非常規(guī)數(shù)學(xué)問題解法探微

有一些數(shù)學(xué)問題例操作問題推理問題,不能用通常的數(shù)學(xué)方法來;還有一些實(shí)際問題,研究的是事物的某種狀態(tài)或性,本身與數(shù)量無也不能用通常的數(shù)學(xué)方法來解們習(xí)慣上將上述的這類問題稱為非常規(guī)數(shù)學(xué)問題。非常規(guī)數(shù)學(xué)問題近年來在各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽及數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽等賽題中頻頻出,特別是它與實(shí)際問題密切聯(lián),因此受到廣泛關(guān)注。非常規(guī)數(shù)學(xué)問題需要非常規(guī)的特殊解,文就最常用的圖解法值法抽屜原理及邏輯推理等四種方法,結(jié)合實(shí)際例作一探討。1圖法例1(柳卡問題)假每天中午有艘輪船由哈佛開往紐約同時(shí)有一艘輪船由紐約開往哈佛航時(shí)間都為七晝夜,且均沿同一航線航行。問今天中午從哈佛開出的一艘輪船將會(huì)遇到幾艘從紐約開來的同一公司的輪?這是十九世紀(jì)在一次世界科學(xué)會(huì)議期間法國學(xué)家柳卡向在場(chǎng)的數(shù)學(xué)家們提出的一個(gè)問題,它難倒了在場(chǎng)的所有數(shù)學(xué),柳卡本人也沒有徹底解決。后來有一位數(shù)學(xué)家通過下面的圖解法,才使問題最終得到解。這種方法是用條橫線分別表示紐約港和哈佛,天中(記作第0天從佛出發(fā)的輪船在第7天午到達(dá)紐約,用下到上的一條斜線表示到下的斜線依次表示每天中午由紐約開出的輪船經(jīng)晝到哈佛。顯然兩種斜線的交點(diǎn)總數(shù)就是相遇的輪船,共15艘。值得注意的是,上述圖解法不但給出這一問題的一種簡單、美妙、不用數(shù)字計(jì)算的非常規(guī)解法更意義的是它可作為一種模來解決這一類型的問,請(qǐng)看下例:例2某路電車由站開往ｂ站,每分鐘一輛,全程為20鐘。有一人騎車從ｂ站到ａ站在出發(fā)時(shí)恰有一輛電車進(jìn),他到達(dá)ａ站時(shí)又恰有一輛電車出,問(1)若騎車人在中途共遇到對(duì)面開來的10輛車,則他出發(fā)后多少分鐘到達(dá)ａ站?(2)如果騎車人由ｂ站到ａ站共用50分時(shí)間則他一共遇到多少輛迎面開來的電?(3)若騎車人同某輛電車同時(shí)出發(fā)由ａ站返回ｂ,車人用分鐘達(dá)ｂ站時(shí)也恰有一輛電車進(jìn),問在中途有多少輛電車超過?解仿卡問題圖解,畫出下面:由圖可:(1)騎人從ｂ站總共遇到12輛從對(duì)面開來的電車到達(dá)ａ站所用的時(shí),恰好等于ａ站開出7輛車時(shí)間,即35鐘。(2)若騎車人一共用50分走完全(即由0到10的那條由下到上的斜線),可知一共遇到15輛車。(3)由上到下畫一條斜(由0到即表示騎車人由ａ站出發(fā)40分鐘后到達(dá)ｂ站,可見中途共有3輛車超過他。2賦法賦值法解題是本身與數(shù)量無關(guān)的問題巧妙地賦于某些特殊的數(shù)(如±1、與1等將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量問題,然后利用整除性、奇偶性或正負(fù)號(hào)等的討,使問題得以解決。例3在周上均勻地放4枚圍,然后作如下操若原來相鄰的兩枚棋子是同色就在其間放一枚黑子;若是異色,就其間放一枚白然后將原來的4枚棋取走,以上算一次操作。證明不論原來4枚子黑白顏色如何排列最多只須作4次作就可使剩下的4枚棋子全是黑子。解因只有黑白兩色棋,所可以用黑子-1記白子規(guī)在同色兩子之間放黑子,正好符合1·1=1,(-1)(-1)=1;異色兩子之間放白子正好符合1·(-1)=(-1)·1=-1,因此,這樣賦值后就將原來的問題轉(zhuǎn)化+和1的討論問題。將圓周上的4枚子次記為1ｘｘｘ繼續(xù)數(shù)下去記ｘ5=ｘ1,ｘｘ??)

按上面的賦值方法可:ｘｉｘｉｘ+1=1ｘｉ與ｘｉ+1同色1ｘ與ｘｉ異色這樣,判斷在ｘｉ與ｘｉ兩棋之間該放黑子還是白,就由ｘｉ的積符號(hào)的正、負(fù)來確定乘積+時(shí)黑子為-放白子。按此方法,將各次操作后的正、負(fù)號(hào)列成下表(將圓周上的棋子排在直線上)第一次操作ｘｘｘｘｘｘ4ｘ1ｘｘｘｘｘｘｘｘｘ3ｘｘｘ4ｘｘｘ第二次ｘｘｘ操作=ｘ3ｘｘｘｘｘｘｘｘｘ1ｘｘ第三次操作ｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘ2ｘｘ4ｘ1ｘｘｘ第四次(ｘ1ｘｘｘ4)2操作=1111由上表可見經(jīng)4次作,符皆為故4枚棋子都應(yīng)放黑子。用數(shù)學(xué)歸納法可以證,一般情,圓周上原來擺著ｎ枚棋子最多操作2ｎ次后一定全剩下黑子。例4有11只杯都口朝上放,后將它們?nèi)我夥紨?shù)只算一次操(翻過的也可以再翻。明無操作多少次,都能使11只子都口朝下。解將朝上的杯子記為口下的記-1,然后計(jì)算每操作一次后11只子乘積的正負(fù)號(hào):開始,11只子都口朝上,所以乘積的符號(hào):111=1。當(dāng)翻動(dòng)ｎ個(gè)杯子(ｎ為偶數(shù)且ｎ10)使其口朝下,乘積的符號(hào)為:111-ｎ·(-1)ｎ·1=1繼續(xù)討論可知,無論ｎ是小于11什么偶,乘積的正負(fù)號(hào)均為,而11只子都口朝下時(shí)乘為-1)11=-1,故不可能辦到。本問題的一般結(jié)論是:奇數(shù)個(gè)杯每次翻動(dòng)偶數(shù)個(gè)或偶數(shù)個(gè)杯子每次翻動(dòng)奇數(shù),都不能使所有杯子都口朝下。3抽原理抽屜原理是證明“存在性”問題的有力工,最基本形式:將ｎ+1(或多個(gè)素任意放入ｎ個(gè)抽屜,至少有一個(gè)抽屜中至少有兩(或更多元素。抽屜原理的正確性簡單而顯然,但具體運(yùn)用不容易困難處在于怎樣設(shè)置抽屜,把個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為抽屜原理問題。

例5世上任意6個(gè)人中,總個(gè)人或彼此都認(rèn)識(shí)或彼此都不認(rèn)識(shí)。這是有名的ｒａｍｓｅｙ問題要用抽屜原理來解。對(duì)6個(gè)人中的任一個(gè)人不設(shè)ａ來,ａ外的其余5人可為同ａ相識(shí)或不同ａ相識(shí)兩類即個(gè)抽屜,由抽屜原可,至少有一類中至少有人。分別討論如:如果同ａ都認(rèn)識(shí)的那一類中至少有3人若有人互相都不認(rèn),則結(jié)論成立否至少有兩個(gè)人互相認(rèn)識(shí)而兩人又都同ａ認(rèn),有互相認(rèn),結(jié)論也成立。如果同ａ都不認(rèn)識(shí)的那一類中至少有3人若其中有人互認(rèn)識(shí),則結(jié)論成立否則,至少有兩人彼此不認(rèn)識(shí),但這二人又都與ａ互不認(rèn),這時(shí)有3互相不認(rèn)識(shí)結(jié)論也成立。此問題也可以用染色法來證明:在平面上用ａ1,ａ2???來表6個(gè),它們無三點(diǎn)共線。將互相認(rèn)識(shí)的兩人連一條紅線,否則連一條藍(lán)線轉(zhuǎn)化在這15條連線中要證明至少有一個(gè)同顏色的三角形。證明:考慮由1出發(fā)的5條,為只有紅兩種顏兩個(gè)抽屜,所以至少有3條同色,不妨設(shè)ａａａａａ1ａ4為紅其次再考eq\o\ac(△,慮)2ａａ三的顏色,若均為藍(lán)色則結(jié)論成立此人互相不認(rèn))否則至少有一條邊為紅,例如ａａ3,則eq\o\ac(△,ａ)eq\o\ac(△,)1ａ2ａ3的邊都為紅色,結(jié)論也成立此三人彼此都認(rèn)。例6已某學(xué)者在五年期間內(nèi)月至少發(fā)表一篇文,知他每年至多發(fā)19篇?jiǎng)t得結(jié)論:他必在某連續(xù)的幾個(gè)月內(nèi)恰好發(fā)文24篇試證明之。解設(shè)人在5年內(nèi)60個(gè))每發(fā)文數(shù)為1,ａ??ａ60,設(shè)此數(shù)列前ｎ項(xiàng)和為ｓ1,ｓ2,?≤×5=95。如果他在某連續(xù)的幾個(gè)月內(nèi)恰發(fā)文24篇,說明存在兩個(gè)編號(hào)ｉ和,使得ｓｊ=ｓｉ+24(1≤<ｊ60)成立。又ｓ1+24,ｓ2+24?60+24≤95+24=11960個(gè)數(shù)連同1,ｓ2?共120個(gè)數(shù)將它們寫在一起即1≤ｓ1,ｓ?ｓ1+24?≤119上式表,在區(qū)〔1,119中了20個(gè)數(shù)元素,〔1,119上只有119個(gè)同的整數(shù)設(shè)抽)由屜原理,在1,2?這120整數(shù)中必有兩個(gè)相等因?yàn)椋?<ｓ?ｓ彼此相,從而ｓ1+20<?ｓ60+24也不相等因此彼此相等的那兩個(gè)數(shù)必來自兩組之不妨設(shè)為ｓｊ與ｓ相等,即ｓｊｓ成。4邏推理有一些涉及邏輯推理方面的問可通過邏輯推理方法,將矛盾結(jié)論排除,找出合理結(jié)論。推理順序有順推法和逆推法。例7要派ａ去執(zhí)行一項(xiàng)任但按實(shí)際情況必須滿足以下條:(1)若ａ去,ｂ去;(2)ｂ、ｃ兩人至少有一人去;(3)、ｃ兩人中必須去且只能去一人;(4)ｃ、ｄ都去或都不去;ｅ去則ａ、ｄ都去。問應(yīng)誰們?nèi)ソ?逆推:若ｅ去→ａ、ｄ都去→ｂ去→ｃ不去→ｄ不導(dǎo)自矛盾。所以ｅ不能去。ｅ不去→ｄ去→ｃ去→ｂ不去→ａ不