經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)線性代數(shù)部分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)及典型例題解析

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》線性代數(shù)部分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)及典型例題解析第1-2章行列式和矩陣⒈了解矩陣的概念，熟練掌握矩陣的運(yùn)算。矩陣的運(yùn)算滿足以下性質(zhì)⒉了解矩陣行列式的遞歸定義，掌握計算行列式（三、四階）的方法；掌握方陣乘積行列式定理。是同階方陣，則有：若是階行列式，為常數(shù)，則有：⒊了解零矩陣，單位矩陣，數(shù)量矩陣，對角矩陣，上（下）三角矩陣，對稱矩陣，初等矩陣的定義及性質(zhì)。⒋理解可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質(zhì)，掌握矩陣可逆的充分必要條件。若為階方陣，則下列結(jié)論等價可逆滿秩存在階方陣使得⒌熟練掌握求逆矩陣的初等行變換法，會用伴隨矩陣法求逆矩陣，會解簡單的矩陣方程。用初等行變換法求逆矩陣：用伴隨矩陣法求逆矩陣：（其中是的伴隨矩陣）可逆矩陣具有以下性質(zhì)：⒍了解矩陣秩的概念，會求矩陣的秩。將矩陣用初等行變換化為階梯形后，所含有的非零行的個數(shù)稱為矩陣的秩。典型例題解析例1設(shè)均為3階矩陣，且，則。解：答案：72因?yàn)椋宜岳?設(shè)為矩陣，為矩陣，則矩陣運(yùn)算（）有意義。解：答案：A因?yàn)?，所以A可進(jìn)行。關(guān)于B，因?yàn)榫仃嚨牧袛?shù)不等于矩陣的行數(shù)，所以錯誤。關(guān)于C，因?yàn)榫仃嚺c矩陣不是同形矩陣，所以錯誤。關(guān)于D，因?yàn)榫仃嚺c矩陣不是同形矩陣，所以錯誤。例3已知求。分析：利用矩陣相乘和矩陣相等求解。解：因?yàn)榈?。?設(shè)矩陣求。解：方法一：伴隨矩陣法可逆。且由得伴隨矩陣則=方法二：初等行變換法注意：矩陣的逆矩陣是唯一的，若兩種結(jié)果不相同，則必有一個結(jié)果是錯誤的或兩個都是錯誤的。例4設(shè)矩陣求的秩。分析：利用矩陣初等行變換求矩陣的秩。解：。例5若是階矩陣，且，試證證明：注意：在證明中用到了已知條件和轉(zhuǎn)置行列式相等的結(jié)論。第三章線性方程組一、本章主要內(nèi)容主要概念：齊次線性方程組非齊次線性方程組方程組的矩陣表示系數(shù)矩陣增廣矩陣一般解通解（全部解）特解基礎(chǔ)解系自由元（自由未知量）維向量線性組合（線性表出）線性相關(guān)線性無關(guān)極大線性無關(guān)組向量組的秩向量空間向量空間的基和維數(shù)主要性質(zhì)：齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì)主要定理：線性方程組的理論齊次線性方程組有非零解的充分必要條件齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組有解的充分必要條件非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)向量組線性相關(guān)性的有關(guān)定理（教材中第三章第三節(jié)）定理1、2、3及有關(guān)推論；極大無關(guān)向量組的有關(guān)定理（教材中第三章第四節(jié)）定理1、2、3主要方法：高斯消元法齊次線性方程組解的情況判別非齊次線性方程組解的情況判別基礎(chǔ)解系的求法通解的求法向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的判別法極大線性無關(guān)組的求法二、本章重點(diǎn)：向量組相關(guān)性的概念及判別，線性方程組相容性定理，齊次線性方程組基礎(chǔ)解系幾通解的求法，非齊次線性方程組特解和全部解的求法。三、典型例題解析例1向量組，若向量組線性相關(guān)則=。解：答案：2因?yàn)橛捎嘘P(guān)定理，向量組線性相關(guān)的充要條件是向量組的秩數(shù)小于向量組向量個數(shù)，所以求向量組的秩，決定的取值，使其秩數(shù)小于3。具體解法是當(dāng)時，，故向量組線性相關(guān)。例2設(shè)向量組為求它的一個極大無關(guān)組，并判斷向量組的相關(guān)性。分析：解：是向量組的一個極大無關(guān)組，，此向量組線性相關(guān)。例3線性方程組當(dāng)為何值時方程組有解，有解時解的情況如何？分析：因?yàn)樵鰪V矩陣的秩與的取值有關(guān)，所以選擇的值，使解時，有，方程組有解且有無窮多解。例4設(shè)線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換后化為求方程組的通解。分析：將階梯形矩陣?yán)^續(xù)化為行簡化階梯形矩陣，求出方程組的一般解，然后求特解，相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，寫出方程組的通解。解：得到方程組的一般解為（其中是自