安徽省池州市東至二中2022年高一上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺．當(dāng)它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點．用，分別表示烏龜和兔子所行的路程(為時間)，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)3．下列函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間(–∞,0)上為減函數(shù)的是（）A.y=2x B.y=C.y=x D.4．直線與圓x2＋y2＝1在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知命題p：，，則為（）A.， B.，C.， D.，6．已知扇形的周長為8，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的面積為（）A.2 B.4C.6 D.87．如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30，此時時針與分針的夾角為.若一個扇形的圓心角為a，弧長為10，則該扇形的面積為（）A. B.C. D.8．函數(shù)，的值域為（）A. B.C. D.9．已知直線：和直線：互相垂直，則實數(shù)的值為（）A.－1 B.1C.0 D.210．下列結(jié)論中正確的是A.若角的終邊過點，則B.若是第二象限角，則為第二象限或第四象限角C.若，則D.對任意，恒成立11．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A.4 B.C.8 D.912．函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(-∞,1) B.［1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．一個棱長為2cm的正方體的頂點都在球面上，則球的體積為_______cm3.14．已知向量，，則向量在方向上的投影為___________.15．新高考選課走班“3+1+2”模式指的是：語文、數(shù)學(xué)、外語三門學(xué)科為必考科目，物理、歷史兩門科目必選一門，化學(xué)、生物、思想政治、地理四門科目選兩門．已知在一次選課過程中，甲、乙兩同學(xué)選擇科目之間沒有影響，在物理和歷史兩門科目中，甲同學(xué)選擇歷史的概率為，乙同學(xué)選擇物理的概率為，那么在物理和歷史兩門科目中甲、乙兩同學(xué)至少有1人選擇物理的概率為______16．已知函數(shù)f（x）＝|sinx|﹣cosx，給出以下四個命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；②f（x）在[﹣π，0]上是減函數(shù)；③f（x）是周期函數(shù)；④f（x）在[﹣π，π]上恰有三個零點其中真命題的序號是_____．（請寫出所有真命題的序號）三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．如圖，在三棱錐中，平面平面為等邊三角形，且分別為的中點（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；18．已知集合，，，全集為實數(shù)集（）求和（）若，求實數(shù)的范圍19．上海市某地鐵項目正在緊張建設(shè)中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)時地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當(dāng)時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為.（1）求的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？20．（1）計算：.（2）若，求的值.21．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，時，有成立.（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明；（2）解不等式；（3）若對所有的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，△PAD是等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，已知AD=2，，AB=2CD=4（1）求證：平面PBD⊥平面PAD；（2）若M為PC的中點，求四棱錐M-ABCD的體積

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、B【解析】分別分析烏龜和兔子隨時間變化它們的路程變化情況,即直線的斜率變化即可.【詳解】解：對于烏龜，其運(yùn)動過程分為兩段：從起點到終點烏龜沒有停歇，一直以勻速前進(jìn)，其路程不斷增加；到終點后，等待兔子那段時間路程不變；對于兔子，其運(yùn)動過程分三段：開始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中間由于睡覺，速度為零，其路程不變；醒來時追趕烏龜，速度變大，所以路程增加的快；但是最終是烏龜?shù)竭_(dá)終點用的時間短.故選：B【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象對實際問題進(jìn)行刻畫，是基礎(chǔ)題.2、A【解析】分析：討論函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域為，且即函數(shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)故選A.點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】根據(jù)解析式判斷各個選項中函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得答案.【詳解】y=2x不是偶函數(shù)；y=1y=x是偶函數(shù)，且函數(shù)在－y=-x2是二次函數(shù)，是偶函數(shù)，且在故選：C.4、D【解析】如圖所示：當(dāng)直線過（1,0）時，將（1,0）代入直線方程得：m=；當(dāng)直線與圓相切時，圓心到切線的距離d=r，即，解得：m=舍去負(fù)值.則直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點時，m的范圍為.故選D5、C【解析】全稱命題的否定定義可得.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定，：，.故選：C.6、B【解析】由給定條件求出扇形半徑和弧長，再由扇形面積公式求出面積得解.【詳解】設(shè)扇形所在圓半徑r，則扇形弧長，而，由此得，所以扇形的面積.故選：B7、D【解析】先求出，再由弧長公式求出扇形半徑，代入扇形面積公式計算即可.【詳解】由圖可知，，則該扇形的半徑，故面積.故選：D8、A【解析】首先由的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為，所以因為在上單調(diào)遞增，所以即故選：A9、B【解析】利用兩直線垂直的充要條件即得.【詳解】∵直線：和直線：互相垂直，∴，即.故選：B.10、D【解析】對于A，當(dāng)時，，故A錯；對于B，取，它是第二象限角，為第三象限角，故B錯；對于C，因且，故，所以，故C錯；對于D，因為，所以，所以，故D對，綜上，選D點睛：對于銳角，恒有成立11、C【解析】由已知可得，然后利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】解：因為正數(shù)x，y滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為8，故選：C【點睛】此題考查基本不等式應(yīng)用，利用了“1”的代換，屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】令t＝-x2+2x﹣1，則y，故本題即求函數(shù)t的增區(qū)間，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的增區(qū)間【詳解】令t＝-x2+2x﹣1，則y，故本題即求函數(shù)t的增區(qū)間，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的增區(qū)間為（-∞，1），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1).故答案為A【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】因為一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為2，所以正方體的外接球的直徑就是正方體的對角線的長度：2所以球的半徑為：所求球的體積為=故答案為：14、【解析】直接利用投影的定義求在方向上的投影.【詳解】因為，，設(shè)與夾角為，，則向量在方向上的投影為：.所以在方向上投影為故答案為：.15、【解析】至少1人選擇物理即為1人選擇物理或2人都選擇物理，由題分別得到甲選擇物理的概率與乙選擇歷史的概率，進(jìn)而求解即可.【詳解】由題，設(shè)“在物理和歷史兩門科目中甲、乙兩同學(xué)至少有1人選擇物理”事件，則包括有1人選擇物理，或2人都選擇物理，因為甲同學(xué)選擇歷史的概率為，則甲同學(xué)選擇物理的概率為，因為乙同學(xué)選擇物理的概率為，則乙同學(xué)選擇歷史的概率為，故，故答案為：16、①③【解析】求函數(shù)的奇偶性即可判斷①；結(jié)合取值范圍，可去絕對值號，結(jié)合輔助角公式求出函數(shù)的解析式，從而可求單調(diào)性即可判斷②；由f（x+2π）＝f（x）可判斷③；求[﹣π，0]上的解析式，從而可求出該區(qū)間上的零點，結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可判斷[﹣π，π]上零點個數(shù).【詳解】解：對于①，函數(shù)f（x）＝sinx﹣cosx的定義域為R，且滿足f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是定義域在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，①為真命題；對于②，當(dāng)x∈[﹣π，0]時，sinx≤0，fx對于y=2sinx+π4，x+對于③，因為f（x+2π）＝|sin（x+2π）|﹣cos（x+2π）＝|sinx|﹣cosx＝f（x），函數(shù)f（x）是周期為2π的周期函數(shù)，③為真命題；對于④，當(dāng)x∈[﹣π，0]時，sinx≤0，fx=-sinx+cosx=-2sinx+π4，且x+π4∈-故答案為:①③.【點睛】關(guān)鍵點睛：在判斷命題②④時，關(guān)鍵是結(jié)合自變量的取值范圍去掉絕對值號，結(jié)合輔助角公式求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）因為分別為的中點，所以，由線面平行的判定定理，即可得到平面；（2）因為為的中點，得到，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面，由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面【詳解】（1）因為、分別為、的中點，所以.又因為平面，所以平面；（2）因為，為的中點，所以，又因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，平面，平面平面.【點睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直18、(1)，.(2)【解析】(1)由題意可得：，，，則，.(2)由題意結(jié)合集合C可得試題解析：（），，，所以，則.（），所以19、（1）；（2）分鐘.【解析】(1)時，求出正比例系數(shù)k，寫出函數(shù)式即可得解；(2)求出每一段上的最大值，再比較大小即可得解.【詳解】（1）由題意知，（k為常數(shù)），因，則，所以；（2）由得，即，①當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ虎诋?dāng)時，在[10，20]上遞減，當(dāng)時Q取最大值24，由①②可知，當(dāng)發(fā)車時間間隔為分鐘時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大，最大為120元.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算、對數(shù)加法運(yùn)算以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一，化簡即可求出結(jié)果；（2）利用誘導(dǎo)公式和同角的基本關(guān)系，對原式化簡，可得，再將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）原式.（2）因為，所以.21、（1）見解析（2）（3）或或【解析】（1）根據(jù)條件賦值得，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得，再根據(jù)單調(diào)性定義得減函數(shù)，（2）利用單調(diào)性化簡得，結(jié)合定義區(qū)間得，解方程組得結(jié)果，（3）即,再根據(jù)單調(diào)性得，化簡得關(guān)于a恒成立的不等式，根據(jù)一次函數(shù)圖像得，解得實數(shù)的取值范圍.試題解析：證明：（1）在上是減函數(shù)任取且，則，為奇函數(shù)由題知，，即在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減解得不等式的解集為（3），在上單調(diào)遞減在上，問題轉(zhuǎn)化為，即，對任意的恒成立令，即，對任意恒成立則由題知，解得或或點睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).22、（1）證明過程詳見解析（2）【解析】(1)先證明BD⊥平面PAD