大一上-習(xí)題課

關(guān)dy關(guān)dyydyydxydyo(x)系第二章習(xí)題基本公基本公高階導(dǎo)高階高階微limlimx0數(shù)導(dǎo)dy1、導(dǎo)數(shù)的定定義設(shè)函數(shù)yfx)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義當(dāng)自變量x在x0處取得增量x(點(diǎn)

x內(nèi))時(shí)相應(yīng)地函數(shù)y取得增量y

f(

x)

f(x0如果y與x之比當(dāng)x0時(shí)的極限存在y

x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并稱這個(gè)極限為函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)記為

,

或df(x) , x

dxx

xyxx0

limx0

x

f(

x)

f(x0)單側(cè)導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)f(x)

f(x)

f(x0)

f(

x)

f(x0); xx0

x

x0 右導(dǎo)數(shù)f(x)

f(x)

f(x0)

f(

x)

f(x0); xx0

xx0

x0

x)在點(diǎn)

處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)fx02、基本導(dǎo)數(shù)公（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(C)

(x

x)

cos

(cosx)

sin

x)

sec2

x)

csc2

x)

(cscx)

csc(ax)a

ln

(ex)ex(log

x)

xln

(lnx)11x2

x)

(arccosx) 11x

x)

1x

1x23、求導(dǎo)法設(shè)u

u(x),

vx)

v)

u

v,（2）(cu)

cuc是常數(shù)（3）(uv)uvuv,（4）

uvuv

0).

(v v如果函數(shù)

y)的反函數(shù)為y

fx則有f(x)

(y)設(shè)y

f(u而u

x)則復(fù)合函數(shù)y

f[x的導(dǎo)數(shù)dy

dy

y(x)

f(u)(x).多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函數(shù)ux)vx)的情形用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)x(t若參數(shù)方程y

確定y與x間的函數(shù)關(guān)系

(t

(td2y

d(dy)

dyddx ddx

(t)

dx

dx

(t

((t)4、高階導(dǎo)

(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)

(f(x))

f(x

x)

f(x), d2

d2f(x)記

x),y dx

dx

d3二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),

(x),

,dx3一般地,函數(shù)

x)的n1函數(shù)fx)的n階導(dǎo)數(shù)記(n)

(n)

dn

dnf(x) (x),

,dxn

dxn 微分的定定義設(shè)函數(shù)y

fx)在x0x0

x在鄰域內(nèi)

y

f(

x)

f(x0如果y

Ax

o(x)成

則稱函數(shù)y

fx)在點(diǎn)

可微

函數(shù)y

fx)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量改變x

記作

xx0或

(x0

x

A微分dy叫做函數(shù)改變y的線性主

(微分6、導(dǎo)數(shù)與微分定理函數(shù)

(x)在點(diǎn)x0可微的充要條件是函數(shù)

(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且Afx07分的求dydyf(求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分d(C)

d(x)

x1dxd

x)

d

x)

d

x)

d

x)

d

x)

x

d

x)

x

d(ax)

axln

d(ex)

exdxd

x)

xlna

d(lnx)

1x2d(arcsin1x2

d(arccosx)

1x2d(arctan1x2

d(arccotx) 1x2 1x28、微分 d(u

v)

du

d(Cu)

d(uv)

d )uvu

v

無論x是自變量還是中間變

函數(shù)

的微分形式總

dy

f(例1

f(x)

x(

2)(

求f f(0)

f(x)fx0

xlim(

2)(

例2設(shè)

(x)

x,求

3x解法一：根據(jù)求導(dǎo)法3xf(x)

sinx

x3cosx,f(

23x2x

f(0)不存在解法二：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的1f(0)

f(x)

f

x3sinxx0

x

x0 3x3xx0

sinx

x0

3xx3x

sinxx例3設(shè)

(x)

x2x

x，求x

(x) (x

5),x

2

x解法一：

(x)

(x3

x

3x2,x解法二

(x)

x3

f(x)

3x2x時(shí)

(x)

x2

f(x)

2x,x時(shí)

(0)

f(0)

5例3設(shè)

(x)

x2x

x，求x

(x)解法三：

時(shí)，

(x)

x3

f(x)

3x2x時(shí)

(x)

x2

f(x)

2x,x時(shí)，f

(0)

(x

5)5f(0)不存

f(0)

x0x0

x35x點(diǎn)x

0

(0)是雙側(cè)極限，與x0

x)有關(guān)例4

y2

111x

11x11x1x21x1x

則y

1lnu1y

1

)

u uu

11x2

u2 )

ux

u11x

1

2x

x4x(2xx3 1(2xx3 1x1x2練x2

y

(x

2的導(dǎo)數(shù)解y

2

3x3x

y1 2x

x2

sin

x2 3(x練習(xí)求函數(shù)ysin

x的導(dǎo)數(shù)sin y

x x

sin x x 例5

y

x,求

f解y

y

)

21x

1x

x2)2y

2

)

2(3x

x2

x2)3f(0)

2

2(3x

x2

x

(0)

x2

x

fx)為偶函數(shù)，且

f(0)

(0)

f

(x)

f(

f(Δx)

f根據(jù)導(dǎo)數(shù)的f(0)

f(0Δx)f(0)

Δx0

f(Δx)f

f(Δx)

f

Δx0

f(0

Δx)

f

f(0

Δx)

f

fΔx0

f(0)

f

f(0)101, 1

d2

d3

3(y)2

試

2

3；）3 （y （y解：函y

f(

y

f(x)

y(

dx d2

y(x)

y(x)1

dy2

y(x)y(x) yy(d2

y(x)d2

y3

yd d

2 2

(y)3 (2)ddy3

(x)y(y)3y3(y)2

3(y)2yy

y(x)

b(1

x)a

x例：設(shè)

f(x)

eax

xa與b使

(x)

(

f(x)

x)a

2

bax0

f(x)

x0

1

1

0,ba2

ax

20

bsinx

eax

1

a,

fx)在

0可導(dǎo)x0

ba20,

ba a

f(x)

bcosx,

xaeax

x例：已知函

x)在

1處連續(xù)，且

f(x

2求

lim

0,

f(x

f(x)

0,(同階無窮函數(shù)

x)在

1處連

f(x)

f(1)

f(x)f

f(x)

f(

x

x

x

函數(shù)

(x)

x在

0處（） x(a)（b）可微(c)可導(dǎo)但不連續(xù)(d)不可導(dǎo)但連續(xù)2下列函數(shù)

中滿足

(x)

1sin2x的是（）2(a)

f(x)

1cos22

(b)

(x)

1cos24(c)

(x)

1cos2x

(d

f(

1

1cos24練習(xí)3曲線y

x3

3x上切線平行x軸的點(diǎn)是（）(a)(0,0)

b

(c)

(d

例6

2t

,求 y 5ty

4t

dxt解分析

當(dāng)t

t導(dǎo)數(shù)不存在當(dāng)t0時(shí)dxdy不存在

不能用公式求導(dǎo) 5(t)25(t)24t

x0

tt0

2t

t

2例7設(shè)函數(shù)y

fx由方程

y

x(

0,

d2所確定,

dx2解

1lnyx

1lnx,

即ylny

xlnx,(1

y

ln

y

ln

1y

1x

y1)(ln

1)1y

1lny(1lny)2

y1)2xy(ln

x(ln

例8設(shè)

(x)

xx(

2),

f(x).解x2(x2),xf(x) x2(x2),0

xx2(x2),x當(dāng)x

f(0)

f(0)

f(0)當(dāng)x

0時(shí)

f(x)

3x

4x;當(dāng)0x

f(x)

3x2

4x;當(dāng)x

f(2)

f(x)f

x2(x2)

x2

x

x2

xf(2)

f(x)f

x2(xx2

x

x2

xf(2)

fx)在

2處不可導(dǎo)3x

4x,

2,或xf(x)

0,

3x

4x,0

x例 設(shè)y

x)cosx,

方程兩邊取對(duì)數(shù)

y

xcosxlnsin兩邊對(duì)x求導(dǎo)1dy

1

xln

xcosx

cosxy dy

cos2

sinx

xlnsinx1

sin

cos2

x)cosxx

xlnsinx

sin例 設(shè)y

x)cosx,

解法2

dy

x)cosx

xecosxln(sinx)ecosxln(si)

xecosxln(si)

cos2

x)cosx

xecosxln(sinx)(

xlnsinx

sin

x)cosx

x)cosx(

xlnsinx

cos2)sin

cosxx) x)

xln

x

cos2xsinx例

設(shè)y

4x2x21,4解214解2

432( x

)(n)(

x

)(y(n)例

設(shè)y

x2e2x

求y20解設(shè)2u公式y(tǒng)(ex x2)20x(19x20(20

e

(18

x

220e2

x2

20

219e2

220

18e2

220e2x(x2

例12設(shè)y

x2

求y5y

x2

1 x

xy(5

1

12(1

(x

(

(x

]例

求由方程

xye

e

0所確定的隱函數(shù)ydy,

x0解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)yx

ee

ey

dy

e

eyy

由原方

x0,

dxx

xe

xyx

acos3例14求由方程

asin3

表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)dydt

3asin2tcos

3acos2t(sint

tand2y

(tant)

sec2

dx

(a

t

sec4例

設(shè)y

e13

x,求

xd(e13x)

e13

d(cosx)(e13x)

3e13x

x)

sinx.dy

x(3e13x

e13

(

e13x(3

x

例1(2002已知曲線的極坐標(biāo)方

1

cost,求該曲線上對(duì)應(yīng)

處的切線與法線的直坐標(biāo)方程6解：此曲線的參數(shù)方程xyy

cost)costcost)sint

xyy

costsint

33

cos3t對(duì)應(yīng)切3

3,1

dy

cost

cos2

sin21 t

sin

2costsin

t63切線方程：y133 3

x

33324 332424法線方程：y124

x

3練習(xí)設(shè)fx)是可導(dǎo)函數(shù)，則下列各式不成立的是x0

f(x)x

f(0)

f

f(a

2h)h

f(a)

f(a)

f(x0)

f(

x)

f(x

x0

f(

x)

f(

f(xx0

測(cè)驗(yàn)題1、函數(shù)fx在點(diǎn)x0的導(dǎo)

f(x0)定義為

f(

x)

f(x0)；x

f(x0x)

f(x0)；

f(x)

f(x0)；x

f(x)f(x0)；x

xx02、若函數(shù)y

fx)在點(diǎn)

(x0)

曲線y

fx)在點(diǎn)(x0

f(x0))處的法線 （A）與x軸相平行B與x軸垂直（C）與y軸相垂直D與x軸即不平3、若函fx在點(diǎn)x0不連續(xù)，則fx)（A）必不可導(dǎo) （D）必?zé)o定義

x0 4、如果f(x) 那么

(x)0(A)

arcsin2

arccosx(B)

xtan2xsin2xcos2(1

arctan

cotx5、如

f(x)

eax,x

處處可導(dǎo)，那末 b(1x2),x

b

1；

2,b

1

1,b

0；

0,

1.6、已知函數(shù)fx具有任意階導(dǎo)數(shù)，fxfx)2,則當(dāng)n為大2正整數(shù)時(shí)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)是

f(x)]n1；

n[

(x)]n1

[f(x)]2n

f(x)]2n7、若函數(shù)x

x(t),y

y(t)對(duì)t可導(dǎo)且x(t

0,xx(t

的反函數(shù)存在且可導(dǎo)， （A）y(t) x(t

y(tx(t)y(t

y(t（C）x(t)； （D）x(t)

f(x)為可微函數(shù)，則dy 與x無關(guān)為x的線性函數(shù)當(dāng)x0時(shí)為x的