偏微分方程差分方法(內(nèi)容參考)

材料供借鑒材料供借鑒#第9章 偏微分方程的差分方法含有偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為偏微分方程。由于變量的增多和區(qū)域的復(fù)雜性，求偏微分方程的精確解一般是不可能的，經(jīng)常采用數(shù)值方法求方程的近似解。偏微分方程的數(shù)值方法種類較多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式簡(jiǎn)單，程序易于實(shí)現(xiàn)，計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)，特別適合于規(guī)則區(qū)域上偏微分方程的近似求解。本章將以一些典型的偏微分方程為例，介紹差分方法的基本原理和具體實(shí)現(xiàn)方法。橢圓型方程邊值問(wèn)題的差分方法差分方程的建立最典型的橢圓型方程是Poisson（泊松）方程u(2ux2

2u)f(x,y), (x,y)G （9.1）2Gx,y為分段光滑的閉曲線。當(dāng)f(x,y)≡0（9.1）稱為L(zhǎng)aplace(拉普拉斯）方程。橢圓型方程的定解條件主要有如下三種邊界條件第一邊值條件 u(x,y) （9.2）第二邊值條件

(x,y) （9.3）第三邊值條件 (uku)

(x,y) （9.4）n表示Γ和k(x,y)都是已知的函數(shù)，k(x,y)≥0。滿足方程和上述三種邊值條件之一的光滑函數(shù)u(x,y)稱為橢圓型方程邊值問(wèn)題的解。u(x,y)在區(qū)域G的一些離散節(jié)x y u x y 點(diǎn)（，）上的近似值,≈(，x y u x y i i ij i i格剖分，將偏微分方程在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上離散化，導(dǎo)出精確解在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上近似值所滿足的差分方程，最終通過(guò)求解差分方程，通常為一個(gè)線性方程組，得到精確解在離散節(jié)點(diǎn)上的近似值。設(shè)G={0<x<a,0<y<b}為矩形區(qū)域，在x,y平面上用兩組平行直線x=ih,i=0,1,…,N,h=a/N1 1 1 1y=jh,j=0,1,…,N,h=b/N2 2 2 2G剖分為網(wǎng)格區(qū)域，見(jiàn)圖9-1hxy方向的剖分步長(zhǎng)，網(wǎng)格1 2（x（G（xi i h i i i i材料供借鑒材料供借鑒#網(wǎng)格線與邊界Γ的交點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，邊界點(diǎn)集合記為Γ。hx y 現(xiàn)在將微分方程在每一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)（，x y i i iy）處，方程（9.1）為yi[2u(x,yx2 i

)2u(x,y2 i

)]f(x,yi i

), (x,yi

)Gh

（9.5）i i 需進(jìn)一步離散中的二階偏導(dǎo)數(shù)。為簡(jiǎn)化記號(hào)，簡(jiǎn)記節(jié)點(diǎn)）=(i,j)，節(jié)i i 代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在節(jié)點(diǎn)(i,j)處的離散形式其中f

f(x,y

0(h

h2u(i,jui,j i i 1 2 ij足的差分方程h2i1,ji,ji1,jh2i,jh2i1,ji,ji1,jh2i,j1i,ji,j1i,j12

1[u2u u

]f

, (i,j)Gh

（9.6）在節(jié)點(diǎn)(i,j)處方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的誤差為O(h21

h2，它關(guān)于剖2分步長(zhǎng)是二階的。這個(gè)誤差稱為差分方程逼近偏微分方程的截?cái)嗾`差，它的大小將影響近似解的精度。i在差分方程i,juiui u u u h h ,，,，,，,，因此通常稱式五點(diǎn)差分格式，當(dāng)ui u u u h h +1j i-1j ij+1 ij-1 1 2它簡(jiǎn)化為差分方程中，方程個(gè)數(shù)等于內(nèi)節(jié)點(diǎn)總數(shù)，但未知量除內(nèi)節(jié)點(diǎn)值ui,j,(i,j)∈Gh(1,ju0j要利用給定的邊值條件補(bǔ)充上邊界點(diǎn)未知量的方程。對(duì)于第一邊值條件式9.，可直接取u,α（xy，,∈Γ （9.）ij i i h對(duì)于第三=0時(shí)為第二）邊值條件式(1,j9-2,利用一階差商公式則得到邊界點(diǎn)(0,j)處的差分方程u0,j

uh1

k0,j

u0,

r0,j（9.8）聯(lián)立差分方程（9.6）與（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson方程邊值問(wèn)題的差分方程組，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于未知量{ui,j}的線性代數(shù)方程組，可采用第2，3材料供借鑒材料供借鑒#章介紹的方法進(jìn)行求解。這個(gè)方程組的解就稱為偏微分方程的差分近似解，簡(jiǎn)稱差分解。考慮更一般形式的二階橢圓型方程[

(Au)

(Bu)C

D

Eu]f(x,y), (x,y)G （9.9）x x y y x yA(x,y)≥A

>0,B(x,y)≥B

>0,E(x,y)≥0。引進(jìn)半節(jié)點(diǎn)x

x1hmin111

min

i 2

2 (Au)(i,j(Au)(i,j)1[(Au)(i1,j)(Au)(i1xxhx2x2

利用一階中心差商公式，在節(jié)點(diǎn)（i,j）處可有1i 12

2 2,1

,j)]O(h2)11 u(i1,j)u(i,j) u(i,j)u(ij) [Ah i1,j h

A1i,j 1

]O(h2)11 2 1 2 1u(i1,j)u(ij)(i,j)

O(h2)2h 11對(duì)(Bu

u類似處理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程y y y[a

ui1,j

a

ui1,j

a i,j1

i,j1

a i,j1

i,j1

ai,j

u i,j

（9.10）f(i,j), (i,j)Gh其中 ha h2(A 1C )i1,j 1

i1,j 22

i,ja h2(A hC )i1,j 1

1i1,j 2

i,jh2ha h2(B

2D )

（9.11）i,j1a

2 1i,jh2h12h2(B 12

i,jD )i,j1

2 i,j2

2 i,j1 a h2(1

A )h2(B

B )E11i,j 111

i,j i,

2 i,j

i,j

i,j2 2 2 2材料供借鑒材料供借鑒#A(x,y)=B(x,y)=1,C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0（9.9）就成為Poisson方程9.，而差分方程9.1）就成為差分方程9.6。容易看出，差分方程（9.10）的截?cái)嗾`差為O(h21

h2階。2一般區(qū)域的邊界條件處理GG件的處理?？紤]Poisson方程第一邊值問(wèn)題f(x,y), (x,y)G

(x,y), (x,y)

（9.12）其中G 可為平面上一般區(qū)域，例如為曲邊區(qū)域。仍然用兩組平行直線：x=x+ih,y=y+jh,i,j=0,±1,…,對(duì)區(qū)域G進(jìn)行矩形網(wǎng)格剖分，見(jiàn)圖9-3。0 1 0 2如果一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)（,j）的四個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)（+1,j（-1,j（,+1）和（,-1）屬于GG正則內(nèi)點(diǎn)9-3（i,j）屬于G且不為正則內(nèi)點(diǎn)，則稱其非正則內(nèi)點(diǎn)，見(jiàn)圖9-3中打號(hào)者。記正內(nèi)點(diǎn)集合為G，非正則內(nèi)點(diǎn)集合為。顯然，當(dāng)G 為矩形區(qū)域時(shí)，hGG,

h成立。h h h h在正則內(nèi)點(diǎn)（i,j）處，完全同矩形區(qū)域情形，可建立五點(diǎn)差分格式1[u u ]h2 i1,j i,j i1,j1

1[uh22

i,j

i,j

ui,j1

]

i,j

, (i,j)G （9.13）h在方程（9.13）中，當(dāng)（i在方程（9.13）中，當(dāng)（i,j）點(diǎn)臨近邊界時(shí)，將出現(xiàn)非