高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)二次型課件

高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)

二次型

2014年8月高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)

第四章二次型二次型理論的背景是解析幾何中化二次曲線和二次曲面的方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題.本章主要問(wèn)題有兩個(gè)：1)二次型矩陣和二次型的標(biāo)準(zhǔn)型2)正定二次型二次型與矩陣、行列式、以及線性方程組有緊密的聯(lián)系，可以看到他們是處理二次型問(wèn)題的工具.第四章二次型二次型理論的背景是解析幾二次型矩陣與二次型的標(biāo)準(zhǔn)型

1.1二次型及其矩陣1)定義：設(shè)P是數(shù)域,系數(shù)在數(shù)域P上的關(guān)于的二次齊次多項(xiàng)式稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型.2)二次型的矩陣表示：令二次型矩陣與二次型的標(biāo)準(zhǔn)型利用積和式可將二次型化為矩陣形式其中，矩陣滿足稱它為二次型的矩陣.積和式為：它在代數(shù)式與矩陣互化中起著重要的作用！利用積和式可將二次型化為矩陣形式注意：如果但是那么A不是二次型的矩陣.f的矩陣為1.2線性替換及矩陣的合同1)線性替換：設(shè)令稱為由到的線性替換.當(dāng)時(shí)，稱為非退化線性替換；當(dāng)C是正交矩陣時(shí)稱為正交替換.結(jié)論：非退化線性替換將二次型變?yōu)槎涡?

注意：如果但是那么A不是二次型的2)矩陣的合同：設(shè)A、B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣C使得則稱矩陣A與合同.

合同是一種等價(jià)關(guān)系，它具有三性.

合同的性質(zhì)：合同矩陣有相同的秩；

合同矩陣的行列式同號(hào).

結(jié)論：二次型經(jīng)過(guò)非退化線性替換得到的新二次型的矩陣與原二次型矩陣是合同的.1.3二次型的標(biāo)準(zhǔn)型與規(guī)范形1)二次型標(biāo)準(zhǔn)型定義：只含有平方項(xiàng)的二次型

稱為標(biāo)準(zhǔn)型.其中2)矩陣的合同：設(shè)A、B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣C使

中非零的個(gè)數(shù)即為二次型的秩.定理：數(shù)域P上的任意二次型都可經(jīng)過(guò)非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形.換一種說(shuō)法：數(shù)域P上任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)稱矩陣.注意：二次型的標(biāo)準(zhǔn)型一般不唯一！中非零的個(gè)數(shù)即為二次型的秩.2)二次型的規(guī)范形：復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上的二次型的標(biāo)準(zhǔn)型稱為規(guī)范形.a)復(fù)數(shù)域上二次型的規(guī)范形：復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可經(jīng)過(guò)非退化替換化為規(guī)范形

其中且規(guī)范形唯一.換為矩陣說(shuō)法：復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)n階對(duì)稱矩陣A都合同于唯一的n階對(duì)角矩陣復(fù)數(shù)域上兩個(gè)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是這兩個(gè)矩陣的秩相等.2)二次型的規(guī)范形：復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上的二次型的標(biāo)準(zhǔn)型稱為規(guī)范b)實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形(慣性定理)：實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可經(jīng)過(guò)非退化替換化為規(guī)范形

其中，正平方的個(gè)數(shù)p稱為二次型f的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為f的負(fù)慣性指數(shù)，稱為符合差，且p、q有二次型唯一確定.用矩陣語(yǔ)言描述為：實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)對(duì)稱矩陣A都合同于唯一的n階對(duì)角矩陣b)實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形(慣性定理)：實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)二次注意：實(shí)數(shù)域上的兩個(gè)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是這兩個(gè)矩陣有相同的秩與正慣性指數(shù).高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)[二次型]課件1.4化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法a)配方法；b)初等變換法；

設(shè)是對(duì)稱矩陣，故存在可逆矩陣使由可逆知，存在初等矩陣使得

于是1.4化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法這樣，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)所用線性變換中的系數(shù)矩陣滿足且由此可見(jiàn)，對(duì)的列和行施以相同的初等列變換和行變換，當(dāng)二次型的矩陣化為對(duì)角矩陣時(shí)，這樣，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)所單位矩陣就成了相應(yīng)的可逆線性變換的矩陣了，即單位矩陣就成了相應(yīng)的可逆線性變換的矩陣了，即c)正交變換法.正交變換法的步驟：(1)先求出矩陣A的特征值、特征向量，其中特征值就是標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù).(2)將A的屬于同一特征值的特征向量單位化正交化，然后將它們作為列向量做成矩陣T，即為正交矩陣，此時(shí)有c)正交變換法.正交變換法的步驟：題型分析:(1)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；(2)矩陣合同的應(yīng)用；(3)慣性定理的應(yīng)用.題型分析:(1)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；例1用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(1)(2)例2將化為標(biāo)準(zhǔn)型.例3用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法：對(duì)二次型做正交替換其中T為正交矩陣，得標(biāo)準(zhǔn)型

例1用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形這里是矩陣A的特征值..例4已知經(jīng)過(guò)正交變換化為求a及所做的正交變換.例5已知的秩為2，(1)求a(2)用正交變換將f化為標(biāo)準(zhǔn)型(3)求方程的解.

這里是矩陣A的特征值..例6設(shè)實(shí)二次型(1)寫出f的矩陣.(2)證明：f的秩等于矩陣

的秩.例7證明：是一個(gè)二次型，并求它的矩陣.例6設(shè)實(shí)二次型(2)矩陣合同的應(yīng)用例1證明：秩等于r的對(duì)稱矩陣可以表示成r個(gè)秩等于1的對(duì)稱矩陣之和.

例2設(shè)A是n階是對(duì)稱矩陣，A的特征值是，求B的特征值.例3反對(duì)稱矩陣的性質(zhì)(1)A是反對(duì)稱矩陣的充分必要條件是：對(duì)任意的n維向量X都有(2)A是反對(duì)稱矩陣，則A的特征值只能為零

(2)矩陣合同的應(yīng)用和純虛數(shù).(3)奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣一定不可逆.(4)證明：任意反對(duì)稱矩陣一定合同于矩陣

和純虛數(shù).

(3)慣性定理的應(yīng)用例1證明：一個(gè)實(shí)二次型可以分解為兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條件是：它的秩等于2和符號(hào)差等于0或秩等于1.例2設(shè)A為一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且證明：存在實(shí)n維列向量使得例3設(shè)是一個(gè)實(shí)二次型，若存在n維向量使得證明：(3)慣性定理的應(yīng)用例4設(shè)A是n階是對(duì)稱矩陣，證明：存在一個(gè)正實(shí)數(shù)C，使得對(duì)任意一個(gè)n維實(shí)列向量X，都有例5設(shè)n元實(shí)二次型證明f在條件下的最大值恰為A的最大特征值，并求出取得最大值時(shí)的例4設(shè)A是n階是對(duì)稱矩陣，證明：存在一個(gè)正實(shí)數(shù)C，使得對(duì)任2.正定二次型與正定矩陣

2.1有關(guān)定義：設(shè)是n元實(shí)二次型，如果對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有

則稱f為正定二次型，對(duì)應(yīng)的矩陣稱為正定矩陣.二次型正定的充分必要條件是：矩陣正定.

同樣可以定義半正定二次型；負(fù)定二次型；半負(fù)定二次型以及不定二次型.2.正定二次型與正定矩陣

2.2正定二次型與正定矩陣的判定：設(shè)n元實(shí)二次型其中,則下列條件等價(jià)：a)f是正定二次型(A是正定矩陣);b)對(duì)任意,都有c)f的正慣性指數(shù)等于n;d)A合同于單位矩陣E;即存在可逆矩陣C使得e)A的所有順序主子式都大于零;f)A的所有主子式都大于零;正定陣主對(duì)角元大于零.g)A的特征值都大于零;2.2正定二次型與正定矩陣的判定：

2.3半正定二次型(半正定矩陣)的判定：下列條件等價(jià)a)f是半正定二次型;b)對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù)c)f的正慣性指數(shù)等于A的秩;d)A合同于e)A的所有主子式都不小于零;f)A的特征值都不小于零;e)存在實(shí)矩陣P,使得

2.3半正定二次型(半正定矩陣)的判定：

正定矩陣的性質(zhì)：(1)正定矩陣主對(duì)角線上的元素全部大于0，正定矩陣的行列式大于零.(2)A正定，則也正定.(3)則也正定.(4)若正定，且則正定.(5)設(shè)A為矩陣，若那么是正定的.特別，當(dāng)A可逆時(shí)，是正定的.

正定矩陣的性質(zhì)：當(dāng)那么是半正定的.題型分析：(1)二次型正定性的判別例1判別二次型的正定性a)b)例2設(shè)

當(dāng)滿足什么條件，f是正定的.例3設(shè)A,B分別是m,n階正定矩陣，試判別矩陣當(dāng)那么是半正定的.

的正定性.例4設(shè)A為m階正定矩陣，B為實(shí)矩陣，證明：

正定的充分必要條件為B是列滿秩的.題型(2)二次型（矩陣）正定性質(zhì)的應(yīng)用主要應(yīng)用結(jié)論：A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交陣T使得

的正定性.例1設(shè)A,B是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A正定，證明：存在一個(gè)實(shí)可逆矩陣T，使得同時(shí)為對(duì)角矩陣.例2設(shè)A是n階正定矩陣，證明：例3設(shè)A,B都是n階正定矩陣，證明：例4設(shè)A,B都正定，證明：1)方程的根都大于零.2)方程的所有根等于1的充分必要條件是A=B.例1設(shè)A,B是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A正定，證明：存在一個(gè)實(shí)可逆例6若B是正定矩陣，A-B半正定，證明：1)的所有根都大于等于1.

2)題型(3)與對(duì)稱矩陣特征值范圍有關(guān)的問(wèn)題例1設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：t充分大時(shí)，tE+A正定.例2證明：實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值均在閉區(qū)間

上，則對(duì)稱矩陣A-tE當(dāng)t>b時(shí)負(fù)定；當(dāng)t<a

例6若B是正定矩陣，A-B半正定，證明：時(shí)正定.例3設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值全大于a，實(shí)對(duì)稱矩陣B的特征值全大于b，證明：A+B的特征值全大于a+b.例4設(shè)A是n階實(shí)矩陣，B的特征值為

證明：若是A的實(shí)特征值，則

時(shí)正定.題型(4)綜合題例1證明：矩陣A是n階正定矩陣的充分必要條件是存在n階正定矩陣B使得例2設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若A是正定矩陣又是正交矩陣，則A=E.例3證明：1)如果A為正定矩陣，那么

是負(fù)定二次型.2)如果A是正定矩陣，那么是A的n-1階順序主子式.

題型(4)綜合題3)上式推廣為4)如果是n階實(shí)可逆矩陣，那么3)上式推廣為高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)

二次型

2014年8月高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)

第四章二次型二次型理論的背景是解析幾何中化二次曲線和二次曲面的方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題.本章主要問(wèn)題有兩個(gè)：1)二次型矩陣和二次型的標(biāo)準(zhǔn)型2)正定二次型二次型與矩陣、行列式、以及線性方程組有緊密的聯(lián)系，可以看到他們是處理二次型問(wèn)題的工具.第四章二次型二次型理論的背景是解析幾二次型矩陣與二次型的標(biāo)準(zhǔn)型

1.1二次型及其矩陣1)定義：設(shè)P是數(shù)域,系數(shù)在數(shù)域P上的關(guān)于的二次齊次多項(xiàng)式稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型.2)二次型的矩陣表示：令二次型矩陣與二次型的標(biāo)準(zhǔn)型利用積和式可將二次型化為矩陣形式其中，矩陣滿足稱它為二次型的矩陣.積和式為：它在代數(shù)式與矩陣互化中起著重要的作用！利用積和式可將二次型化為矩陣形式注意：如果但是那么A不是二次型的矩陣.f的矩陣為1.2線性替換及矩陣的合同1)線性替換：設(shè)令稱為由到的線性替換.當(dāng)時(shí)，稱為非退化線性替換；當(dāng)C是正交矩陣時(shí)稱為正交替換.結(jié)論：非退化線性替換將二次型變?yōu)槎涡?

注意：如果但是那么A不是二次型的2)矩陣的合同：設(shè)A、B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣C使得則稱矩陣A與合同.

合同是一種等價(jià)關(guān)系，它具有三性.

合同的性質(zhì)：合同矩陣有相同的秩；

合同矩陣的行列式同號(hào).

結(jié)論：二次型經(jīng)過(guò)非退化線性替換得到的新二次型的矩陣與原二次型矩陣是合同的.1.3二次型的標(biāo)準(zhǔn)型與規(guī)范形1)二次型標(biāo)準(zhǔn)型定義：只含有平方項(xiàng)的二次型

稱為標(biāo)準(zhǔn)型.其中2)矩陣的合同：設(shè)A、B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣C使

中非零的個(gè)數(shù)即為二次型的秩.定理：數(shù)域P上的任意二次型都可經(jīng)過(guò)非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形.換一種說(shuō)法：數(shù)域P上任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)稱矩陣.注意：二次型的標(biāo)準(zhǔn)型一般不唯一！中非零的個(gè)數(shù)即為二次型的秩.2)二次型的規(guī)范形：復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上的二次型的標(biāo)準(zhǔn)型稱為規(guī)范形.a)復(fù)數(shù)域上二次型的規(guī)范形：復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可經(jīng)過(guò)非退化替換化為規(guī)范形

其中且規(guī)范形唯一.換為矩陣說(shuō)法：復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)n階對(duì)稱矩陣A都合同于唯一的n階對(duì)角矩陣復(fù)數(shù)域上兩個(gè)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是這兩個(gè)矩陣的秩相等.2)二次型的規(guī)范形：復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上的二次型的標(biāo)準(zhǔn)型稱為規(guī)范b)實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形(慣性定理)：實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可經(jīng)過(guò)非退化替換化為規(guī)范形

其中，正平方的個(gè)數(shù)p稱為二次型f的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為f的負(fù)慣性指數(shù)，稱為符合差，且p、q有二次型唯一確定.用矩陣語(yǔ)言描述為：實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)對(duì)稱矩陣A都合同于唯一的n階對(duì)角矩陣b)實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形(慣性定理)：實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)二次注意：實(shí)數(shù)域上的兩個(gè)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是這兩個(gè)矩陣有相同的秩與正慣性指數(shù).高等代數(shù)考研復(fù)習(xí)[二次型]課件1.4化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法a)配方法；b)初等變換法；

設(shè)是對(duì)稱矩陣，故存在可逆矩陣使由可逆知，存在初等矩陣使得

于是1.4化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法這樣，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)所用線性變換中的系數(shù)矩陣滿足且由此可見(jiàn)，對(duì)的列和行施以相同的初等列變換和行變換，當(dāng)二次型的矩陣化為對(duì)角矩陣時(shí)，這樣，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)所單位矩陣就成了相應(yīng)的可逆線性變換的矩陣了，即單位矩陣就成了相應(yīng)的可逆線性變換的矩陣了，即c)正交變換法.正交變換法的步驟：(1)先求出矩陣A的特征值、特征向量，其中特征值就是標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù).(2)將A的屬于同一特征值的特征向量單位化正交化，然后將它們作為列向量做成矩陣T，即為正交矩陣，此時(shí)有c)正交變換法.正交變換法的步驟：題型分析:(1)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；(2)矩陣合同的應(yīng)用；(3)慣性定理的應(yīng)用.題型分析:(1)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；例1用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(1)(2)例2將化為標(biāo)準(zhǔn)型.例3用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法：對(duì)二次型做正交替換其中T為正交矩陣，得標(biāo)準(zhǔn)型

例1用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形這里是矩陣A的特征值..例4已知經(jīng)過(guò)正交變換化為求a及所做的正交變換.例5已知的秩為2，(1)求a(2)用正交變換將f化為標(biāo)準(zhǔn)型(3)求方程的解.

這里是矩陣A的特征值..例6設(shè)實(shí)二次型(1)寫出f的矩陣.(2)證明：f的秩等于矩陣

的秩.例7證明：是一個(gè)二次型，并求它的矩陣.例6設(shè)實(shí)二次型(2)矩陣合同的應(yīng)用例1證明：秩等于r的對(duì)稱矩陣可以表示成r個(gè)秩等于1的對(duì)稱矩陣之和.

例2設(shè)A是n階是對(duì)稱矩陣，A的特征值是，求B的特征值.例3反對(duì)稱矩陣的性質(zhì)(1)A是反對(duì)稱矩陣的充分必要條件是：對(duì)任意的n維向量X都有(2)A是反對(duì)稱矩陣，則A的特征值只能為零

(2)矩陣合同的應(yīng)用和純虛數(shù).(3)奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣一定不可逆.(4)證明：任意反對(duì)稱矩陣一定合同于矩陣

和純虛數(shù).

(3)慣性定理的應(yīng)用例1證明：一個(gè)實(shí)二次型可以分解為兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條件是：它的秩等于2和符號(hào)差等于0或秩等于1.例2設(shè)A為一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且證明：存在實(shí)n維列向量使得例3設(shè)是一個(gè)實(shí)二次型，若存在n維向量使得證明：(3)慣性定理的應(yīng)用例4設(shè)A是n階是對(duì)稱矩陣，證明：存在一個(gè)正實(shí)數(shù)C，使得對(duì)任意一個(gè)n維實(shí)列向量X，都有例5設(shè)n元實(shí)二次型證明f在條件下的最大值恰為A的最大特征值，并求出取得最大值時(shí)的例4設(shè)A是n階是對(duì)稱矩陣，證明：存在一個(gè)正實(shí)數(shù)C，使得對(duì)任2.正定二次型與正定矩陣

2.1有關(guān)定義：設(shè)是n元實(shí)二次型，如果對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有

則稱f為正定二次型，對(duì)應(yīng)的矩陣稱為正定矩陣.二次型正定的充分必要條件是：矩陣正定.

同樣可以定義半正定二次型；負(fù)定二次型；半負(fù)定二次型以及不定二次型.2.正定二次型與正定矩陣

2.2正定二次型與正定矩陣的判定：設(shè)n元實(shí)二次型其中,則下列條件等價(jià)：a)f是正定二次型(A是正定矩陣);b)對(duì)任意,都有c)f的正慣性指數(shù)等于n;d)A合同于單位矩陣E;即存在可逆矩陣C使得e)A的所有順序主子式都大于零;f)A的所有主子式都大于零;正定陣主對(duì)角元大于零.g)A的特征值都大于零;2.2正定二次型與正定矩陣的判定：

2.3半正定二次型(半正定矩陣)的判定：下列條件等價(jià)a)f是半正定二次型;b)對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù)c)f的正慣性指數(shù)等于A的秩;d)A合同于e)A的所有主子式都不小于零;f)A的特征值都不小于零;e)存在實(shí)矩陣P,使得

2.3半正定二次型(半正定矩陣)的判定：

正定矩陣的性質(zhì)：(1)正定矩陣主對(duì)角線上的元素全部大于0，正定矩陣的行列式大于零.(2)A正定，則也正定.(3)則也正定.(4)若正定，且則正定.(5)設(shè)A為矩陣，若那么是正定的.特別，當(dāng)A可逆時(shí)，是正定的.

正定矩陣的性質(zhì)：當(dāng)那么是半正定的.題型分析：(1)二次型正定性的判別例1判別二次型的正定性a)b)