經(jīng)理年平均收入風(fēng)險(xiǎn)偏好度人壽保險(xiǎn)額(統(tǒng)計(jì)回歸模型)

人壽保險(xiǎn)問(wèn)題【摘要】本文結(jié)合實(shí)際背景，經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的觀察并匯出其散點(diǎn)圖推測(cè)經(jīng)理的人壽保險(xiǎn)額只與其年均收入和風(fēng)險(xiǎn)偏好度之間分別存在著二次效應(yīng)和線性效應(yīng)。在采用混合回歸模型建立起了經(jīng)理的人壽保險(xiǎn)額與其年均收入和風(fēng)險(xiǎn)偏好度之間的函數(shù)關(guān)系式，采用最小二乘法利用MATLAB軟件的統(tǒng)計(jì)工具箱結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)對(duì)各參數(shù)的值與其置信區(qū)間進(jìn)行了估計(jì)，并很好的通過(guò)了回歸的檢驗(yàn)。在通過(guò)對(duì)原模型進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，以一預(yù)測(cè)模型各參數(shù)的置信區(qū)間不應(yīng)有零點(diǎn)作為該預(yù)測(cè)模型的可行的原則，驗(yàn)證了經(jīng)理的年均收入和風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)其人壽保險(xiǎn)額不存在交互效應(yīng)。人壽保險(xiǎn)問(wèn)題是一類統(tǒng)計(jì)回歸模型問(wèn)題，該模型是類隨機(jī)模型，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法去解決現(xiàn)實(shí)中的類似問(wèn)題。此論文通過(guò)對(duì)現(xiàn)有調(diào)查數(shù)據(jù)的分析，并用MATLAB等數(shù)學(xué)軟件畫出相應(yīng)的圖形，找出數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系（一次關(guān)系，二次關(guān)系等），建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。本文的獨(dú)特之處就是建立多個(gè)模型，對(duì)每個(gè)模型進(jìn)行分析解出結(jié)果，并分析回歸得一較優(yōu)的模型?！娟P(guān)鍵詞】：保險(xiǎn)額風(fēng)險(xiǎn)偏好度回歸系數(shù)置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)回歸方法目錄一、問(wèn)題重述-4-二、基本假設(shè)-4-三、符號(hào)說(shuō)明-5-四、問(wèn)題分析：-5-五、模型建立與求解-5-六、結(jié)果分析-14-七、參考文獻(xiàn)-14-八、附錄-14-一、問(wèn)題重述下表列出了某城市18位35歲~44歲經(jīng)理的年平均收入（千元），風(fēng)險(xiǎn)偏好度和人壽保險(xiǎn)額（千元）的數(shù)據(jù)，其中風(fēng)險(xiǎn)偏好度是根據(jù)發(fā)給每個(gè)經(jīng)理的問(wèn)卷調(diào)查表綜合評(píng)估得到的，它的數(shù)值越大，就越偏愛(ài)高風(fēng)險(xiǎn)。研究人員想研究此年齡段中的經(jīng)理所投保的人壽保險(xiǎn)額與年均收入及風(fēng)險(xiǎn)偏好度之間的關(guān)系。研究者預(yù)計(jì)，經(jīng)理的年均收入和人壽保險(xiǎn)額之間存在著二次關(guān)系，并有把握地認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額有線性效應(yīng)，但對(duì)風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額是否有二次效應(yīng)以及兩個(gè)自變量是否對(duì)人壽保險(xiǎn)額有交互效應(yīng)，心中沒(méi)底。請(qǐng)你通過(guò)表中的數(shù)據(jù)來(lái)建立一個(gè)合適的回歸模型，驗(yàn)證上面的看法，并給出進(jìn)一步的分析。表一序號(hào)yx1x2119666.290726340.9645325272.9961048445.0106512657.204461426.852574938.122484935.8406926675.7969104937.40851110554.3762129846.1867137746.1304141430.3663155639.06051624579.38011713352.76681813355.9166二、基本假設(shè)（1）風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額有二次效應(yīng)；(2)風(fēng)險(xiǎn)偏好度和經(jīng)理年平均收入對(duì)人壽保險(xiǎn)額有交互效應(yīng)。三、符號(hào)說(shuō)明——人壽保險(xiǎn)額——經(jīng)理的年平均收入——風(fēng)險(xiǎn)偏好度——回歸系數(shù)（=0、1、2、3,4）——隨機(jī)誤差——回歸方程的決定系數(shù)——統(tǒng)計(jì)量值——與統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的概率值四、問(wèn)題分析：在現(xiàn)實(shí)生活中，35歲~44歲之間的經(jīng)理很關(guān)心他們的人壽保險(xiǎn)額跟風(fēng)險(xiǎn)偏好度和年平均收入有怎樣的關(guān)系，本問(wèn)題研究的是35歲~44歲經(jīng)理的年平均收入與風(fēng)險(xiǎn)偏好度和人壽保險(xiǎn)額之間的關(guān)系，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)人壽保險(xiǎn)額受經(jīng)理的年平均收入與風(fēng)險(xiǎn)偏好度的影響，依次來(lái)研究它們之間的關(guān)系。五、模型建立與求解基于上面的分析，我們利用x1和x2來(lái)建立y的預(yù)測(cè)模型?；灸Ｐ?通過(guò)大概的分析并根據(jù)題意得y與x1和x2的關(guān)系，利用表一的數(shù)據(jù)分別作出了y與x1和x2的散點(diǎn)圖（如下圖所示）。圖一（y對(duì)x1的散點(diǎn)圖）圖二（y對(duì)x2的散點(diǎn)圖）又由基本假設(shè)可知y與x2的關(guān)系，利用表一的數(shù)據(jù)分別作出了y與x2的散點(diǎn)圖（如下圖所示）。圖三（y對(duì)x2的散點(diǎn)圖）通過(guò)圖一我們發(fā)現(xiàn)，隨著x1的增長(zhǎng)，y有明顯向上彎曲增加的趨勢(shì)，圖中的曲線可以用二次函數(shù)模型y=β0+β1x1+β2x12+ε（1）擬合的（其中ε是隨機(jī)誤差）。而在圖二中，當(dāng)x2的增大時(shí)，y有明顯增長(zhǎng)趨勢(shì)，圖中的直線用線性模型y=β0+β1x2+β2x22+ε（2）擬合的（其中ε是隨機(jī)誤差）。綜合以上的分析，結(jié)合模型（1）和（2）建立如下模型y=β0+β1x1+β2x2+β3x12+β4x22+ε（3）（3）式右端的x1和x2稱為回歸變量（自變量），β0+β1x1+β2x2+β3x12+β4x22是給定經(jīng)理的年平均收入x1、風(fēng)險(xiǎn)偏好度x2時(shí)，人壽保險(xiǎn)額y的平均值，其中的參數(shù)β0，β1，β2，β3，β4稱為回歸系數(shù)，由表1的數(shù)據(jù)估計(jì)，影響y的其他因素作用都包含在隨機(jī)誤差ε中，如果模型選擇得合適，ε應(yīng)大致服從均值為零的正態(tài)分布。模型求解：直接利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令regress求解，使用格式為：【b,bint,r,rint,stats】=regress(y,x,alpha)其中輸入y為模型（3）中y的數(shù)據(jù)（n維向量，n=30），x為對(duì)應(yīng)于回歸系β=（β0，β1，β2，β3，β4）的數(shù)據(jù)陣【1x1x2x12x22】（n×5矩陣，其中第1列為全1向量），alpha為置信水平α（缺省時(shí)α=0.05）；輸出b為β的估計(jì)值，常記做?β，bint,為b的置信區(qū)間，r為殘差向量y-x?β,rint為r的置信區(qū)間，stats為回歸模型的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，有三個(gè)值第一個(gè)是回歸方程的決定系數(shù)R2（R是相關(guān)系數(shù)），第二個(gè)是F統(tǒng)計(jì)量值，第三個(gè)是與F統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的概率值p。得到模型(3)的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信水平α=0.05），的結(jié)果見(jiàn)表2.表二參數(shù)參數(shù)估計(jì)參數(shù)置信區(qū)間β0-60.9101[-72.6072-49.2130]β10.9303[0.43891.4218]β24.4529[1.69107.2149]β30.0359[0.03100.0408]β40.1159[-0.14090.3727]R2=0.999607357642094F=8274.0026564139p<<0.05S2=3.26322882309438用模型（3）對(duì)人壽保險(xiǎn)額做預(yù)測(cè)，經(jīng)理的年平均收入x1和風(fēng)險(xiǎn)偏好度x2，表2的回歸系數(shù)給出了模型（3）中的估計(jì)值β0，β1，β2，β3，β4，即β0=-60.9101，β1=0.9303，β2=4.4529，β3=0.0359，β4=0.1159,則人壽保險(xiǎn)額的估計(jì)值y=-60.9101+0.9303x1+4.4529x2+0.0359x12+0.1159x22,與模型（3）的結(jié)果相比，與表3檢查它們的置信區(qū)間發(fā)現(xiàn)只有β4的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，表明回歸變量x12不是太顯著的，因此，β4的估計(jì)值是不可靠的，要對(duì)模型（3）進(jìn)行殘差分析，首次回歸所得圖四圖四（模型（3）進(jìn)行殘差分析）圖四存在異常數(shù)據(jù)，剔除第5數(shù)據(jù)后再次回歸，得到回歸分析圖五圖五（剔除第5個(gè)數(shù)據(jù)后進(jìn)行殘差分析）圖六（繼續(xù)剔除第3個(gè)數(shù)據(jù)后進(jìn)行殘差分析）圖七（繼續(xù)剔除第5個(gè)數(shù)據(jù)后進(jìn)行殘差分析）圖七（繼續(xù)剔除第9個(gè)和第13個(gè)數(shù)據(jù)后進(jìn)行殘差分析）結(jié)果其如表四：表四參數(shù)參數(shù)估計(jì)參數(shù)置信區(qū)間β0-63.2115[-69.8783-56.5447]β11.0999[0.83671.3630]β23.4542[1.79435.1141]β30.0340[0.03110.0368]β40.2450[0.07600.4139]R2=0.9999F=27739.0097899986p<<0.05S2=0.565703715419549在經(jīng)過(guò)幾組數(shù)據(jù)的踢出，使得模型的各估計(jì)值更為有了提升，無(wú)異常數(shù)據(jù)，該模基本可用。所以通過(guò)模型二的建立，其各計(jì)值β0=-63.2115，β1=1.0999，β2=3.4542，β3=0.0340，β4=0.2450,則其預(yù)測(cè)方程為y=-63.2115+1.0999x1+3.4542x2+0.0340x12+0.2450x22從中我們可知人壽保險(xiǎn)額y與風(fēng)險(xiǎn)偏好度x1有二次關(guān)系該模似乎可以使用了，但是為了得到人壽保險(xiǎn)額y是否與風(fēng)險(xiǎn)偏好度x1和經(jīng)理年收入x2有交互效應(yīng)，我們將對(duì)模型（3）進(jìn)行再次改進(jìn)。改進(jìn)模型II為進(jìn)一步的了解人壽保險(xiǎn)額y與經(jīng)理的年平均收入x1和風(fēng)險(xiǎn)偏好度x2是否有交互效應(yīng)。不妨簡(jiǎn)單的用x1，x2的乘積表示經(jīng)理的年平均收入x1和風(fēng)險(xiǎn)偏好度x2交互效應(yīng)，于是將模型（3）進(jìn)一步改進(jìn)得到y(tǒng)=β0+β1x1+β2x2+β3x12+β4x22+β5x1x2+ε（4）在這模型中，假設(shè)經(jīng)理的年平均收入x1和風(fēng)險(xiǎn)偏好度x2有關(guān)，下面我們通過(guò)分析作出了y跟x1，x2乘積的散點(diǎn)圖，見(jiàn)如下圖八所示：圖八利用matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令求解，得到表四的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信水平a=0.05）結(jié)果見(jiàn)表五：表五參數(shù)參數(shù)估計(jì)參數(shù)置信區(qū)間β0-65.3856[-78.7266-52.0447]β11.0172[0.52021.5141]β25.2171[2.27858.1558]β30.0358[0.03100.0406]β40.1662[-0.09560.4279]β5-0.0196[-0.05010.0109]R2=0.9997F=p<<0.05S2=3.0381用模型（3）對(duì)人壽保險(xiǎn)額做預(yù)測(cè)，經(jīng)理的年平均收入x1和風(fēng)險(xiǎn)偏好度x2，與模型（3）的結(jié)果相比，表3的回歸系數(shù)給出了模型（3）中的估計(jì)值β0，β1，β2，β3，β4，β5即β0=-65.3856，β1=1.0172，β2=5.2171，β3=0.0358，β4=0.1662,β5=-0.0196則人壽保險(xiǎn)額的預(yù)測(cè)方程為y=-65.3856+1.0172x1+5.2171x2+0.0358x22+0.1662x12-0.0196x1x2，根據(jù)表3檢查它們的置信區(qū)間發(fā)現(xiàn)有β4,β5的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，表明回歸變量x22，x1x2不是顯著的，對(duì)此不能正確判斷，需對(duì)模型（4）作殘差分析，首次進(jìn)行得到圖九圖九踢出第3,5個(gè)數(shù)據(jù)后的回歸分析圖十如下所示：圖十再出第5個(gè)數(shù)據(jù)后的回歸分析圖十一下所示：圖十一通過(guò)殘差分析得到數(shù)據(jù)如表所示：表六參數(shù)參數(shù)估計(jì)參數(shù)置信區(qū)間β0-64.7763[-72.7255-56.8270]β11.1075[0.83821.3768]β23.8722[1.79915.9454]β30.0347[0.03210.0374]β40.2917[0.09620.4871]β5-0.0160[-0.03320.0011]R2=0.9999F=20637.1319676015p<<0.05S2=0.8105通過(guò)這三次的殘差回歸分析，踢出幾組數(shù)據(jù)后，各數(shù)據(jù)都能表示人壽保險(xiǎn)額y與經(jīng)理的年平均收入x1和風(fēng)險(xiǎn)偏好度x2的關(guān)系，可通過(guò)殘差回歸分析檢查得到，最后的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)β5的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，表明回歸變量x1x2（對(duì)變量y的影響）不是太顯著地，我們將變量x1x2從模型（4）中去掉。六、結(jié)果分析模型（3）：表四顯示，p遠(yuǎn)小于α，通過(guò)殘差回歸分析，幾次數(shù)據(jù)的踢出，得到的使數(shù)據(jù)更有說(shuō)服力，模型從整體看上去還是可用的。表明人壽保險(xiǎn)額y與風(fēng)險(xiǎn)偏好度x2有二次關(guān)系；所以，模型（3）的預(yù)測(cè)方程為y=-63.2115+1.0999x1+3.4542x2+0.0340x12+0.2450x22模型（4）：表六顯示，發(fā)現(xiàn)β5的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，并通過(guò)殘差回歸分析，得到最后的數(shù)據(jù)，還是包含零點(diǎn)，得到最后的結(jié)論是去除模型（6）的變量x1x2,可知經(jīng)理的年平均收入x1和風(fēng)險(xiǎn)偏好度x2兩個(gè)自變量的交互效應(yīng)與人壽保險(xiǎn)額y沒(méi)有關(guān)系。七、參考文獻(xiàn)【1】數(shù)學(xué)模型（第三版）.姜啟源，謝金星，葉俊.北京，高等教育出版社，2023【2】MATLAB7.X程序設(shè)計(jì).王建衛(wèi)，曲中水，凌濱.北京，中國(guó)水利水電出版社，2007八、附錄模型I第一次分析：①%未踢出前的一clearclcfigure(1)x1=[66.29040.96472.99645.01057.20426.85238.12235.84075.79637.40854.37646.18646.13030.36639.06079.38052.76655.916]'x2=[7510645469527435186]'y=[19663252841261449492664910598771456245133133]'plot(x1,y,'or')xlabel('x1(元)')ylabel('y(百萬(wàn)支)')figure(2)plot(x2,y,'or')xlabel('x2(元)')ylabel('y(百萬(wàn)支)')one1=ones(18,1);x=[one1,x1,x2,x1.^2,x2.^2];alpha=0.05;[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)②%踢出3數(shù)據(jù)后clearclcx1=[66.29040.96445.01026.85238.12235.84075.79637.40854.37646.18646.13030.36639.06079.38052.76655.916]'x2=[7565469527435186]'x3=[4394.361678.052025.90721.031453.291284.515745.031399.362956.752133.152127.98922.091525.686301.182784.253126.60]';x4=[49253625163681254491692516436]';y=[19663841449492664910598771456245133133]'figure(1)plot(x1,y,'or')xlabel('x1(‘?)')ylabel('y(∞??ú÷?)')figure(2)plot(x2,y,'or')xlabel('x2(‘?)')ylabel('y(∞??ú÷?)')one1=ones(16,1);x=[one1,x1,x2,x1.^2,x2.^2];alpha=0.05;[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)rcoplot(r,rint)③%踢出5數(shù)據(jù)后clearclcx1=[66.29040.96445.01026.85235.84075.79637.40854.37646.18646.13030.36639.06079.38052.76655.916]'x2=[756569527435186]'x3=[4394.361678.052025.90721.031284.515745.031399.362956.752133.152127.98922.091525.686301.182784.253126.60]';x4=[492536253681254491692516436]';y=[196638414492664910598771456245133133]'figure(1)plot(x1,y,'or')xlabel('x1(‘?)')ylabel('y(∞??ú÷?)')figure(2)plot(x2,y,'or')xlabel('x2(‘?)')ylabel('y(∞??ú÷?)')one1=ones(15,1);x=[one1,x1,x2,x1.^2,x2.^2];alpha=0.05;[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)rcoplot(r,rint)eq\o\ac(○,4)%踢出9,13后的clearclcx1=[66.29040.96445.01026.85235.84075.79637.40854.37646.13030.36639.06052.76655.916]'x2=[7565695243586]'x3=[4394.361678.052025.90721.031284.515745.031399.362956.752127.98922.091525.682784.253126.60]';x4=[492536253681254169256436]';y=[1966384144926649105771456133133]'figure(1)plot(x1,y,'or')xlabel('x1(‘?)')ylabel('y(∞??ú÷?)')figure(2)plot(x2,y,'or')xlabel('x2(‘?)')ylabel('y(∞??ú÷?)')one1=ones(13,1);x=[one1,x1,x2,x1.^2,x2.^2];alpha=0.05;[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)rcoplot(r,rint)模型第一次回歸分析：①%踢出3,5，后的二clearclcx1=[66.29040.96445.01026.85238.1223