抗彎截面模量較大。為指標。2、合理安排梁的受力情況★對于[t]=[c]的材料，可用與中性軸對稱的截面，使截面上、下邊緣σtmax=σcmax★對于[t]≠[c]的材料，如鑄鐵[t]＜[c]，宜用中性軸偏于受拉邊的截面。3、采用變截面梁、等強度梁的概念★梁的各橫截面上的最大正應力都等于材料的許用應力［σ］時，稱為等強度梁。三、內(nèi)力方程和內(nèi)力圖一、彎曲概述四、梁橫截面上的正應力計算五、梁橫截面上的切應力計算六、梁的合理設計二、梁的內(nèi)力（剪力和彎矩）第四章彎曲應力重點選擇題練習1、下列說法錯誤的有()。A、圖形對其主慣性軸（即主軸）的慣性積為零。B、圖形對其形心主軸的慣性積為零。C、圖形對其形心軸的靜矩為零。D、圖形對其主軸的靜矩為零。D2、下列錯誤的有()。A、Cyz

z1

b

h

y1

y2

B、C、D、D3.中性軸z以下圖形對位置z軸的靜矩等于（）。A、中性軸z以上圖形對位置z軸的靜矩80802020yCz65B、零C、-4225D、4225C分析：4.外力偶在簡支梁上移動，其他外力不變，則正確說法為等于（）。B、剪力圖不變，彎矩圖改變A、剪力圖和彎矩圖都改變C、剪力圖和彎矩圖都不變D、剪力圖改變,彎矩圖不變B分析：約束反力不變，剪力圖不變。CL7TU105.靜定梁上無力偶和集中荷載作用，梁的剪力圖如圖示，則正確的為（）。ABCA、A端為固定端B、A端和B端為支座C、A端和C端為支座D、B端和C端為支座BCL7TU10外伸梁分析：CL7TU106.梁上無力偶和集中荷載作用，梁的剪力圖如圖示，則正確的為（）。ABCA、彎矩圖為直線B、彎矩圖有突變C、彎矩圖AB段為斜直線，BC段為拋物線D、彎矩圖不能確定CCL7TU10外伸梁分析：7、多跨靜定梁的彎矩圖()。A、BD，CB，AC段為斜率不同的三直線段B、BD，CB，AC段為斜率相同的三直線段C、BD，AB段為斜率不同的二直線段D、CD，AD段為斜率不同的二直線段C8、靜定梁不受集中力作用，彎矩圖如圖示，則有（）。A、靜定梁為懸臂梁B、靜定梁為簡支梁C、靜定梁為外伸梁，C處受順時針外力偶作用D、靜定梁為外伸梁，C處受逆時針外力偶作用D分析：按D,B處剪力突變排除A，

B。再按C處彎矩，排除C。9、畫具有中間鉸的組合梁，關(guān)于B處左截面和C處右截面彎矩，正確的有（）。A、B、C、D、D分析：按C處彎矩為零，排除B

，C

。再按簡易法可知B左截面彎矩為負，排除A。10、畫具有中間鉸的組合梁，C處左截面和右截面剪力，正確的有（）。A、B、C、D、D分析：按C處突變值排除A，

B。再按簡易法可知右截面剪力為負，排除C。11、計算各梁中指定截面的剪力和彎矩，正確的為（）。A、B、C、D、B分析：按1-1處剪力為負，排除A，C，按中間處突變排除D?；蚝喴追ㄓ嬎恪?2.圖示鑄鐵梁上受一移動載荷作用，當移動到()點處梁上拉應力最大。A、