2020高中數(shù)學(xué) 11 超幾何分布（含解析）北師大版

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)分層作業(yè)（十一)超幾何分布（建議用時(shí)：60分鐘）［基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．一個(gè)小組有6人,任選2名代表，求其中甲當(dāng)選的概率是（）A．eq\f（1，2）B．eq\f（1，3)C．eq\f（1,4）D．eq\f(1,5)B［設(shè)X表示2名代表中有甲的個(gè)數(shù),X的可能取值為0，1，由題意知X服從超幾何分布，其中參數(shù)為N＝6，M＝1，n＝2，則P（X＝1）＝eq\f（C\o\al（1,1)C\o\al（1，5）,C\o\al（2,6））＝eq\f（1，3）。]2．50個(gè)乒乓球中，合格品45個(gè)，次品5個(gè)，從這50個(gè)乒乓球中任取3個(gè),出現(xiàn)次品的概率為（）A．eq\f(C\o\al（3,5)，C\o\al（3，50)） B．eq\f(C\o\al（1，5）＋C\o\al(2,5)＋C\o\al(3,5),C\o\al(3,50））C．1－eq\f（C\o\al(3,45),C\o\al（3，50）) D．eq\f(C\o\al(1，5)C\o\al（2,45）＋C\o\al(2，5)C\o\al(1,45),C\o\al(3，50）)C［可以直接考慮次品1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)，也可以用對(duì)立事件沒有出現(xiàn)次品eq\f(C\o\al（3,45）,C\o\al(3,50))，∴出現(xiàn)次品的概率為1－eq\f（C\o\al（3，45)，C\o\al（3，50).）］3．盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，那么eq\f（3，10)等于（）A．恰有1只是壞的的概率B．恰有兩只是好的的概率C．4只全是好的的概率D．至多有兩只是壞的的概率B［恰好兩只是好的概率為P＝eq\f（C\o\al(2，3)C\o\al(2,7)，C\o\al（4，10）)＝eq\f(3，10）.]4．一批產(chǎn)品共50件，其中5件次品,45件正品，從這批產(chǎn)品中任抽2件，則出現(xiàn)次品的概率為（）A．eq\f(2，245) B．eq\f(9,49)C．eq\f(47，245） D．以上都不對(duì)C［所求概率P＝1－eq\f(C\o\al(2，45），C\o\al(2,50))＝1－eq\f(45×44，50×49)＝eq\f(47，245),故選C。]5．一個(gè)盒子里裝有相同大小的紅球、白球共30個(gè)，其中白球4個(gè)．從中任取兩個(gè),則概率為eq\f(C\o\al（1，26）C\o\al(1,4）＋C\o\al（2,4），C\o\al(2，30)）的事件是()A．沒有白球 B．至少有一個(gè)白球C．至少有一個(gè)紅球 D．至多有一個(gè)白球B[eq\f（C\o\al(1，26）C\o\al(1,4)＋C\o\al(2，4),C\o\al(2，30））＝eq\f(C\o\al（1,26)C\o\al(1，4)，C\o\al（2,30）)＋eq\f(C\o\al（2,4）,C\o\al（2，30)）表示任取的兩個(gè)球中只有一個(gè)白球和兩個(gè)都是白球的概率，即至少有一個(gè)白球的概率．］二、填空題6．一次口試中，學(xué)生要從10道題中隨機(jī)抽出3道題回答，答對(duì)其中兩道題就獲得及格，某學(xué)生會(huì)答10道題中的8道題，那么這位學(xué)生口試及格的概率是________．eq\f（14,15）［從超幾何分布來看,及格的概率P＝eq\f（C\o\al(2，8）C\o\al（1,2）＋C\o\al(3，8）,C\o\al(3，10)）＝eq\f（14,15).]7．某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當(dāng)選的概率為________．eq\f(8，15）[至少有1名女生當(dāng)選包括1男1女，2女兩種情況,概率為eq\f(C\o\al（1，3）C\o\al（1，7)＋C\o\al（2，3),C\o\al（2,10)）＝eq\f(8,15)。］8．口袋內(nèi)裝有10個(gè)大小相同的球，其中5個(gè)球標(biāo)有數(shù)字0,5個(gè)球標(biāo)有數(shù)字1,若從口袋中摸出5個(gè)球，那么摸出的5個(gè)球所標(biāo)數(shù)字之和小于2或大于3的概率是________(用數(shù)字作答）．eq\f(13，63)[設(shè)摸出標(biāo)有數(shù)字1的球的個(gè)數(shù)為X，則所求的概率為：1－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－eq\f(C\o\al（2，5)C\o\al（3,5），C\o\al(5，10））－eq\f（C\o\al（3，5）C\o\al(2，5),C\o\al(5,10)）＝1－eq\f(50，63）＝eq\f（13,63）.］三、解答題9．某種彩票的開獎(jiǎng)是從1，2,…,36中任意選出7個(gè)基本號(hào)碼，凡購買的彩票上的7個(gè)號(hào)碼中有4個(gè)或4個(gè)以上基本號(hào)碼就中獎(jiǎng)，根據(jù)基本號(hào)碼個(gè)數(shù)的多少，中獎(jiǎng)的等級(jí)為：含有基本號(hào)碼數(shù)4567中獎(jiǎng)等級(jí)四等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)求至少中三等獎(jiǎng)的概率．[解]設(shè)X為選出的7個(gè)號(hào)碼中含有基本號(hào)碼的個(gè)數(shù)，由題意知，至少中三等獎(jiǎng)的概率為P(X≥5）＝P（X＝5)＋P(X＝6)＋P(X＝7)＝eq\f（C\o\al(5，7)C\o\al（2，29），C\o\al（7,36)）＋eq\f（C\o\al（6，7）C\o\al(1,29），C\o\al（7,36）)＋eq\f(C\o\al（7，7）,C\o\al（7,36））≈0.00105。故至少中三等獎(jiǎng)的概率約為0.00105。10．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)．(1）求X的分布列；(2)求“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率．[解]由題意知,X服從超幾何分布,則P(X＝k)＝eq\f（C\o\al（k,2）·C\o\al(3－k,4),C\o\al（3，6))，k＝0,1,2。(1）X可能取的值為0,1，2。所以X的分布列為X012Peq\f(1,5)eq\f（3，5)eq\f(1,5)(2）由（1)知,“所選3人中女生人數(shù)X≤1"的概率為P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝eq\f（4,5）。[能力提升練]1．一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4,5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球,編號(hào)為7,8，9，10。現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號(hào)碼；②X表示取出的最小號(hào)碼;③取出一個(gè)黑球記2分,取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；④X表示取出的黑球個(gè)數(shù)．這四種變量中服從超幾何分布的是（)A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④B［由超幾何分布的概念知③④符合，故選B.]2．從由1,2,3，4,5,6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，其中滿足1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則P(X＝2)＝__________。(結(jié)果用式子表示即可）eq\f(C\o\al（2,108)C\o\al（3,612)，C\o\al（5,720）)［由1，2，3,4，5，6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)共有Aeq\o\al（6，6)＝720（個(gè)),其中滿足1，3都不與5相鄰的六位偶數(shù)共有Aeq\o\al（3，3)（Aeq\o\al（3，3)＋Aeq\o\al(2，3)Aeq\o\al（2,2）)＝108個(gè)，隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N＝720，M＝108，n＝5的超幾何分布，故P(X＝2）＝eq\f（C\o\al(2，108)C\o\al(3,612）,C\o\al(5,720)）。］3．知識(shí)競(jìng)答共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè),小張抽4題，則小張抽到選擇題至少2道的概率為________．eq\f(37，42)［由題意知小張抽到選擇題數(shù)X服從超幾何分布(N＝10，M＝6，n＝4），小張抽到選擇題至少2道的概率為：P(X≥2)＝P(X＝2）＋P（X＝3）＋P(X＝4）＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2，4）,C\o\al(4，10))＋eq\f(C\o\al(3，6）C\o\al(1,4）,C\o\al(4,10))＋eq\f(C\o\al（4，6)C\o\al（0，4),C\o\al(4，10）)＝eq\f(37,42）。］4．現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)課本共7本(其中語文課本不少于2本)，從中任取2本，至多有1本語文課本的概率是eq\f(5,7)，則語文課本的本數(shù)為________．4[設(shè)語文課本有m本，任取2本書中的語文課本數(shù)為X，則X服從參數(shù)為N＝7，M＝m，n＝2的超幾何分布，其中X的所有可能取值為0,1，2，且P（X＝k）＝eq\f(C\o\al（k，m）C\o\al(2－k,7－m)，C\o\al(2,7））（k＝0,1，2)．由題意，得P（X≤1）＝P（X＝0)＋P(X＝1）＝eq\f（C\o\al（0,m)C\o\al(2,7－m)，C\o\al(2,7)）＋eq\f(C\o\al（1,m)C\o\al（1,7－m),C\o\al(2,7））＝eq\f(1,2）×eq\f（7－m6－m，21)＋eq\f（m7－m，21）＝eq\f(5,7)?！鄊2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3（舍去)．即7本書中語文課本有4本．］5．在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張,可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒有獎(jiǎng)品．（1）顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列．(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張．①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率;②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值Y元，求Y的分布列．[解］(1）抽獎(jiǎng)一次,只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況,故X的取值只有0和1兩種情況．P(X＝1)＝eq\f(C\o\al（1,4）,C\o\al(1,10)）＝eq\f（4,10)＝eq\f(2，5),則P（X＝0)＝1－P(X＝1）＝1－eq\f(2,5)＝eq\f（3,5).因此X的分布列為X＝k01P(X＝k)eq\f（3，5）eq\f（2,5）（2)①顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類:所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng)．故所求概率P＝eq\f（C\o\al(1,4)C\o\al(1，6)＋C\o\al(2,4)C\o\al(0,6)，C\o\al(2，10))＝eq\f(30，45)＝eq\f(2,3)。②Y的所有可能取值為0,10，20,50,60，且P（Y＝0)＝eq\f（C\o\al（0，4）C\o\al（2，6),C\o\al(2，10)）＝eq\f(15,45）＝eq\f（1,3），P(Y＝10)＝eq\f（C\o\al（1，3）C\o\al（1，6）,C\o\al（2,10））＝eq\f（18,45）＝eq\f(2，5)，P（Y＝20）＝eq\f(C\o\al（2，3）C\o\al（0，6）,C\o\al（2，10）)＝eq\f(3，45)＝eq\f