隨機(jī)性模型與模擬方法-Read課件

隨機(jī)性模型與模擬方法隨機(jī)性模型與模擬方法1

隨機(jī)變量

蒙特卡羅方法

隨機(jī)數(shù)的生成

模擬隨機(jī)變量2一、隨機(jī)變量何謂隨機(jī)變量？隨機(jī)變量是一個(gè)其值不可預(yù)測(cè)的變量。雖然一個(gè)隨機(jī)變量在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果不確定，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果是具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。正是隨機(jī)變量的這種規(guī)律性使我們可以利用它來(lái)建模。例如我們可以利用下述的數(shù)據(jù)：得出一個(gè)模型。時(shí)間t（秒）0123456789變量X1022120102一、隨機(jī)變量何謂隨機(jī)變量？隨機(jī)變量是一個(gè)其值不可預(yù)測(cè)的3是一個(gè)離散的隨機(jī)變量并取值于0，1和2。我們不可能給出與的確定的關(guān)系式，但是可以通過(guò)數(shù)的不同值出現(xiàn)次數(shù)來(lái)描述這隨機(jī)型的規(guī)律列表如下：這個(gè)表給出了隨機(jī)變量的變化規(guī)律，頻率告訴某個(gè)特定的事件發(fā)生的頻繁程度。如果我們需要構(gòu)造一個(gè)含有隨機(jī)變量的模型，可以假設(shè)這個(gè)規(guī)律總是成立的，模型的假設(shè)可以基于這幾個(gè)數(shù)據(jù)之上。實(shí)際操作時(shí)可以把頻率分布當(dāng)作概率函數(shù)來(lái)處理，但應(yīng)注意概率是頻率的極限值，這兩者是有差異的。在處理一個(gè)簡(jiǎn)單的理論模型時(shí)，對(duì)概率函數(shù)012頻數(shù)334頻率0.30.30.4是一個(gè)離散的隨機(jī)變量并取值于0，1和2。我們不可能給4必須作出合適的選擇。例如，假設(shè)在上述問(wèn)題中的隨機(jī)變量取三個(gè)值時(shí)等于可能的，這樣其概率函數(shù)為這個(gè)例子說(shuō)明在處理隨機(jī)變量的模型時(shí)有以下兩種選擇：（1）使用一個(gè)理論模型。這在任何一本概率統(tǒng)計(jì)的書(shū)上都可以找到一些標(biāo)準(zhǔn)的理論模型如二項(xiàng)分布等。每一個(gè)都基于一定的假設(shè)之下成立的，所以在選用時(shí)要特別注意其假設(shè)條件。（2）使用基于實(shí)際數(shù)據(jù)的頻率表，并不去套用不準(zhǔn)理論模型。012必須作出合適的選擇。例如，假設(shè)在上述問(wèn)題中的隨機(jī)變量取三個(gè)值5使用前者的好處在于能精確地?cái)⑹鲎兞康母怕?，在處理?wèn)題時(shí)可以充分發(fā)揮數(shù)理統(tǒng)計(jì)的作用。但這一好處把所求模式制約在了處理簡(jiǎn)單情形。隨著復(fù)雜性的增加，數(shù)學(xué)就變的太難。使用后者的好處在于模型時(shí)基于觀測(cè)到的數(shù)據(jù)而不是基于假設(shè)之上。增加復(fù)雜性并不成為一大障礙，但我們不再能利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)而得求助于模擬以及模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。在建立隨機(jī)性模型時(shí)，首先要注意，將要處理的是離散還是連續(xù)的隨機(jī)變量。1、離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量的理論模型是由概率函數(shù)來(lái)刻畫(huà)的。這個(gè)式子說(shuō)明隨機(jī)變量取值時(shí)的概率。對(duì)于離散型的隨機(jī)變量有下面三種重要的分布使用前者的好處在于能精確地?cái)⑹鲎兞康母怕?，在處理?wèn)題時(shí)可以充6（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量只可能取0、1兩個(gè)值，它的分布規(guī)律是

則稱(chēng)服從（0－1）分布。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即，我們總能在上定義一個(gè)服從（0－1）分布的隨機(jī)變量來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。例如，對(duì)新生兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格等都可以用（0－1）分布的隨機(jī)變量來(lái)描述。（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量只可能取0、1兩個(gè)7（2）二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，將獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行次，則稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為重貝努利實(shí)驗(yàn)。它是一重和重要的數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的應(yīng)用。若用表示重貝努利實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從如下的二項(xiàng)分布

特別，當(dāng)時(shí)二項(xiàng)分布就是（0－1）分布。（2）二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，將8（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為而取各個(gè)值的概率為

其中，是常數(shù)，則稱(chēng)服從參數(shù)為的泊松分布?？梢宰C明當(dāng)很小時(shí)，以為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)時(shí)趨于以為參數(shù)的泊松分布，其中（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為92、連續(xù)的隨機(jī)變量理論模型的連續(xù)型隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù)來(lái)描述，對(duì)所有的存在，且，隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率可由來(lái)給出，在連續(xù)型隨機(jī)變量中下述兩種是重要的。2、連續(xù)的隨機(jī)變量理論模型的連續(xù)型隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù)10(1)均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量具有概率密度則稱(chēng)在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布。在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布的隨機(jī)變量，具有下述意義的等可能性，即它落在區(qū)間（a，b）中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的，或者說(shuō)它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴(lài)于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。（2）正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為其中為常數(shù)，則稱(chēng)服從參數(shù)為的(1)均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量具有概率密度11正態(tài)分布。連續(xù)型隨機(jī)變量的值如同離散的一樣可以用頻率表給出，但不同的是離散的隨機(jī)變量每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量的一個(gè)值，而對(duì)于隨機(jī)變量每一個(gè)頻率對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量的一個(gè)取值范圍。正態(tài)分布。12二、蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是計(jì)算模擬的基礎(chǔ)，其名字來(lái)源于世界著名的賭城——摩納哥的蒙特卡羅。其思想來(lái)源于著名的蒲豐投針問(wèn)題。1777年法國(guó)科學(xué)家蒲豐提出了下述著名問(wèn)題：平面上畫(huà)有等距離的一些平行線，取一根長(zhǎng)度為的針，隨機(jī)地向有平行線的平面上擲去，求針與平行線相交的概率。我們用幾何概型來(lái)解決這一問(wèn)題。設(shè)M為針落下后的中點(diǎn)，表示中點(diǎn)M到最近一條平行線的距離，表示針于平行線的交角，如圖2.18所示。那么基本時(shí)間區(qū)域二、蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是計(jì)算模擬的基礎(chǔ)，其名字來(lái)源于世13圖2.18圖2.1814它為平面上的一個(gè)矩形，其面積為。為使針與平行線（與最后的一條平行線）相交，其充要條件是

的面積為，這樣針與平行線相交的概率為

設(shè)一共投擲次（是一個(gè)事先選好的相當(dāng)大的自然數(shù)），觀察到針和直線相交的次數(shù)為。它為平面上的一個(gè)矩形，其面積為15從上式我們看到，當(dāng)比值不變時(shí)，值始終不變。取為的近似值，我們可以算出的近似值?？梢韵胂螽?dāng)投擲次數(shù)越來(lái)越多時(shí)計(jì)算的結(jié)果就越來(lái)越準(zhǔn)確。下表時(shí)這些實(shí)驗(yàn)的有關(guān)資料(此處把折算為1）：實(shí)驗(yàn)者年份針長(zhǎng)投擲次數(shù)相交次數(shù)的實(shí)驗(yàn)值pulf18500.8500025323.1596Smith18550.632041218.53.1554DeMorggenC18601.0600382.53.137Fox18840.7510304893.1595Lazzerini19010.83340818083.141592Reina19250.541925208593.1795從上式我們看到，當(dāng)比值不變時(shí)，16由此可以看出蒙特卡羅方法的基本步驟：首先，建立一個(gè)概率模型，使它的某個(gè)參數(shù)等于問(wèn)題的解。然后按照假設(shè)的分布，對(duì)隨機(jī)變量選出具體的值（這一過(guò)程又叫著抽樣），從而構(gòu)造出一個(gè)確定性的模型，計(jì)算出結(jié)果。再通過(guò)幾次抽樣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，的到參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，最終算出解的近似值。蒙特卡羅方法主要用再難以定量分析的概率模型，這種模型一般的不到解析的結(jié)果，或雖然又解析結(jié)果，但計(jì)算代價(jià)太大以至不可用。也可以用在算不出解析結(jié)果的定性模型中。用蒙特卡羅方法解題，需要根據(jù)隨機(jī)變量遵循的分布規(guī)律選出具體的至，即抽樣。隨機(jī)變量的抽樣方法很多，不同的分布采用的方法不盡相同。在計(jì)算機(jī)上的各種分布的隨機(jī)數(shù)事實(shí)上都是按照一定的確定性方法產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)。由此可以看出蒙特卡羅方法的基本步驟：首先，建立一個(gè)概率17三、隨機(jī)數(shù)的生成我們知道對(duì)于丟硬幣的隨機(jī)結(jié)果可以用以下的離散隨機(jī)變量的改里函數(shù)來(lái)描述

如果我們需要模擬隨機(jī)變量的以個(gè)值或一個(gè)集合，可以用丟硬幣然后記錄其其結(jié)果的方法來(lái)得到，然而這具又相當(dāng)?shù)木窒扌?，這里我們用數(shù)學(xué)程序來(lái)產(chǎn)生擬隨機(jī)變量。即看上去是隨機(jī)出現(xiàn)的，但并非真正的隨家便朗，它們產(chǎn)生于一個(gè)梯推公式。不過(guò)這些擬隨機(jī)數(shù)并沒(méi)有明顯的規(guī)律，當(dāng)給于適當(dāng)?shù)纳炜s之后，它們非常接近于在區(qū)間的均勻分布。X01P(x)0.50.5三、隨機(jī)數(shù)的生成我們知道對(duì)于丟硬幣的隨機(jī)結(jié)果可以用以下的離散18這種方法的思想是，設(shè)計(jì)一個(gè)把和之間的整數(shù)映射到它們自身上的函數(shù)，然后從開(kāi)始，依次計(jì)算例如通過(guò)下面的公式可以產(chǎn)生這樣的一組隨機(jī)變量給定任意一個(gè)初值，如代入公式得，然后用去除得；同樣代入公式，可以得，重復(fù)這一過(guò)程可以得到我們所需要的一組隨機(jī)變量。在程序設(shè)計(jì)和軟件包中通常用來(lái)表示由這樣，我們用它來(lái)表示從上的均勻分布所產(chǎn)生的隨機(jī)變量。這種方法的思想是，設(shè)計(jì)一個(gè)把和之間的整數(shù)映射到19我們可以從它構(gòu)造出另外的隨機(jī)變量。例如，可以從給出區(qū)間上的連續(xù)均勻分布的隨機(jī)變量。如果我們要生成帶參數(shù)的指數(shù)分布，可以用。如果我們要生成平均值未零，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，可以用下列公式和

來(lái)給出的兩個(gè)值，令或可以生成型的正態(tài)分布。我們可以從它構(gòu)造出另外的隨機(jī)變量。例如，可以從20為了得到離散的隨機(jī)變量，我們把分成若干部分。例如設(shè)計(jì)一個(gè)離散的隨機(jī)變量有下列的概率函數(shù)。取一個(gè)RND值：如果，則；如果，則；如果，則。對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)變量除了取生成的隨機(jī)變量是每類(lèi)的中點(diǎn)外，我們可以用同樣的思想進(jìn)行列表分類(lèi)。如

0120.30.30.40-1010-1515-20頻率0.20.50.3為了得到離散的隨機(jī)變量，我們把分成若21的一個(gè)值將平移到。一個(gè)更細(xì)致的方法是用線性插值而不是取中點(diǎn)，即

給出。從已知的模擬一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的理論分布，可以用以下方法：

的一個(gè)值將平移到22（1）逆累積分布函數(shù)法如果隨機(jī)變量的是，則累積分布函數(shù)是。如果把它作為一個(gè)隨機(jī)變量，是上的均勻分布。從上的均勻分布取一個(gè)值，解方程得對(duì)應(yīng)得的值，例如，設(shè)

累積分布函數(shù)為解得。這就是我們所要的由這個(gè)分布所生成的的值（1）逆累積分布函數(shù)法如果隨機(jī)變量的23(2)排除法對(duì)于這種方法我們需要用兩個(gè)值來(lái)生成一個(gè)值。設(shè)的值在區(qū)間外為，而的最大值是。我們可以通過(guò)如下的步驟生成的值。從上的均勻分布生成和；用計(jì)算；計(jì)算；用算出；如果，則接受，否則排除回到。對(duì)于上面的例子，我們?nèi)?2)排除法對(duì)于這種方法我們需要用兩個(gè)24四、模擬模擬是現(xiàn)象的模型所產(chǎn)生的再現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)模擬就是用模型使現(xiàn)象再現(xiàn)。因此，表示現(xiàn)象的部分或總體的基本方程和表示自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型全是數(shù)學(xué)模擬。然而，狹義地講主要指的是數(shù)字模擬。它是將復(fù)雜現(xiàn)象作出可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)表達(dá)的數(shù)學(xué)模型，從數(shù)值上進(jìn)行各種實(shí)驗(yàn)。各種方法隨著計(jì)算機(jī)的進(jìn)步已廣泛地應(yīng)用起來(lái)。因此我們所說(shuō)的模擬主要是指數(shù)學(xué)模擬。四、模擬模擬是現(xiàn)象的模型所產(chǎn)生的再現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)模擬就是用模型25例2.18一列火車(chē)大約在下午1點(diǎn)離開(kāi)站其規(guī)律如下；火車(chē)從到途中所需要的平均時(shí)間為分，由分鐘的標(biāo)準(zhǔn)差。如果你要趕的是這趟火車(chē)的下一站,而你到達(dá)的站的時(shí)間分布為問(wèn)你能趕上這列火車(chē)的概率是多少？離站時(shí)間13.0013.0513.10概率0.70.20.1時(shí)間13.2813.3013.3213.34概率0.30.40.20.1例2.18一列火車(chē)大約在下午1點(diǎn)離開(kāi)站其規(guī)律如26為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們需要一些隨機(jī)數(shù)。這里我們將采用上面給出的那些隨機(jī)數(shù)，即等。而我們所要模擬的是火車(chē)離站的時(shí)間；火車(chē)途中的時(shí)間；你到達(dá)車(chē)站的時(shí)間。這樣你趕上火車(chē)的條件是。為模擬這個(gè)問(wèn)題只需要生成，和的值，然后檢驗(yàn)這條件。但如何得到的值是不明顯的，因并不知道這個(gè)分布。這樣，假設(shè)一個(gè)模型，取平均值為30，標(biāo)準(zhǔn)差為2的正態(tài)分布，由所給的條件知，為離散的，而為連續(xù)的隨機(jī)變量。為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們需要一些隨機(jī)數(shù)。這里我們將采用上面給出27以分為時(shí)間單位，從的下午以點(diǎn)起算，構(gòu)造的模型如下其中。計(jì)算結(jié)果為，和，這樣。在這種場(chǎng)合你比火車(chē)提前到達(dá)4分鐘。但需要指出，這并不是說(shuō)我們已經(jīng)回答了這個(gè)問(wèn)題，要回答這個(gè)問(wèn)題我們要作多次這樣的模擬，記下這些結(jié)果，算出能趕上火車(chē)的頻率。通過(guò)足夠多次的模擬之后我們就可以看出能趕上火車(chē)的概率。以分為時(shí)間單位，從的下午以點(diǎn)起算，構(gòu)造的模28一般用在模擬建模時(shí)，一次模擬的成功并不能說(shuō)明什么問(wèn)題，更不能說(shuō)我們的主要工作已經(jīng)完成。你必須多次的進(jìn)行模擬，然后分析其結(jié)果。分析的種類(lèi)要看模型的對(duì)象，而這在模擬的一開(kāi)始就應(yīng)該清楚的。在實(shí)驗(yàn)的模擬模型的對(duì)象是在變化的，但常常包括一下幾種：對(duì)系統(tǒng)的長(zhǎng)期性態(tài)作出統(tǒng)計(jì)；比較系統(tǒng)的可選擇對(duì)象的安排；研究參數(shù)變化的影響；研究模型假設(shè)的影響；找出系統(tǒng)最優(yōu)方案；上面的例子是相當(dāng)平凡的，根本不能作為用模擬解決問(wèn)題的例子。下面我們僅舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子以理順模擬模型的思路。一般用在模擬建模時(shí)，一次模擬的成功并不能說(shuō)明什么問(wèn)題29例2.19某個(gè)理發(fā)店中有兩名理發(fā)員和，顧客隨機(jī)地來(lái)理發(fā)，據(jù)統(tǒng)計(jì)的顧客僅需要剪發(fā)，化時(shí)分鐘；而有的顧客即需要剪又需要又需要吹風(fēng)，許花時(shí)分。對(duì)任意一個(gè)模擬，首先要作的是找出能完全描述任意時(shí)刻的系統(tǒng)的狀態(tài)變量的集合。給出能從時(shí)刻的狀態(tài)變量算出時(shí)刻的新的狀態(tài)變量的程序。這個(gè)例子中有三個(gè)狀態(tài)變量：在等待的顧客的人輸（離散的非負(fù)整數(shù)）；是否正在工作（是或否）；是否正在工作（是或否）。例2.19某個(gè)理發(fā)店中有兩名理發(fā)員和30一次模擬式由始于，結(jié)束于的狀態(tài)變量的值的一系列演算組成的。一個(gè)事件是時(shí)間中的一點(diǎn)，在這個(gè)時(shí)刻一個(gè)隨機(jī)變量改變了它的值。在這個(gè)例子中的事件有:一個(gè)顧客到達(dá)；開(kāi)始服務(wù)；結(jié)束服務(wù)；開(kāi)始服務(wù)；結(jié)束服務(wù)。一個(gè)元素是一個(gè)離散，或者是系統(tǒng)的長(zhǎng)期部分，或者是進(jìn)入和離開(kāi)，這里的元素是顧客和兩個(gè)理發(fā)員。對(duì)研究一個(gè)模擬模型來(lái)說(shuō)，有兩種程序類(lèi)型：（1）時(shí)間切片考察狀態(tài)變量和在時(shí)間切片中（通常是等時(shí)間的切片）元素的位置。在每一個(gè)時(shí)間切片中狀態(tài)變量可變可不變。一次模擬式由始于，結(jié)束于31（2）事件序列考察在每一事件的系統(tǒng)，并不考慮時(shí)間之間的時(shí)間。這兩種途徑我們有時(shí)稱(chēng)為“時(shí)間傳動(dòng)”和“事件傳動(dòng)”模型。一般我們用時(shí)間傳動(dòng)模型于連續(xù)的的確定型系統(tǒng)，事件傳動(dòng)模型于離散的概率模型，但這不時(shí)絕對(duì)。在這個(gè)例子中我們將用“事件傳動(dòng)”。對(duì)于時(shí)間切片模型，我們必須決定時(shí)間切片的大小，為簡(jiǎn)單計(jì)我們將取分鐘。問(wèn)題的描述并不包括任何有關(guān)顧客到達(dá)率的信息。假設(shè)在任何一分鐘顧客到達(dá)的概率是。實(shí)際上有兩種不同類(lèi)型的顧客，取決于是否要吹風(fēng)。我們通過(guò)取服務(wù)時(shí)間的平均值，即分，構(gòu)造一個(gè)粗糙的模型。（2）事件序列考察在每一事件的系統(tǒng)，并不考32為了描述一個(gè)顧客是否到來(lái)這個(gè)隨機(jī)變量，我們用一個(gè)硬幣將作為一個(gè)隨機(jī)數(shù)的生成器，用表示反面，表示正面。設(shè)扔出的序列是。用表示一個(gè)顧客到達(dá)，且取初始狀態(tài)為顧客，運(yùn)行前分鐘，就有下表的結(jié)果：時(shí)間（分）到達(dá)？A在工作B在工作排隊(duì)0否否否01是是否02否是否03是是是04是是是05否是是0為了描述一個(gè)顧客是否到來(lái)這個(gè)隨機(jī)變量，我們用一個(gè)硬33到這里，人們將要為我們希望知道什么。通常我們感興趣的是平均隊(duì)伍的長(zhǎng)度，最長(zhǎng)的隊(duì)伍，顧客等待的平均時(shí)間以及兩個(gè)理發(fā)員的忙閑程度等，注意到這里有兩種不同的平均，即一個(gè)是關(guān)于時(shí)間，而另一個(gè)是關(guān)于顧客的平均，為回答上述為她我們?cè)O(shè)是任意時(shí)刻的排隊(duì)的顧客數(shù)。顧客和時(shí)間的關(guān)系通常可由圖給出。6是是是0是是是0是是是0否是是010否是是0到這里，人們將要為我們希望知道什么。通常我們感興趣的34

它是一個(gè)右連續(xù)的階梯函數(shù)是合理的，這是由于只有新顧客到來(lái)或有顧客完成服務(wù)后離去，函數(shù)值才發(fā)生變化，關(guān)于時(shí)間的平均是，其中圖下額面積，設(shè)表示一個(gè)時(shí)間區(qū)間，在其上保持常數(shù)（這里本身是變量）。當(dāng)我們進(jìn)行模擬時(shí)我們累積其和。用記在進(jìn)行模擬期間到達(dá)的顧客數(shù)。這樣我們所要的兩個(gè)平均分別為

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隊(duì)長(zhǎng)平均等待時(shí)間的平均

下面是用來(lái)說(shuō)明累積排隊(duì)時(shí)間的記錄（注意這里僅給出變化的時(shí)間）：

36時(shí)間Q0000011.584100012.93501.3511.3511.35117.29014.35501.35117.93500.6450.6451.99618.67610.74101.99623.15604.4804.4806.47625.21712.06106.47625.32720.1100.1106.58625.93510.6081.2167.80227.43121.4061.4069.208時(shí)間Q37這里所執(zhí)行的總時(shí)間。在這期間。隊(duì)伍的最長(zhǎng)長(zhǎng)度。累計(jì)排隊(duì)時(shí)間隊(duì)伍的平均長(zhǎng)度。平均等待時(shí)間。在我們結(jié)束模擬時(shí)還有兩個(gè)顧客，一個(gè)是排隊(duì)的，而另一個(gè)是新來(lái)的。服務(wù)的總時(shí)間是分。因此忙碌的概率是。服務(wù)的總時(shí)間是分或忙碌時(shí)間為。這里所執(zhí)行的總時(shí)間。38評(píng)注1模擬一個(gè)系統(tǒng)的目的不是為了模仿一個(gè)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，而是通過(guò)解決問(wèn)題達(dá)到優(yōu)化系統(tǒng)的目的。例如在這個(gè)例子中可以分析諸如增雇一個(gè)理發(fā)員或改變服務(wù)時(shí)間等對(duì)系統(tǒng)的影響。評(píng)注2在我們的模型中，為使問(wèn)題簡(jiǎn)單我們已經(jīng)作了一些假設(shè)：（1）假設(shè)了在任何一分鐘有一個(gè)顧客到達(dá)的概率是。（2）默認(rèn)在同一分鐘內(nèi)的顧客數(shù)。（3）如果兩個(gè)理發(fā)師均空閑，顧客可以任意選。（4）排隊(duì)的原則是安先后的秩序。如果有預(yù)約可以先服務(wù)。評(píng)注1模擬一個(gè)系統(tǒng)的目的不是為了模仿一個(gè)現(xiàn)實(shí)39（5）我們的模型中允許一下情形出現(xiàn)，一個(gè)顧客的來(lái)到，發(fā)現(xiàn)有很多人在等就走啦。也可能是一個(gè)顧客在等了一段時(shí)間之后等不及了就離開(kāi)了。意味這允許其中的一個(gè)理發(fā)員有短暫的休息。

例2.20倒媒臺(tái)的操作方案某煤礦公司有一個(gè)大型煤臺(tái)，用于向運(yùn)媒列車(chē)裝煤。該倒煤臺(tái)的容量是列標(biāo)準(zhǔn)列車(chē)。裝滿(mǎn)一個(gè)空的倒煤臺(tái)需要一個(gè)小組個(gè)小時(shí)的時(shí)間，費(fèi)用是。為提高裝煤速度可以以的代價(jià)動(dòng)用第二個(gè)小組。鐵道部門(mén)每天向這個(gè)倒煤臺(tái)發(fā)三列空的標(biāo)準(zhǔn)車(chē)。這些列車(chē)可在上午點(diǎn)倒下午點(diǎn)之間的任何時(shí)刻到達(dá)。給一列標(biāo)準(zhǔn)車(chē)裝滿(mǎn)煤需要小時(shí)，向倒煤臺(tái)裝煤和從倒煤臺(tái)向列車(chē)裝煤不能同時(shí)進(jìn)行。如果列車(chē)到達(dá)后因等待裝煤二停滯，鐵道部門(mén)將征收每車(chē)的滯費(fèi)。（5）我們的模型中允許一下情形出現(xiàn)，一個(gè)顧客的來(lái)到，發(fā)現(xiàn)有很40此外，每星期四上午點(diǎn)到下午點(diǎn)之間還有一列大容量列車(chē)到達(dá)，其容量為標(biāo)準(zhǔn)的列車(chē)的倍，滯期費(fèi)為。請(qǐng)問(wèn)（1）安標(biāo)準(zhǔn)規(guī)則操作可使裝煤費(fèi)最低？費(fèi)用使多少？（2）如果標(biāo)準(zhǔn)列車(chē)能在指定的時(shí)間到達(dá)，什么樣的調(diào)度安排最經(jīng)濟(jì)？這個(gè)問(wèn)題中列車(chē)的到達(dá)時(shí)間使隨機(jī)因素，適合于建立概率模型，同計(jì)算機(jī)模擬加以解決。首先，模型中需要考慮的費(fèi)用由兩部分組成。一部分使裝煤小組向倒煤臺(tái)裝煤的費(fèi)用，記為，另一部分使列車(chē)等待裝煤的滯期費(fèi)。因每天要裝的煤數(shù)量使固定的，的大小只受是否使用大二小組影響。此外，每星期四上午點(diǎn)到下午點(diǎn)之間還有一列大容量列車(chē)41通過(guò)使用第二小組，有可能減少。模型的主要任務(wù)是將總費(fèi)用降到最低。故是模型的目標(biāo)函數(shù)。其次，由于理論上的困難，很難得到最優(yōu)方案。考慮到這是一個(gè)每天重復(fù)發(fā)生的為她，重要的的是提供一組簡(jiǎn)單明確的規(guī)劃，使煤礦公式可以根據(jù)規(guī)則方便地獲得接近最優(yōu)的解。因此，我們將在方案的優(yōu)化程度和簡(jiǎn)明性之間做一個(gè)折中。設(shè)：為裝滿(mǎn)列車(chē)所需的煤量；為倒煤臺(tái)中剩下煤量；表示當(dāng)前時(shí)間。其中和均以小時(shí)向列車(chē)裝的煤量為單位。通過(guò)使用第二小組，有可能減少。模型的主42

根據(jù)題意寫(xiě)出下面一些應(yīng)該遵循的規(guī)則：有列車(chē)等待時(shí)，用兩個(gè)小組裝煤節(jié)省的滯期費(fèi)大于增加的裝煤費(fèi)用，此時(shí)應(yīng)使用第二個(gè)小組。當(dāng)同時(shí)有兩列或三列標(biāo)準(zhǔn)列車(chē)等待裝煤時(shí)。應(yīng)將已裝煤量最多的車(chē)排在前面先裝，已裝煤量最少的車(chē)排到最后面。可以證明，這樣安排滯期費(fèi)最少。當(dāng)同時(shí)有大容量車(chē)和標(biāo)準(zhǔn)車(chē)等待時(shí)，先裝后裝的滯期費(fèi)

先裝時(shí)的滯期費(fèi)為

當(dāng)時(shí)，先裝，否則先裝。根據(jù)題意寫(xiě)出下面一些應(yīng)該遵循的規(guī)則：43

設(shè)當(dāng)前待裝的車(chē)為，則用兩個(gè)小組裝倒煤臺(tái)直到或?yàn)橹?，然后裝列車(chē)。周四時(shí)，裝標(biāo)準(zhǔn)車(chē)和大容量列車(chē)共需要小時(shí)。即便是倒煤臺(tái)在周四上午點(diǎn)以前就已提前裝滿(mǎn)，當(dāng)天用兩個(gè)小組裝倒煤臺(tái)仍需小時(shí)，合計(jì)小時(shí)故最快也要到周五早上點(diǎn)才能完成周四的任務(wù)，且此時(shí)倒煤臺(tái)為空。為保證周五正常工作，應(yīng)馬上開(kāi)始裝倒煤臺(tái)。由以上分析知，周時(shí)間最緊張，就始終用兩個(gè)小組。非周四，在此刻無(wú)列車(chē)等待，設(shè)已知下一列車(chē)到達(dá)時(shí)間為。若，則時(shí)間充足，可以用一個(gè)小組裝倒煤臺(tái)至滿(mǎn)或下一列車(chē)來(lái)。否則用兩個(gè)小組。設(shè)當(dāng)前待裝的車(chē)為，則用兩個(gè)小組裝44非周四，不知道列車(chē)的到達(dá)時(shí)間。設(shè)在時(shí)刻倒煤臺(tái)中尚有煤量，沒(méi)有列車(chē)等待，當(dāng)天還有列標(biāo)準(zhǔn)車(chē)未到達(dá)。假設(shè)列車(chē)到達(dá)時(shí)間服從獨(dú)立的均勻分布，則存在，當(dāng)時(shí)用一個(gè)組裝煤即可，否則要用兩個(gè)組。的選擇應(yīng)滿(mǎn)足最小的原則，因其解析解難以求出，故采用計(jì)算機(jī)模擬的方法。首先任意取一個(gè)值，注意到，在上述約束條件下以一定步長(zhǎng)取各種組合，分別用計(jì)算機(jī)模擬求出平均費(fèi)用，找出使平均費(fèi)用最少的一組，和值，作為在該組合給定下的函數(shù)值。選取一系列不同的的值重復(fù)以上過(guò)程，就可以得到函數(shù)在各點(diǎn)上的值。非周四，不知道列車(chē)的到達(dá)時(shí)間。設(shè)在時(shí)刻45在以上規(guī)則指導(dǎo)下，我們用時(shí)間切片法進(jìn)行模擬，流程圖如圖所示。模擬的結(jié)果如下：年滯期費(fèi)用元，年度總費(fèi)用元。

開(kāi)始模擬時(shí)鐘0,初始化系統(tǒng)狀態(tài)和時(shí)間隊(duì)列找出最近的下次事件。推出模擬時(shí)鐘到該事件的時(shí)刻計(jì)算新的系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生未來(lái)事件（可能沒(méi)有，也可能有一個(gè)或多個(gè)）并加入事件列隊(duì)結(jié)束條件滿(mǎn)足嗎？計(jì)算并輸出統(tǒng)計(jì)結(jié)果結(jié)束在以上規(guī)則指導(dǎo)下，我們用時(shí)間切片法進(jìn)行模擬，流程圖46

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)列車(chē)的到達(dá)時(shí)間可以確定時(shí)，分三種情況考慮（記，和為三列車(chē)的到達(dá)時(shí)間，且）非周四，周五可以推出，滯期費(fèi)用為，且不使用第二小組，當(dāng)且僅當(dāng)

成立。不等式組的解不唯一，任何一小組即可，如取。周四標(biāo)準(zhǔn)列車(chē)的到達(dá)時(shí)間應(yīng)盡量和大容量列車(chē)錯(cuò)開(kāi)，故取。再此前提下用模擬的方法確定，得時(shí)費(fèi)用最少。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)列車(chē)的到達(dá)時(shí)間可以確定時(shí)，分三種情況考47周五因周四工作量大，將積壓到周五（周四的最后一列車(chē)最快能再周五早上四點(diǎn)裝完，最慢要拖到六點(diǎn)）。為減少等待，發(fā)車(chē)的時(shí)間盡量靠后，故取。在計(jì)算機(jī)模擬中事件序列比較常用，我們不在舉例說(shuō)明，這個(gè)方法的流程圖可以用圖來(lái)說(shuō)明。周五因周四工作量大，將積壓到周五（周四48開(kāi)始

，初始化統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

用獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生三列標(biāo)準(zhǔn)車(chē)的到達(dá)時(shí)刻周四時(shí)產(chǎn)生大容量車(chē)的到達(dá)時(shí)刻在時(shí)刻倒煤臺(tái)處有車(chē)等待嗎?當(dāng)天列車(chē)到齊了嗎？

裝滿(mǎn)倒煤臺(tái)，時(shí)間推進(jìn)到第二天模擬天數(shù)足夠了嗎？輸出模擬結(jié)果結(jié)束按規(guī)則選出待裝列車(chē)按規(guī)則裝車(chē)或裝倒煤臺(tái)倒煤臺(tái)是滿(mǎn)的嗎?按規(guī)則裝倒煤臺(tái)開(kāi)始，初始化統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)在49隨機(jī)性模型與模擬方法-Read課件50隨機(jī)性模型與模擬方法隨機(jī)性模型與模擬方法51

隨機(jī)變量

蒙特卡羅方法

隨機(jī)數(shù)的生成

模擬隨機(jī)變量52一、隨機(jī)變量何謂隨機(jī)變量？隨機(jī)變量是一個(gè)其值不可預(yù)測(cè)的變量。雖然一個(gè)隨機(jī)變量在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果不確定，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果是具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。正是隨機(jī)變量的這種規(guī)律性使我們可以利用它來(lái)建模。例如我們可以利用下述的數(shù)據(jù)：得出一個(gè)模型。時(shí)間t（秒）0123456789變量X1022120102一、隨機(jī)變量何謂隨機(jī)變量？隨機(jī)變量是一個(gè)其值不可預(yù)測(cè)的53是一個(gè)離散的隨機(jī)變量并取值于0，1和2。我們不可能給出與的確定的關(guān)系式，但是可以通過(guò)數(shù)的不同值出現(xiàn)次數(shù)來(lái)描述這隨機(jī)型的規(guī)律列表如下：這個(gè)表給出了隨機(jī)變量的變化規(guī)律，頻率告訴某個(gè)特定的事件發(fā)生的頻繁程度。如果我們需要構(gòu)造一個(gè)含有隨機(jī)變量的模型，可以假設(shè)這個(gè)規(guī)律總是成立的，模型的假設(shè)可以基于這幾個(gè)數(shù)據(jù)之上。實(shí)際操作時(shí)可以把頻率分布當(dāng)作概率函數(shù)來(lái)處理，但應(yīng)注意概率是頻率的極限值，這兩者是有差異的。在處理一個(gè)簡(jiǎn)單的理論模型時(shí)，對(duì)概率函數(shù)012頻數(shù)334頻率0.30.30.4是一個(gè)離散的隨機(jī)變量并取值于0，1和2。我們不可能給54必須作出合適的選擇。例如，假設(shè)在上述問(wèn)題中的隨機(jī)變量取三個(gè)值時(shí)等于可能的，這樣其概率函數(shù)為這個(gè)例子說(shuō)明在處理隨機(jī)變量的模型時(shí)有以下兩種選擇：（1）使用一個(gè)理論模型。這在任何一本概率統(tǒng)計(jì)的書(shū)上都可以找到一些標(biāo)準(zhǔn)的理論模型如二項(xiàng)分布等。每一個(gè)都基于一定的假設(shè)之下成立的，所以在選用時(shí)要特別注意其假設(shè)條件。（2）使用基于實(shí)際數(shù)據(jù)的頻率表，并不去套用不準(zhǔn)理論模型。012必須作出合適的選擇。例如，假設(shè)在上述問(wèn)題中的隨機(jī)變量取三個(gè)值55使用前者的好處在于能精確地?cái)⑹鲎兞康母怕?，在處理?wèn)題時(shí)可以充分發(fā)揮數(shù)理統(tǒng)計(jì)的作用。但這一好處把所求模式制約在了處理簡(jiǎn)單情形。隨著復(fù)雜性的增加，數(shù)學(xué)就變的太難。使用后者的好處在于模型時(shí)基于觀測(cè)到的數(shù)據(jù)而不是基于假設(shè)之上。增加復(fù)雜性并不成為一大障礙，但我們不再能利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)而得求助于模擬以及模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。在建立隨機(jī)性模型時(shí)，首先要注意，將要處理的是離散還是連續(xù)的隨機(jī)變量。1、離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量的理論模型是由概率函數(shù)來(lái)刻畫(huà)的。這個(gè)式子說(shuō)明隨機(jī)變量取值時(shí)的概率。對(duì)于離散型的隨機(jī)變量有下面三種重要的分布使用前者的好處在于能精確地?cái)⑹鲎兞康母怕?，在處理?wèn)題時(shí)可以充56（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量只可能取0、1兩個(gè)值，它的分布規(guī)律是

則稱(chēng)服從（0－1）分布。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即，我們總能在上定義一個(gè)服從（0－1）分布的隨機(jī)變量來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。例如，對(duì)新生兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格等都可以用（0－1）分布的隨機(jī)變量來(lái)描述。（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量只可能取0、1兩個(gè)57（2）二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，將獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行次，則稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為重貝努利實(shí)驗(yàn)。它是一重和重要的數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的應(yīng)用。若用表示重貝努利實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從如下的二項(xiàng)分布

特別，當(dāng)時(shí)二項(xiàng)分布就是（0－1）分布。（2）二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，將58（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為而取各個(gè)值的概率為

其中，是常數(shù)，則稱(chēng)服從參數(shù)為的泊松分布?？梢宰C明當(dāng)很小時(shí)，以為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)時(shí)趨于以為參數(shù)的泊松分布，其中（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為592、連續(xù)的隨機(jī)變量理論模型的連續(xù)型隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù)來(lái)描述，對(duì)所有的存在，且，隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率可由來(lái)給出，在連續(xù)型隨機(jī)變量中下述兩種是重要的。2、連續(xù)的隨機(jī)變量理論模型的連續(xù)型隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù)60(1)均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量具有概率密度則稱(chēng)在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布。在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布的隨機(jī)變量，具有下述意義的等可能性，即它落在區(qū)間（a，b）中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的，或者說(shuō)它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴(lài)于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。（2）正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為其中為常數(shù)，則稱(chēng)服從參數(shù)為的(1)均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量具有概率密度61正態(tài)分布。連續(xù)型隨機(jī)變量的值如同離散的一樣可以用頻率表給出，但不同的是離散的隨機(jī)變量每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量的一個(gè)值，而對(duì)于隨機(jī)變量每一個(gè)頻率對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量的一個(gè)取值范圍。正態(tài)分布。62二、蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是計(jì)算模擬的基礎(chǔ)，其名字來(lái)源于世界著名的賭城——摩納哥的蒙特卡羅。其思想來(lái)源于著名的蒲豐投針問(wèn)題。1777年法國(guó)科學(xué)家蒲豐提出了下述著名問(wèn)題：平面上畫(huà)有等距離的一些平行線，取一根長(zhǎng)度為的針，隨機(jī)地向有平行線的平面上擲去，求針與平行線相交的概率。我們用幾何概型來(lái)解決這一問(wèn)題。設(shè)M為針落下后的中點(diǎn)，表示中點(diǎn)M到最近一條平行線的距離，表示針于平行線的交角，如圖2.18所示。那么基本時(shí)間區(qū)域二、蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是計(jì)算模擬的基礎(chǔ)，其名字來(lái)源于世63圖2.18圖2.1864它為平面上的一個(gè)矩形，其面積為。為使針與平行線（與最后的一條平行線）相交，其充要條件是

的面積為，這樣針與平行線相交的概率為

設(shè)一共投擲次（是一個(gè)事先選好的相當(dāng)大的自然數(shù)），觀察到針和直線相交的次數(shù)為。它為平面上的一個(gè)矩形，其面積為65從上式我們看到，當(dāng)比值不變時(shí)，值始終不變。取為的近似值，我們可以算出的近似值?？梢韵胂螽?dāng)投擲次數(shù)越來(lái)越多時(shí)計(jì)算的結(jié)果就越來(lái)越準(zhǔn)確。下表時(shí)這些實(shí)驗(yàn)的有關(guān)資料(此處把折算為1）：實(shí)驗(yàn)者年份針長(zhǎng)投擲次數(shù)相交次數(shù)的實(shí)驗(yàn)值pulf18500.8500025323.1596Smith18550.632041218.53.1554DeMorggenC18601.0600382.53.137Fox18840.7510304893.1595Lazzerini19010.83340818083.141592Reina19250.541925208593.1795從上式我們看到，當(dāng)比值不變時(shí)，66由此可以看出蒙特卡羅方法的基本步驟：首先，建立一個(gè)概率模型，使它的某個(gè)參數(shù)等于問(wèn)題的解。然后按照假設(shè)的分布，對(duì)隨機(jī)變量選出具體的值（這一過(guò)程又叫著抽樣），從而構(gòu)造出一個(gè)確定性的模型，計(jì)算出結(jié)果。再通過(guò)幾次抽樣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，的到參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，最終算出解的近似值。蒙特卡羅方法主要用再難以定量分析的概率模型，這種模型一般的不到解析的結(jié)果，或雖然又解析結(jié)果，但計(jì)算代價(jià)太大以至不可用。也可以用在算不出解析結(jié)果的定性模型中。用蒙特卡羅方法解題，需要根據(jù)隨機(jī)變量遵循的分布規(guī)律選出具體的至，即抽樣。隨機(jī)變量的抽樣方法很多，不同的分布采用的方法不盡相同。在計(jì)算機(jī)上的各種分布的隨機(jī)數(shù)事實(shí)上都是按照一定的確定性方法產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)。由此可以看出蒙特卡羅方法的基本步驟：首先，建立一個(gè)概率67三、隨機(jī)數(shù)的生成我們知道對(duì)于丟硬幣的隨機(jī)結(jié)果可以用以下的離散隨機(jī)變量的改里函數(shù)來(lái)描述

如果我們需要模擬隨機(jī)變量的以個(gè)值或一個(gè)集合，可以用丟硬幣然后記錄其其結(jié)果的方法來(lái)得到，然而這具又相當(dāng)?shù)木窒扌?，這里我們用數(shù)學(xué)程序來(lái)產(chǎn)生擬隨機(jī)變量。即看上去是隨機(jī)出現(xiàn)的，但并非真正的隨家便朗，它們產(chǎn)生于一個(gè)梯推公式。不過(guò)這些擬隨機(jī)數(shù)并沒(méi)有明顯的規(guī)律，當(dāng)給于適當(dāng)?shù)纳炜s之后，它們非常接近于在區(qū)間的均勻分布。X01P(x)0.50.5三、隨機(jī)數(shù)的生成我們知道對(duì)于丟硬幣的隨機(jī)結(jié)果可以用以下的離散68這種方法的思想是，設(shè)計(jì)一個(gè)把和之間的整數(shù)映射到它們自身上的函數(shù)，然后從開(kāi)始，依次計(jì)算例如通過(guò)下面的公式可以產(chǎn)生這樣的一組隨機(jī)變量給定任意一個(gè)初值，如代入公式得，然后用去除得；同樣代入公式，可以得，重復(fù)這一過(guò)程可以得到我們所需要的一組隨機(jī)變量。在程序設(shè)計(jì)和軟件包中通常用來(lái)表示由這樣，我們用它來(lái)表示從上的均勻分布所產(chǎn)生的隨機(jī)變量。這種方法的思想是，設(shè)計(jì)一個(gè)把和之間的整數(shù)映射到69我們可以從它構(gòu)造出另外的隨機(jī)變量。例如，可以從給出區(qū)間上的連續(xù)均勻分布的隨機(jī)變量。如果我們要生成帶參數(shù)的指數(shù)分布，可以用。如果我們要生成平均值未零，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，可以用下列公式和

來(lái)給出的兩個(gè)值，令或可以生成型的正態(tài)分布。我們可以從它構(gòu)造出另外的隨機(jī)變量。例如，可以從70為了得到離散的隨機(jī)變量，我們把分成若干部分。例如設(shè)計(jì)一個(gè)離散的隨機(jī)變量有下列的概率函數(shù)。取一個(gè)RND值：如果，則；如果，則；如果，則。對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)變量除了取生成的隨機(jī)變量是每類(lèi)的中點(diǎn)外，我們可以用同樣的思想進(jìn)行列表分類(lèi)。如

0120.30.30.40-1010-1515-20頻率0.20.50.3為了得到離散的隨機(jī)變量，我們把分成若71的一個(gè)值將平移到。一個(gè)更細(xì)致的方法是用線性插值而不是取中點(diǎn)，即

給出。從已知的模擬一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的理論分布，可以用以下方法：

的一個(gè)值將平移到72（1）逆累積分布函數(shù)法如果隨機(jī)變量的是，則累積分布函數(shù)是。如果把它作為一個(gè)隨機(jī)變量，是上的均勻分布。從上的均勻分布取一個(gè)值，解方程得對(duì)應(yīng)得的值，例如，設(shè)

累積分布函數(shù)為解得。這就是我們所要的由這個(gè)分布所生成的的值（1）逆累積分布函數(shù)法如果隨機(jī)變量的73(2)排除法對(duì)于這種方法我們需要用兩個(gè)值來(lái)生成一個(gè)值。設(shè)的值在區(qū)間外為，而的最大值是。我們可以通過(guò)如下的步驟生成的值。從上的均勻分布生成和；用計(jì)算；計(jì)算；用算出；如果，則接受，否則排除回到。對(duì)于上面的例子，我們?nèi)?2)排除法對(duì)于這種方法我們需要用兩個(gè)74四、模擬模擬是現(xiàn)象的模型所產(chǎn)生的再現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)模擬就是用模型使現(xiàn)象再現(xiàn)。因此，表示現(xiàn)象的部分或總體的基本方程和表示自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型全是數(shù)學(xué)模擬。然而，狹義地講主要指的是數(shù)字模擬。它是將復(fù)雜現(xiàn)象作出可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)表達(dá)的數(shù)學(xué)模型，從數(shù)值上進(jìn)行各種實(shí)驗(yàn)。各種方法隨著計(jì)算機(jī)的進(jìn)步已廣泛地應(yīng)用起來(lái)。因此我們所說(shuō)的模擬主要是指數(shù)學(xué)模擬。四、模擬模擬是現(xiàn)象的模型所產(chǎn)生的再現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)模擬就是用模型75例2.18一列火車(chē)大約在下午1點(diǎn)離開(kāi)站其規(guī)律如下；火車(chē)從到途中所需要的平均時(shí)間為分，由分鐘的標(biāo)準(zhǔn)差。如果你要趕的是這趟火車(chē)的下一站,而你到達(dá)的站的時(shí)間分布為問(wèn)你能趕上這列火車(chē)的概率是多少？離站時(shí)間13.0013.0513.10概率0.70.20.1時(shí)間13.2813.3013.3213.34概率0.30.40.20.1例2.18一列火車(chē)大約在下午1點(diǎn)離開(kāi)站其規(guī)律如76為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們需要一些隨機(jī)數(shù)。這里我們將采用上面給出的那些隨機(jī)數(shù)，即等。而我們所要模擬的是火車(chē)離站的時(shí)間；火車(chē)途中的時(shí)間；你到達(dá)車(chē)站的時(shí)間。這樣你趕上火車(chē)的條件是。為模擬這個(gè)問(wèn)題只需要生成，和的值，然后檢驗(yàn)這條件。但如何得到的值是不明顯的，因并不知道這個(gè)分布。這樣，假設(shè)一個(gè)模型，取平均值為30，標(biāo)準(zhǔn)差為2的正態(tài)分布，由所給的條件知，為離散的，而為連續(xù)的隨機(jī)變量。為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們需要一些隨機(jī)數(shù)。這里我們將采用上面給出77以分為時(shí)間單位，從的下午以點(diǎn)起算，構(gòu)造的模型如下其中。計(jì)算結(jié)果為，和，這樣。在這種場(chǎng)合你比火車(chē)提前到達(dá)4分鐘。但需要指出，這并不是說(shuō)我們已經(jīng)回答了這個(gè)問(wèn)題，要回答這個(gè)問(wèn)題我們要作多次這樣的模擬，記下這些結(jié)果，算出能趕上火車(chē)的頻率。通過(guò)足夠多次的模擬之后我們就可以看出能趕上火車(chē)的概率。以分為時(shí)間單位，從的下午以點(diǎn)起算，構(gòu)造的模78一般用在模擬建模時(shí)，一次模擬的成功并不能說(shuō)明什么問(wèn)題，更不能說(shuō)我們的主要工作已經(jīng)完成。你必須多次的進(jìn)行模擬，然后分析其結(jié)果。分析的種類(lèi)要看模型的對(duì)象，而這在模擬的一開(kāi)始就應(yīng)該清楚的。在實(shí)驗(yàn)的模擬模型的對(duì)象是在變化的，但常常包括一下幾種：對(duì)系統(tǒng)的長(zhǎng)期性態(tài)作出統(tǒng)計(jì)；比較系統(tǒng)的可選擇對(duì)象的安排；研究參數(shù)變化的影響；研究模型假設(shè)的影響；找出系統(tǒng)最優(yōu)方案；上面的例子是相當(dāng)平凡的，根本不能作為用模擬解決問(wèn)題的例子。下面我們僅舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子以理順模擬模型的思路。一般用在模擬建模時(shí)，一次模擬的成功并不能說(shuō)明什么問(wèn)題79例2.19某個(gè)理發(fā)店中有兩名理發(fā)員和，顧客隨機(jī)地來(lái)理發(fā)，據(jù)統(tǒng)計(jì)的顧客僅需要剪發(fā)，化時(shí)分鐘；而有的顧客即需要剪又需要又需要吹風(fēng)，許花時(shí)分。對(duì)任意一個(gè)模擬，首先要作的是找出能完全描述任意時(shí)刻的系統(tǒng)的狀態(tài)變量的集合。給出能從時(shí)刻的狀態(tài)變量算出時(shí)刻的新的狀態(tài)變量的程序。這個(gè)例子中有三個(gè)狀態(tài)變量：在等待的顧客的人輸（離散的非負(fù)整數(shù)）；是否正在工作（是或否）；是否正在工作（是或否）。例2.19某個(gè)理發(fā)店中有兩名理發(fā)員和80一次模擬式由始于，結(jié)束于的狀態(tài)變量的值的一系列演算組成的。一個(gè)事件是時(shí)間中的一點(diǎn)，在這個(gè)時(shí)刻一個(gè)隨機(jī)變量改變了它的值。在這個(gè)例子中的事件有:一個(gè)顧客到達(dá)；開(kāi)始服務(wù)；結(jié)束服務(wù)；開(kāi)始服務(wù)；結(jié)束服務(wù)。一個(gè)元素是一個(gè)離散，或者是系統(tǒng)的長(zhǎng)期部分，或者是進(jìn)入和離開(kāi)，這里的元素是顧客和兩個(gè)理發(fā)員。對(duì)研究一個(gè)模擬模型來(lái)說(shuō)，有兩種程序類(lèi)型：（1）時(shí)間切片考察狀態(tài)變量和在時(shí)間切片中（通常是等時(shí)間的切片）元素的位置。在每一個(gè)時(shí)間切片中狀態(tài)變量可變可不變。一次模擬式由始于，結(jié)束于81（2）事件序列考察在每一事件的系統(tǒng)，并不考慮時(shí)間之間的時(shí)間。這兩種途徑我們有時(shí)稱(chēng)為“時(shí)間傳動(dòng)”和“事件傳動(dòng)”模型。一般我們用時(shí)間傳動(dòng)模型于連續(xù)的的確定型系統(tǒng)，事件傳動(dòng)模型于離散的概率模型，但這不時(shí)絕對(duì)。在這個(gè)例子中我們將用“事件傳動(dòng)”。對(duì)于時(shí)間切片模型，我們必須決定時(shí)間切片的大小，為簡(jiǎn)單計(jì)我們將取分鐘。問(wèn)題的描述并不包括任何有關(guān)顧客到達(dá)率的信息。假設(shè)在任何一分鐘顧客到達(dá)的概率是。實(shí)際上有兩種不同類(lèi)型的顧客，取決于是否要吹風(fēng)。我們通過(guò)取服務(wù)時(shí)間的平均值，即分，構(gòu)造一個(gè)粗糙的模型。（2）事件序列考察在每一事件的系統(tǒng)，并不考82為了描述一個(gè)顧客是否到來(lái)這個(gè)隨機(jī)變量，我們用一個(gè)硬幣將作為一個(gè)隨機(jī)數(shù)的生成器，用表示反面，表示正面。設(shè)扔出的序列是。用表示一個(gè)顧客到達(dá)，且取初始狀態(tài)為顧客，運(yùn)行前分鐘，就有下表的結(jié)果：時(shí)間（分）到達(dá)？A在工作B在工作排隊(duì)0否否否01是是否02否是否03是是是04是是是05否是是0為了描述一個(gè)顧客是否到來(lái)這個(gè)隨機(jī)變量，我們用一個(gè)硬83到這里，人們將要為我們希望知道什么。通常我們感興趣的是平均隊(duì)伍的長(zhǎng)度，最長(zhǎng)的隊(duì)伍，顧客等待的平均時(shí)間以及兩個(gè)理發(fā)員的忙閑程度等，注意到這里有兩種不同的平均，即一個(gè)是關(guān)于時(shí)間，而另一個(gè)是關(guān)于顧客的平均，為回答上述為她我們?cè)O(shè)是任意時(shí)刻的排隊(duì)的顧客數(shù)。顧客和時(shí)間的關(guān)系通?？捎蓤D給出。6是是是0是是是0是是是0否是是010否是是0到這里，人們將要為我們希望知道什么。通常我們感興趣的84

它是一個(gè)右連續(xù)的階梯函數(shù)是合理的，這是由于只有新顧客到來(lái)或有顧客完成服務(wù)后離去，函數(shù)值才發(fā)生變化，關(guān)于時(shí)間的平均是，其中圖下額面積，設(shè)表示一個(gè)時(shí)間區(qū)間，在其上保持常數(shù)（這里本身是變量）。當(dāng)我們進(jìn)行模擬時(shí)我們累積其和。用記在進(jìn)行模擬期間到達(dá)的顧客數(shù)。這樣我們所要的兩個(gè)平均分別為

85

隊(duì)長(zhǎng)平均等待時(shí)間的平均

下面是用來(lái)說(shuō)明累積排隊(duì)時(shí)間的記錄（注意這里僅給出變化的時(shí)間）：

86時(shí)間Q0000011.584100012.93501.3511.3511.35117.29014.35501.35117.935