導(dǎo)學(xué)案　函數(shù)的單調(diào)性

§函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題導(dǎo)學(xué)一、利用定義證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性活動(dòng)與探究1證明函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1,2－x)在區(qū)間[3,5]上是增加的．遷移與應(yīng)用證明函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋1在區(qū)間[2，＋∞)上是減少的．證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的步驟：(1)取值：在給定區(qū)間上任取兩個(gè)值x1，x2，且x1＜x2；(2)作差變形：計(jì)算f(x1)－f(x2)，通過(guò)因式分解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法變形；(3)定號(hào)：判斷上式的符號(hào)，若不能確定，則分區(qū)間討論；(4)結(jié)論：根據(jù)差的符號(hào)，得出單調(diào)性的結(jié)論．二、根據(jù)圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間活動(dòng)與探究2畫(huà)出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的圖像，根據(jù)圖像指出單調(diào)區(qū)間．遷移與應(yīng)用1．已知f(x)(x∈[－4,7])的圖像如圖所示，則f(x)的遞增區(qū)間是__________；遞減區(qū)間是__________．2．作出函數(shù)f(x)＝|x－3|的圖像，并指出其單調(diào)區(qū)間．(1)對(duì)于初等函數(shù)(如y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝eq\f(k,x)等)的單調(diào)區(qū)間的確定，常借助于函數(shù)圖像去探求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)，往往轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)去處理其圖像，如y＝|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))在此基礎(chǔ)上，借助于圖像的變化趨勢(shì)分析相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間．(3)由圖像確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)需注意兩點(diǎn)：①單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；②圖像不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開(kāi)寫(xiě)，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用活動(dòng)與探究3(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋1在[－1，＋∞)上是增加的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()．A．a(chǎn)≥－eq\f(1,2)B．a(chǎn)＞－eq\f(1,2)C．a(chǎn)≤－eq\f(1,2)D．a(chǎn)＝－eq\f(1,2)(2)已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，且f(1－a)＜f(2a－1)，求a遷移與應(yīng)用(1)設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則()．A．f(1)＞f(2)B．f(－a)＜f(a)C．f(0)＜f(a)D．f(1)＜f(2)(2)若函數(shù)f(x)＝(4a－3)x＋2在R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a(3)已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范圍．(1)已知二次函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的圖像，分析拋物線的開(kāi)口方向，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式，從而求得參數(shù)的取值范圍．(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小時(shí)，首先應(yīng)明確函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，然后分析欲比較大小的函數(shù)值相對(duì)應(yīng)的自變量的所屬區(qū)間及其大小關(guān)系，最后利用單調(diào)性確定函數(shù)值的大?。?3)由函數(shù)值的大小關(guān)系確定變量的取值范圍時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)換為相應(yīng)自變量的大小關(guān)系，從而建立不等式求出參數(shù)的取值范圍，但務(wù)必注意函數(shù)定義域?qū)?shù)取值的限制，不可忽視定義域．四、利用函數(shù)的單調(diào)性求最值活動(dòng)與探究4(1)求函數(shù)f(x)＝－x2＋2x在區(qū)間[0，＋∞)上的最大值；(2)求函數(shù)f(x)＝eq\f(2,－x－1)在區(qū)間[2,6]上的最大值和最小值．遷移與應(yīng)用(1)函數(shù)f(x)＝4－5x在區(qū)間[－1,2]上的最小值等于__________．(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x－1)，x∈[3,4]，求f(x)的最值．1．熟記運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值的步驟(1)判斷：先判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)求值：利用單調(diào)性代入自變量的值求得最值．2．明確利用單調(diào)性求最大值、最小值易出錯(cuò)的幾點(diǎn)(1)寫(xiě)出最值時(shí)要寫(xiě)最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而不是橫坐標(biāo)．(2)求最值忘記求定義域．(3)求最值，尤其是閉區(qū)間上的最值，不判斷單調(diào)性而直接將兩端點(diǎn)值代入．當(dāng)堂檢測(cè)1．函數(shù)f(x)＝－x2的遞增區(qū)間為()．A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－1，＋∞)2．若f(x)＝(2a－1)x＋b是RA．a(chǎn)≥eq\f(1,2)B．a(chǎn)≤eq\f(1,2)C．a(chǎn)＞－eq\f(1,2)D．a(chǎn)＜eq\f(1,2)3．函數(shù)f(x)＝x2－4在區(qū)間[－2，－1]上的最大值是()．A．0B．－3C．3D．14．若f(x)是R上的增函數(shù)，且f(x－1)＞f(2)，則x的取值范圍是__________．5．證明函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增加的．提示：用最精煉的語(yǔ)言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫(xiě)下來(lái)并進(jìn)行識(shí)記。答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1．定義域內(nèi)任意兩數(shù)f(x1)＜f(x2)增加的遞增定義域內(nèi)任意兩數(shù)f(x1)＞f(x2)減少的遞減預(yù)習(xí)交流1提示：不可以．如圖，雖然f(－1)＜f(2)，但f(x)在[－1,2]上既不是增加的，也不是減少的．2．增加減少單調(diào)區(qū)間單調(diào)性增加的減少的單調(diào)函數(shù)預(yù)習(xí)交流2(1)提示：不能用“∪”來(lái)連接，而應(yīng)該用“和”來(lái)連接．如函數(shù)y＝eq\f(1,x)，其定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，不能說(shuō)函數(shù)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上遞減，而只能說(shuō)函數(shù)在(－∞，0)和(0，＋∞)上遞減．(2)提示：不一定，例如函數(shù)y＝x2在其定義域R上不具有單調(diào)性．(3)提示：如果f(x)在[a，b]上是增加的，那么由f(x1)＞f(x2)可得x1＞x2；如果f(x)在[a，b]上是減少的，那么由f(x1)＞f(x2)可得x1＜x2.3．上升減少4．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥M②f(x0)＝M預(yù)習(xí)交流3提示：在[a，b]上的單調(diào)性在[a，b]上的最大值在[a，b]上的最小值在[a，b]上增加f(b)f(a)在[a，b]上減少f(a)f(b)在[a，c]上增加，在[c，b]上減少f(c)f(a)與f(b)中的較小者在[a，c]上減少，在[c，b]上增加f(a)與f(b)中的較大者f(c)課堂合作探究【問(wèn)題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1思路分析：利用函數(shù)增減性的定義來(lái)證明，其關(guān)鍵是對(duì)f(x1)－f(x2)進(jìn)行變形，盡量化成幾個(gè)最簡(jiǎn)單因式的乘積的形式．證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間[3,5]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1＋1,2－x1)－eq\f(x2＋1,2－x2)＝eq\f(3(x1－x2),(2－x1)(2－x2)).因?yàn)?≤x1＜x2≤5，所以2－x1＜0,2－x2＜0，x1－x2＜0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在[3,5]上是增加的．遷移與應(yīng)用證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間[2，＋∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝(－xeq\o\al(2,1)＋4x1＋1)－(－xeq\o\al(2,2)＋4x2＋1)＝(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＋4(x1－x2)＝(x1－x2)(4－x1－x2)．因?yàn)?≤x1＜x2，所以x1－x2＜0,4－x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以f(x)在[2，＋∞)上是減少的．活動(dòng)與探究2思路分析：先去掉絕對(duì)值，將函數(shù)化為分段函數(shù)，再畫(huà)出每一段上的圖像，最后指出單調(diào)區(qū)間．解：y＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0，))即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－(x－1)2＋4，x≥0，,－(x＋1)2＋4，x<0.))其圖像如圖所示．由圖像可知，f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[0,1]，遞減區(qū)間為[－1,0]和[1，＋∞)．遷移與應(yīng)用1.[－,3]和[5,6]，[－4，－]和[3,5]和[6,7]2．解：f(x)=作出函數(shù)的圖像如圖，由圖知函數(shù)的遞增區(qū)間是[3，＋∞)，遞減區(qū)間是(－∞，3]．活動(dòng)與探究3思路分析：(1)函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，圖像是拋物線，求出其對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合圖像及已知條件分析對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，從而確定a的取值范圍；(2)不等式f(1－a)＜f(2a(1)C解析：f(x)＝x2－4ax＋1的圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝2a.∵f(x)在[－1，＋∞∴2a≤－1，即a≤－eq\f(1,2).∴a的取值范圍為a≤－eq\f(1,2).(2)解：由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<1－a<1，,－1<2a－1<1，))解得0＜a＜1.①∵f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，且f(1－a)＜f(2a∴1－a＞2a－1，即a＜eq\f(2,3).②由①②可知，0＜a＜eq\f(2,3).即所求a的取值范圍是0＜a＜eq\f(2,3).遷移與應(yīng)用(1)A解析：由于－a與a、0與a的大小關(guān)系不確定，所以f(－a)與f(a)、f(0)與f(a)的大小關(guān)系也不確定，故B、C均錯(cuò)；又因?yàn)閒(x)在R上遞減，故f(1)＞f(2)，故D錯(cuò)，A正確．(2)a＜eq\f(3,4)解析：要使f(x)＝(4a－3)x＋2在R上是減函數(shù)，應(yīng)滿足4a－3＜0，解得a＜eq\f(3,4).(3)解：∵f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x－2)＜f(1－x)，∴x－2＜1－x.∴x＜eq\f(3,2)，即x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).活動(dòng)與探究4思路分析：(1)結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像分析f(x)的單調(diào)性，從而確定其最大值；(2)利用函數(shù)增加、減少的定義判斷f(x)在[2,6]上的單調(diào)性，再求最值．解：(1)畫(huà)出函數(shù)f(x)＝－x2＋2x的圖像(如圖)，由圖像可知：f(x)在[0,1]上是增加的，在[1，＋∞)上是減少的，所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是f(1)＝1.(2)任取x1，x2∈[2,6]，且x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝eq\f(2,－x2－1)－eq\f(2,－x1－1)＝eq\f(2(x2－x1),(x2＋1)(x1＋1)).因?yàn)?≤x1＜x2≤6，所以x2－x1＞0，(x2＋1)(x1＋1)＞0，于是eq\f(2(x2－x1),(x2＋1)(x1＋1))＞0，即f(x1)＜f(x2)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(2,－x－1)在區(qū)間[2,6]上是增加的，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(2,－x－1)在區(qū)間[2,6]的左、右端點(diǎn)處分別取得最小值、最大值，即最大值為f(6)＝eq\f(2,－6－1)＝－eq\f(2,7)，最小值為f(2)＝eq\f(2,－2－1)＝－eq\f(2,3).遷移與應(yīng)用(1)－6解析：顯然f(x)＝4－5x在區(qū)間[－1,2]上是減少的，所以最小值等于f(2)＝－6.(2)解：在[3,4]上任取兩個(gè)值x1，x2且x1＜x2，則x2－x1＞0，f(x2)－f(x1)＝eq\f(1,x2－1)－eq\f(1,x1－1)＝eq\f(x1－1－(x2－1),(x2－1)(x1－1))＝eq\f(x1－x2,(x2－1)(x1－1)).∵x1，x2∈[3,4]，∴(x2－1)(x1－1)＞0，x1－x2＜0.∴f(x2)＜f(x1)．∴f(x)＝eq\f(1,x－1)在[3,4]上是減少的．∴f(x)的最大值為f(3)＝eq\f(1,2)，f(x)的最小值為f(4)＝eq\f(1,3).【當(dāng)堂檢測(cè)】1．A2．D解析：∵f(x)是R上的減函數(shù)，∴2a－1＜0.∴a＜eq\f(1,2).3．A解析：由圖像易知f(x)＝x2－4在區(qū)間[－2，－1]上是遞減的，故其最大值為f