《金融計量學(xué)（第二版）》Lecture 3差分方程、滯后運(yùn)算與動態(tài)模型02

3.3高階差分方程

一階差分方程可以拓展到二階以及更高階的差分方程，為方便起見，把高于一階的差分方程統(tǒng)一稱為高階差分方程。假設(shè)差分方程的階數(shù)為p，則p階差分方程的一般表達(dá)式可以寫成：

要從高階向一階轉(zhuǎn)化，首先定義幾個常用矩陣：

例如p＝5時，現(xiàn)在，p階差分方程就可以轉(zhuǎn)化為：即，通過反復(fù)迭代，可以得到：

對模型進(jìn)行向前迭代，可以得到：

其中：

表示矩陣F的j次冪。這樣，對比F矩陣與Y矩陣的定義，可以獲得p階差分方程的動態(tài)乘數(shù)，即：

對比F矩陣與Y矩陣的定義，可以獲得p階差分方程的動態(tài)乘數(shù)，即：

其中：

為矩陣

的第1行第1列位置上的元素。一旦動態(tài)乘數(shù)的解析表達(dá)式求解出來了，對應(yīng)的p階差分方程的脈沖響應(yīng)方程就可以很容易獲得了。

3.4滯后算子與滯后運(yùn)算法

3.4.1滯后算子定義與性質(zhì)

滯后算子以英文單詞“l(fā)ag”的大寫首字母L表示，基本的運(yùn)算規(guī)則如下:

根據(jù)這個定義，二階差分方程：

可以寫成：

滯后算子運(yùn)算還符合標(biāo)準(zhǔn)的“結(jié)合律”與“交換律”等如下運(yùn)算法則：（1）

（2）對任何常數(shù)A取滯后運(yùn)算還等于原常數(shù)，即

。

（3）結(jié)合與分配律，即

。（4）交換律，即

。

運(yùn)用以上介紹的滯后算子運(yùn)算規(guī)律，可以將二階差分方程寫成：即

這里常被稱為滯后算子多項(xiàng)式。

因此，差分方程也可以寫成：初次學(xué)習(xí)滯后算子，可以把滯后算子與經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的期望聯(lián)系起來理解。滯后算子操作符也屬于類似的概念范疇，也就是說，L在這里不僅僅是一個符號，它代表了一種運(yùn)算過程。一個非常有用的性質(zhì)：

其中，c表示常數(shù)項(xiàng)。利用滯后算子，模型可以寫成：在等式兩邊同除以

，則得到：對于二階差分方程

對于模型：

根據(jù)滯后算子的性質(zhì)，滯后算子對常數(shù)項(xiàng)并不產(chǎn)生影響，所以模型等號右側(cè)的第一項(xiàng)就是

。從而，模型可以寫成：

利用滯后算子，還可以簡化高階差分方程的表達(dá)式。例如，對于p階差分方程，利用滯后算子可以寫作：

（3.39）

或者寫出更為簡潔的形式：

其中：

。由此

可知，

。

3.4.2差分方程的穩(wěn)定性

差分方程的穩(wěn)定性是指由差分方程生成的數(shù)據(jù)的收斂性。這里需要介紹與差分方程相關(guān)的特征方程和逆特征方程。對于一般的p階差分方程來說，其特征方程為：

（3.40）

如果差分方程中的系數(shù)均為已知，則可以求出特征方程（3.40）的根，稱為特征根，而這些特征根的大小決定了相應(yīng)的差分方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性?？梢宰C明，如果特征方程的所有根（或者根的模）均落在單位圓內(nèi)，那么差分方程系統(tǒng)是穩(wěn)定的。之所以經(jīng)常使用“單位圓”來比照特征根的“大小”，是因?yàn)樘卣鞲赡苁菍?shí)數(shù)也可能是復(fù)數(shù)。圖3.4差分方程的特征根

與單位圓