信號(hào)與系統(tǒng)第2章連續(xù)時(shí)間時(shí)域分析

第二信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分本章要F 型信F連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分F連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模F連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域模F 單位沖激響 卷一．實(shí)指數(shù)信函數(shù)表示式為

f(t)

A0tA0tA0t圖2.1實(shí)指數(shù)信號(hào)的波函數(shù)表示式

f(t)

由歐拉公式

f(t)

[cos(0t)AA0t-

jA0-tA0t-圖2.2復(fù)指數(shù)信A0t-f(t)

Ae(j0根據(jù)、

的不同取值，復(fù)指數(shù)信號(hào)可表示為下列幾種特殊信號(hào)1．

0 時(shí)

f(t)

為直流信號(hào)2．

0

而0

為實(shí)指數(shù)信號(hào)3．

時(shí)

e

稱為正弦指數(shù)信號(hào)不難證

e

是周期

T

的周期信號(hào)三．抽樣信抽樣信號(hào)Sa

Sa定義

f(t)S1 3t圖2.3樣信可以

Sa

為偶（2）t時(shí)，Sa(t)的振幅衰減趨近于

f

，（k為整數(shù)Sa

信號(hào)滿足

S(t)dt S(t)dt奇異函數(shù)——是指函數(shù)本身或其導(dǎo)數(shù)（或積分）具有不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)。四、單位階躍函 unitstep

(

)

(t0(t0

此函數(shù)在t=0處不連續(xù)，函數(shù)值未定義10t。

可代替電路中的開關(guān)，故又稱為開關(guān)函2S(t1P2S(t1PP(a) (t)給函數(shù)的表示帶來方(tt01t0t0(tt01t00t右 左

0sint(tt00

sintt0t0

t(t

)起始任一函sin(tt0)(t

t0

t五、單位脈沖函

0(

01

(t)

(0t

1面積為0t

1 110t 1(t00t

)

)(

10t10t1

Sgn(

)

(t0(t0

1 01t1 01t0t10t

)2(

)1101t七、101t

R(

)

(t0(t0

R(t)

ttt

)d

tR(

)

t0

t(t)

dR(t)八

unitimpulse(

)

(t01

(

)dt0

t

(tt0 t0

K(KK稱為沖激強(qiáng)

1010t (t0(t)dt

或

limk

Sa(

sintkk k0t

f(

)dt

f(0(

)f(

)dt

f(t0證明

（t）f(

)dt

0f(0)(

)dt

f(0

(t)(t)(t(tt)(0

t0(3)沖擊函數(shù)

(

)

(

(

)d(ttt

)d

tt

)d

t將這對(duì)式子與

的定義式比較tt

(t

)

(t)(t)

d(t)(4)、(at11

1(ta

a

(at)d(at)

a

a11

(at)dt

(at)d(at)

1

aa故a

1(t

1

'(t)

d(t)

d2(tdt或

d

)2

) '(t)(t)(t

21 (

t從負(fù)

'(t)t 1(矩形脈沖的導(dǎo)

t從正2'(t的基本性 '

t

t0

0 f(t)'(tt00

'(t0 '(t)dt

(t)'(t)

f(0)'(t)

f'(0)(t)

K

Uc_cUc_c

CUc(0)0VUc(0)q(0)CUc(0)q(0)

0(t0

分解——例1.fA0TA0Tt

0,tf1(t)

f2(t)

A0TA0TtT

f1(t)f1(t)f2AT0t

f2f2A0TtA(tT故f(t

AR(t)T

A

T)

A

2T)T

R(t)

A

nT)F動(dòng)畫演FF動(dòng)畫演f

f

fa

考慮0將間隔分成寬度為t

(k1)t f(t)

f(t)

f(0)(t)

f(t)

t).....[

(kt)

f

kt).....f(t)

f(t)

nnf(0)(t)fkk

ktfk

f(kt)

f

t)[f(kt)f(ktt)][f(t)]

tf(t)f(0)(t)

[f(t)]

t

ktnantkt

tt

f(t)

f(t)

f(0)(t)

F動(dòng)畫演F動(dòng)畫演ffaffa0(ktf f(t)

f(t)

f(0)Pt(t)t

f(t)tPt

t)f(kt)tPtn

kt)......k

f(kt)tPtt

ktt

f(t)

f(t)

)d

f(t)(t

i1(

、i2

)和電壓U0tMMRL

Li2

RU0MMRL

Li2

RU0))t1Ct1

i1(

Ldi1(

)

di2(

Ri1(

)e(t)回路2的KVL)t1ct1

i2

Ldi2(

)

Ri2(

)

Ri2(td4e(tdt

d3e(t)dt

d2e(t)dt2

2i1(t 2d

(t

d

(t

d

(t

2R

(t （LM

dt

2RL (Rdt

) dt

C

i2(td3e(tdt 2d

d

d

2R （L

dt

2RL dt

(

) 0 dt

0 C

d3e(t)dt3例2.對(duì)圖示電路，寫出激勵(lì)e(t)和響應(yīng)r(t)

r(t)

Ldi(

)r(

)e(

(1KCL:

dr(t)

r(t)

i(

..........(2將（2）d2r(tC2 dt

1dr(t)

di(

(3將（3）代入（1）

d2r(t)dt

Ldr(t

)r(

)e(t*由以上例題可以得出如下結(jié)論dnrdt

dn1rdt

....a1

a0r

dmedtm

dmdtm

...b1

三、n階常系數(shù)微分方程的求解法thesolutionmethodforconstant-coefficientdifferenceequationofNth-order微微分時(shí)域變換（斯變換法全響應(yīng)齊次方程通齊次方全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響（受迫響應(yīng)（解齊次方程）（疊加積分法一、何利用線性微分方程基本運(yùn)算單元給出系統(tǒng)

①加法器

x1(tXx2(t

y(tY

y(t)

x1(t)x2(tX2(s)

Y(s)

X1(s)

X2(s)②標(biāo)量乘法ax(taX(s)③乘法器x1(t

y(tY(s)

y(t)Y

aX(s)Xx2(t

y(tY(s)

y(t)

x1(t)x2(tX2(s)

Y(s)

X1(s)

2(s)4x(t4x(t

y(t

y(t)

5初始條件為零的積5XY1XY1sty(t)0x(t

Y(s)

1X(s)s

ssY1s

ty(t)t

y(0)x(

X

0ssY(s)y(0)X0ss2、一階微分方程的模y'a0y

y'xy'xy'

xa0X(s)sYX(s)s

Y以上模擬圖都未計(jì)初始條件，故是零狀態(tài)響、二階系統(tǒng)的模y''a1y'a0y

y''

xa1y'a0x(t)

y'' y' a04、含有x導(dǎo)數(shù)的二階系統(tǒng)ya1ya0yb1xb0引入一輔助函數(shù) y滿足）

0qbqby

q

r(n)(t)

r(n1)(t)...

r(1)(t)

r(t10be(m)(t) e(m1)(t)...be(t10 m

ar(i)(t)

be(j)(ti

j

an系統(tǒng)的特pn

pn1

(

2)(

n)值為特征方程的根系統(tǒng)的特pn

pn1

(

2)(

n)值為特征方程的根 rp(t)

—齊次解自由響—特解受迫響r(t)

全響r(t)

rh(t)

rp(t)rn(t)

cinin

eit

式中常數(shù)

表2.1不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次特征根單實(shí)m重實(shí) tm1et tm2etCtetC m2 一對(duì)共軛復(fù) etCcos(t)D1：描述某系統(tǒng)的輸入輸出方程為rt2r(t)已知

0,r(0

2，求系統(tǒng)的響

r(t)初始狀初始條件：系統(tǒng)在

0時(shí)的狀態(tài)（設(shè)激勵(lì)在0時(shí)的狀

0時(shí)接入求系統(tǒng)I'rt)p

0

pr(t

Ce2t

t將r

)r(

2代入上式得C故r

)2e2t

t例2：描述某系統(tǒng)的微分r

)4r'(

)4r(

)2e'(te(

已知r

)2,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

r'(0)r'(0)2,r(0)r(0)

40得

1零輸入響應(yīng)r(t

tC02,C1r(

)2(1

)e2t二、特解rp(t)特解是滿足微分方程并和激勵(lì)信號(hào)形式有關(guān)的解。表2.2列出了幾種激勵(lì)及其所對(duì)應(yīng)特解的形式激勵(lì)特解rpB（常數(shù)AA（待定常數(shù)AeAtetA Atket tk1et kAtetA 等 k重特征tmAtm tm1 A1ttk(Atm tm1 k重等于零的特征cost或sin所有特征根均不等于例描述某系統(tǒng)的微分方程1.y”(t)+5y’(t)+6y(t)=求（1）當(dāng)f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=－1時(shí)的全解（2）當(dāng)f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時(shí)的全解。 (1)特征方程為λ2+5λ+6=0,其特征根λ1=–2，λ2=–3。齊次解為yh(t)C1e2tC2e由表2.2可知，當(dāng)f(t)=2e–t時(shí)，其特解可設(shè) YP(t)=Pe–將其代入微分方程Pet5(–Pet6Pet2e 于是特解為yp(t)e全解為y(t)yh(t)yp(t)C1e2tC2e3te其中待定常數(shù)C1,C2y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–解得C1=3，C2最后得全解y(t)3e2t2e3tet由表2.2知：其特解為yp(t)=(P1t+P0)e–2t代入微分方程可得P1e-2t=e–2t 所以P1=1但P0不能求得全解為y(t)C1e–2tC2e–3tte–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+將初始條件代入，得y(0)C1+P0C2=1y’(0)=–2(C1+P0)解得C1+P0=2,C2–1y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,上式第一項(xiàng)的系數(shù)C1+P02，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)三．零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響naii0n

r(i)(t)

bmjm

e(j)(t

anjr(t)j

rh(t)

rp(t)n

i

eitnr(tn

c

eit

(tiiiincxii1n

ei

cnin

itefie

(tnrzi(t)n

rzs(t)iin式iin

ei

cxii1

ei

c

inefineii

兩種分解方式的區(qū)別1、自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的系數(shù)各不相xci與c 不相xci由初始狀態(tài)和激勵(lì)共同確x 由初始t確xi2、自由響應(yīng)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)中的齊次對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)還有一種分解方式，即瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所謂瞬態(tài)響應(yīng)t時(shí)，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量；而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，響應(yīng)不為零的那部分響應(yīng)分量

t

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)疊加積分r(t)e(t)h(tt

r(t)一.沖激響

定義：當(dāng)激勵(lì)為單位沖激函數(shù)(t)

時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)0t應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，0t

h(t)的求解方

r(t)3r(t)2r(t)e(t

rZS(t)

h(t)h(t)3h(t)2h(t

(t

得h(0)

h(0)t

0時(shí)，(t

上式可化h(t)3h(t)2h(t)

t

(Cet

e2t)

3) 由方程）等號(hào)兩邊奇異函數(shù)要平衡，確定初始條件h(0)和h(0h(t)3h(t)

h(t)含(t)項(xiàng)h(t)

h(t)dt,h(t)含(t)項(xiàng),即h(0)

h(t)

h(t)dt為連續(xù)函數(shù)t,即h(0)＝h(0h'(0)h'(0)3h(0)h(0)20h(t)dt其中h(0

h(0

0h(t 故h'(0h'(0)1,即h'(0)將初始條件h'(0

h(0)

C2 C1h'(0)

C12C2

故h(t

(et

e2t)(t0 若r(n)(t) r(n1)(t)...ar(t

e(t當(dāng)e(t

h(n)(t)

h(n1)(t)...

h(t

(t

0h(j)0

j0,1,2,...,n1 0h(j)(0)

j0,1,2,...,n

hn1(0) LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求解r(n)(t)

r(n1)(t)...

r(t)bem(t)

e(m1)(t)...

b0e(t

(11h(n)(t)1

h(n1)(t)...a

(t

(t101101 微分特性，即可求得(13)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)bh(m)(t) h(m1)(t)...bh(t r"(t)5r'(t)4r(t)2e(t)e'(t試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t解：(1)h1(th1"(t)5h1'(t)4h1(t)(t化為零輸入響應(yīng)，設(shè)

h1"(t)5h1'(t)4h1(t) h1'(0) h1(0) 故沖擊響應(yīng)h(t)Cet

e4t)(t) 將h1(0

0,h1'(0

1代入上式h10 1C2h1( C11(t)h1'(t)

(1et3(1et3(2)h(t)

2h1(t)h1'(t 1.化為零輸入響(難點(diǎn)h(0)的確定

2.h(t)

dg(t)

d(t))g(tg(t)0t二、階躍響1.定(t)

3.h(t)10t(10t

L1[H(s)]

g2.g(t)的求解方g(n)(t)

g(n1)(t)...

g(t

(t

0(20g(j)(0)0,j0,1,2...,n1 由方程兩邊奇異函數(shù)要平衡，得gj0gj0j0,1,2,...,n1若該方程的特征g(t

Ceitniani

)(ti 齊次 特 另外

g(t)h( [(t)()d例3.描述某系統(tǒng)的微分r"(t)6r'(t)8r(t)

e(t試求該系統(tǒng)的階躍解：g(t)g"(t)6g'(t)8g(t)(t g'(0) g(0) 特征根為

故g(t

e2t

e4t

1)(t 由0初始值代入g(0

C28

1, g'(0)

14C2 1

g(t)

(14

18

1)(t)例4：系統(tǒng)的微分方程為r"(t4r'(t3r(t2e'(t已知r(0)

r'(0)

e2t(t求全響應(yīng)解r(t)rn(t)rp(t)解特征根1

c2e3t

e2t(t得e'(t)

2e2t(t)e2t(t)2e'(t)

2e2t(t)3e2t(t)2(t)3e2t(t)t0時(shí),系統(tǒng)方程為r"(t)4r'(t)3r(t)3e2t

設(shè)特

rp(t)

rp'(t)2pe2t rp''(t)4將rp，rp'，rp''代入式，可得rp(t)r(t)

r(0),r'(0)的確r"(t)4r'(t)3r(t)2(t) 將方程兩

0－r"(t)dt0－4r'(t)dt0－[r'(0)r'(0)]4[r(0)r(0)]

r(0)r(0) ,r'(0)將r(0)

2,r'(0)

c1c232 c13c26

c1

c2r(t)

t一、杜阿美ea0 ktte(t)

e(0)(t)

e(t)

t

kt)n nkt

te(t)

lime(t)ata

e(0)0e'()t

輸入為(t)g(t)r(t)

e(0)g(t)

e(t)

ktn nk

t r(t)

limr(t)e(0)g(t) e'(tt

二、卷

eebe

(k eb(t

e(kt)tPt110tn

t

0

(t)

t

ne(t)n

limeb(t)

lime(kt)tPt

kttn

t0kt e(kt)tt0k

nrb(t)e(kt)thnk

則當(dāng)輸入為e(t)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)r(t)tr(t)

t

rb(t)

卷積積卷積積分常簡(jiǎn)記為r(te(th(t定義f(t

f1(

f2

(t)

f1(t)

f2(t)

f1(t)

f2(tt在因果系統(tǒng)中，系統(tǒng)的零狀態(tài)響tr(t)

e(t)h(tt

0時(shí)，h(t

0,t

0,即

t時(shí)

)

t,有r(t)

又激勵(lì)是在

0時(shí)，e(t)卷積的圖f1f1101tf201t求f1(tf2(t)的步驟第一步：將函數(shù)f1(t

f2(t)的自變量用代換，并11

第二步：將函數(shù)f2()沿正軸平移時(shí)間t，得f2

f2f2(ttt0f2(t

1

f1(

f2(t

t1 1

t1

1t2右移1f2(t01t2tt第三步：兩信號(hào)部分相乘，求相乘后圖的積 兩圖形分離，其乘積等于

ft0f012t

2(),1()11

與ftt

分離

以上計(jì)算結(jié)果歸納卷積的性交換律：

f1201tf21etf1201tf21et0tf1(t)

2[(t)

f2(t)

et(t)方法一：f(t)

f1(t)

f2(t)

1]e(t)

22 0121f2(t01t21

f2(t0

f(t)

t2e(t0

2(1et)(t

t

f(t)

12e(t0

2(e(t

et)

f(t

2(1et)[(t)

et)

方法二：f(t

f1(t)

f2(t)

1)]e(t)

t t2e(t)()t0

t2e(t)0

1)

t2e(tt0t

t2e(t)0

f(t)

2(1et)(t)20

e(t)

e(t)

2(1et)(t)

2(1et)[(t)

et]

f(t)

f2(t)

f1(t)

te()2[0

)

1 t2e